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数学三同济九年级上册数学知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 22:53
tags:九年级, 知识点, 数学

-

2020年11月22日发(作者:伍小平)
九年级上册数学知识点总结归纳
第二十一章
第二十二章
第二十三章
第 二十四章
第二十五章
一元二次方程
二次函数
旋转

概率初步
1
第二十一章一元二次方程
知识点1:一元二次方程的概念
一元二次方程:只 含有一个未知数,未知数的最高次数是
方程.
一般形式:ax+bx+c=0(a≠0)。注意 :判断某方程是否为一元二次方程时,
知识点2:一元二次方程的解法
1.直接开平方法:对形 如
X+a=
(x+a)=b(
b≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
2
2
2,且系数 不为 0,这样的方程叫一元二次
应首先将方程化为一般形式。
b
x
1
=-a+
bx
2
=-a-
2
b
2.配方法:用配方法解一 元二次方程:ax+bx+c=0(k≠0)的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将
1,即方程两 边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都
(x+a)=b的形式;⑤如果
2
常数项 移到方程的右边;③化二次项系数为
加上一次项系数的一半的平方;化原方程为
出方程的解;如 果b<0,则原方程无解.
b≥0就可以用两边开平方来求
3.公式法:公式法是用求根公式求 出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程
的求根公式是
2
x
bb
2
4ac
2a
2
(b-4ac≥0)。步骤:①把方 程转化为一般形式;②确定
2
a,b,c的值;
③求出b-4ac的值,当b-4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法. 理论根据:若
a=0或b=0。步骤是:①将方程右边化为
等于0,得到两个一元一次方程乘积 的形式,
解.
因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的 注意事项:
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是 一元二次方程.
a,b,c的值;②若b-4ac<
2
ab=0,则
0;②将 方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式
解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方 程的
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定
0,则方程无解.
⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4)
2
=3(x+4)
中,不能随便约去x+4。
⑷注意:解一元二次方程时一般不使用 配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的
一般顺序是:开平方法→因式分解法→公 式法.
6.一元二次方程解的情况
⑴b-4ac≥0
⑵b-4ac=0
⑶b- 4ac≤0
2
2
2
方程有两个不相等的实数根;
方程有两个相等的实 数根;
方程没有实数根。
b-4ac
2
解题小诀窍:当题目中含有“两不等实 数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用
解题。主要用于求方程中未知系数的值或取 值范围。
知识点3:根与系数的关系:韦达定理
b
2
c
对于方程ax +bx+c=0(a≠0)来说,x1 +x2 =—
a
,x1●x2=
a

利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形),如
x
1
1
x< br>1
2
x
2
1
x
2
2
(x
1
x
1
x
2
)
x
2
2
2x
1
x
2
x
1
x
2

解题小诀窍:当一元二 次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。
知识点4:一元二次方程 的应用
一、考点讲解:
1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:
⑴与几何图 形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等;
⑵有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础 上连续增长(降低)两次得到新数据,常见的等量
关系是a(1±x)2=b,其中a表示增长(降低) 前的数据,x表示增长率(降低率),b表示后来的数据。
注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超 过
⑶经济利润问题:总利润
1。
=总销售额-总成本。=(单件销售额-单件成本)× 销售数量;或者,总利润
⑷动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办 法把图中变化的线段用
未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。
2.注重解法的选 择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对
方程的解注意检验 ,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.
一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题< br>2、树干问题
3、握手问题(单循环问题)
4、贺卡问题(双循环问题)
5、围 栏问题
6、几何图形(道路、做水箱)
7、增长率、降价率问题
8、利润问题(注意减 少库存、让顾客受惠等字样)
9、数字问题
10、折扣问题
第二十二章二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如
yax
2
bxc< br>(a,b,c是常数,
a0
)的函数,叫做二次函数。
里需要强调:和一元二次 方程类似,二次项系数
a0
,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实
数.2. 二次函数
yax
2
bxc
的结构特征:
⑴等号左边是函数 ,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,
b
是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:
yax
2
的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 。
a
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0
时,
y
x
的增大而;
x0
时,
y

a0
x的增大而;
x0
时,
y
有最值.

x0
时,
y
随x的增大而;
x0
时,
y

a0
x
的增大而;
x0
时,
y
有最值.
2.
yax
2
c< br>的性质:
上加下减。
a
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0
时,
y

x
的增大而;
x0
时,
y
随< br>a0
x
的增大而;
x0
时,
y
有最值.
x0
时,
y
随x的增大而;
x0
时,
y
随x
a 0
的增大而;
x0
时,
y
有最值.
3.
ya的性质:
左加右减。
a
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh
时,
y

x
的增大而;
xh
时,
y
a0
x
的增大而;
xh
时,
y
有最值.
xh< br>时,
y

x
的增大而;
xh
时,
y

x
a0
的增大而;
xh
时,
y
有最值.
4.
yaxh
2
k
的性质:
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh
时,
y

x
的增大而;
xh
时,y

a0
x
的增大而;
xh
时,
y
有 最值.
xh
时,
y

x
的增大而;
xh
时 ,
y

a0
x
的增大而;
xh
时,
y有最值.
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
xh
2
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式
2
yaxh
2
k
,确定其顶 点坐标;
⑵保持抛物线
yax
的形状不变,将其顶点平移到
h,k
处 ,具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移 ,负左移;
,上下
k
值正上移,负下移”.
”.概括成八个字“左
方 法二:

y

ax
2
ax
2
bx
bxc
c
沿
y
轴平移:向上(下)平移
m
个单位,
y
m
(或
yax
2
ax
2
bxc
变成y

y
bxcm

m
个单位,
y
m)
2
ax
a(x
2
bx
m)
2
c
沿 轴平移:向左(右)平移
b(xm)c
(或
ya(x
ax
2
bxc
变成
y
b(xm)c

四、二次函数
yaxh
从解析式上看,
b
2a
ax
2
2
k

y ax
2
2
bx
ax
2
c
的比较
bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前
4ac
4a
b
2
y
2
axh
4ac
4a
bxc
b
2
k< br>与
y
者,即
yax
,其中
h
b
2a
,k

五、二次函数
y
图象的画法
yax
2
五点绘 图法:利用配方法将二次函数
对称轴及顶点坐标,
的交点0,c、以及
bxc
化为顶点式
ya(xh)
2
k

确定其开口方向、
顶点、与
y
轴然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
0,c关于对 称轴对称的点
.
2h,c、与x轴的交点
x
1
,0

x
2
,0
(若与
x

没有交点,则取两组关于对称轴对称 的点)
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与
y
轴的 交点.
六、二次函数
yax
1. 当
a
2
bxc
的性质
b
2a
b
2a
b
2a
4ac
4a
x
b
2
0
时,抛物线开口向上,对称轴为
b
2a< br>b
2
x,顶点坐标为
,.

x

4ac4a
时,
y

x
的增大而减小;当

x时,< br>y

x
的增大而增大;当
b
2a
时,
y有最小
2. 当
a0
时,抛物线开口向下,对称轴为
x
b< br>b
2a
,顶点坐标为
b
2a
4acb

2a 4a
b
2
.当
x
2
b
2a

时,
y

2a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:
y
2. 顶点式:
y
ax
2
x
的增大而增 大;当x时,
y

x
的增大而减小;当x时,
y
有最大值< br>4ac
4a
b
bx
h)
2
c

a< br>,
b

c
为常数,
a
k

a

h

k
为常数,
a
a(xx
1
)(x x
2
)

a
0
);
0
);
.a(x
3. 两根式(两点式):
y
0

x
1

x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标)
注意:任何二次函 数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与x轴有 交点,即
b
的这三种形式可以互化.
2
4ac0时,抛物线的解析式才可以用 交点式表示.二次函数解析式
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数
y
⑴当
a
⑵当
a
ax
2
bxc
中,
a
作为二次项系数,显然
a0

a的值越小, 开口越大;
a的值越大,开口越大.
a的大小决定开口的大小.
0
时,抛物线 开口向上,
0
时,抛物线开口向下,
a的值越大,开口越小,反之
a的值越小 ,开口越小,反之
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,
2. 一次项系数
b
在二次项系数a确定的前提下,
⑴在
a

b< br>当
b

b
⑵在
a

b

b

b
b
决定了抛物线的对称轴.
0
的前提下,
0< br>时,
0
时,
0
时,
b
2a
b
2a< br>b
2a
0
,即抛物线的对称轴在
0
,即抛物线的对称轴就是< br>0
,即抛物线对称轴在
y
轴左侧;
y
轴;
y
轴的右侧.
0
的前提下,结论刚好与上述相反,即
0
时,
0
时,
0
时,
b
2a
b
2a
b
2a
0
,即抛物线的对称轴在
0
,即抛物线的对称轴就是
0
,即抛物线对 称轴在
y
轴右侧;
y
轴;
y
轴的左侧.
总结起来, 在a确定的前提下,
b
决定了抛物线对称轴的位置.
ab
的符号的判定:对称 轴
“左同右异”
总结:
3. 常数项c
⑴当
c
⑵当c
⑶当
c
x
b
2a

y
轴左边则ab0
,在
y
轴的右侧则
ab0
,概括的说就是
0时,抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方,即抛物线与
0
时 ,抛物线与
y
轴的交点为坐标原点,即抛物线与
0
时,抛物线与
y< br>轴的交点在
x
轴下方,即抛物线与
y
轴交点的位置.
y
轴交点的纵坐标为正;
y
轴交点的纵坐标为
0

y
轴交点 的纵坐标为负.
总结起来,
c
决定了抛物线与
总之,只要a,b,c都确定, 那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点,选择适当的形式,才能使 解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选 用顶点式

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般 式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
y
y
2.
ax
2
bx
2
c
关于
x
轴对称后,得到的解析式是
k< br>关于
x
轴对称后,得到的解析式是
y
y
ax
2
bx
h
c

2
axh
axk

关于y
轴对称
y
y
ax
2
bx
2
c
关于
y
轴对称后,得到的解析式是
k
关于
y
轴对称后,得 到的解析式是
y
y
ax
2
bx
h
c
2
axhaxk

3. 关于原点对称
yax
2
b xc
关于原点对称后,得到的解析式是
yax
2
bxc

y
4.
axh
2
k
关于原点对称后,得到的解析式是
1 80°)
y
yaxh
2
k

关于顶点对称(即:抛物线绕顶 点旋转
y
y
ax
2
bx
h
2
c
关 于顶点对称后,得到的解析式是
k
关于顶点对称后,得到的解析式是
ax
y< br>2
bxc
2
b
2
2a

axaxhk

5. 关于点m,n对称
22
yaxhk
关于点
m,n对称后,得到的解析式是
yaxh2m2nk
a永远不变.求根据对称的性质,显然无论作 何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或 方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原
抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开 口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,
然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、 二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与
一元二次方程< br>ax
2
x轴交点情况):
ax
2
bxc0是二次函数
ybxc
当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
① 当
b2
4ac0时,图象与
x
轴交于两点
Ax
1
,0,Bx
2
,0(x
1
x
2
)
,其中的
x
1
,x
2
是一元二次
b
2
方程
ax
2bxc0a0
的两根.这两点间的距离
ABx
2
x
1
4 ac
a
.
② 当
③ 当
0
时,图象与x轴只有一个交点;
0
时,图象与x轴没有交点.
0
时,图象落在
x
轴的上方, 无论
0
时,图象落在x轴的下方,无论
2
1'

a
2'

a
2. 抛物线
yax
x
为任何实数,都有
x为任何实数,都有
(0,c);
y
y
0;
0.
bxc的图象与
y
轴一定相交,交点坐标为
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断 二次函数
判断图象的位置,要数形结合;
yax
2
bxc
中a,b
,c的符号,或由二次函数中a,
b
,c的符号
⑷ 二次函数的图象关 于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,
.
ax
2
或已 知与x轴的一
个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项 式,二次三项式

0
抛物线与
两个交点
x
轴有
bx c(a0)本身就是所含字母x的二次函数;
面以
二次三项式的值可正、
可零、可负< br>一元二次方程有两个不相等实根
0
抛物线与
有一个交点
x轴只二次三项 式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根
0
抛物线与
交点
x轴无二次三 项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
a0
时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方 程之间的内在联系:
图像参考:
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数 的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以
x
为自变量的二次函数
y
(
m
2)
x
2
m
2
m
2的图像经过原点,则
m
的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数 的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图 ,如果函数
ykxb
的图像在第一、二、三象限内,那么函数
ykx
2
bx
1
的图像大致是()
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选< br>拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
x5
3
,求这条抛物线的解析式。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、 二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线
yax
2
bxc
(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
.
3
2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系 数的符号
例1 (1)二次函数
y
A
ax
2bxc
的图像如图1,则点
M(b,
c
a
)
在().第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2
(2)已知二次函数
x=3时,函数值相等;③
A.1个 B
y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a、b同号;②当x=1和)4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是(
.4个.2个 C.3个 D
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数
2
a,b,c之间的关系,是解决问题的关键 .
例2
.
已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x< br>1
,0),且11
<2,与y轴的正半轴的交
点在点(O,2)的 下方.下列结论:①aO;③4a+cO,其中正确结论的个数 为
A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
( )
会用待定系数法 求二次函数解析式
例3
.
已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为 x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
22

-


-


-


-


-


-


-


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