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数学系的就业方向河南省_2009年_高考全国卷1数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题(详解)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-22 23:06
tags:河南省, 全国卷, 数学真题

-

2020年11月22日发(作者:颜泽玉)
2009 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修 +选修Ⅱ)
本试卷分第卷 (选择题) 和第卷 (非选择题) 两部分. 第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 4 页.考
试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前, 考生在答题卡上务必用
2.每小题选出答案后,用
0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号、
填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 .

.........
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件
A,B
互斥,那么

球的表面积公式
P( A B) P( A) P(B)
如果事件
A,B
相互独立,那么

S 4πR
2
R
表示球的半径其中

球的体积公式

P( A B) P(A) P( B)

如果事件

A
在一次试验中发生的概率是

P
,那么


V

4
3
3
π
R
n
次独立重复试验中恰好发生

k
次的概率
R
表示球的半径其中


一、选择题
(1) 设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A B,则集合
元素共有()
(A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个
u
(
I
)
中的
AB

Z

(2)已知 =2+i, 则复数 z=()
1 i

(A)-1+3i

(3) 不等式
(B)1-3i (C)3+i (D)3-i

X
<1 的解集为(
1

X 1
(A){x
0 x 1
(C)
x 1 x 0
1 / 13
x x 1
(D)
(B)
x 0 x 1
x x 0

(4) 设双曲线
x
2

2 2
y
2

+1 相切,则该双曲线的离
2
1
(a>0,b >0)的渐近线与抛物线 y=x
a
心率等于 ()
(A)
3
(5)
b
(B)2 (C)
5
(D)
6
甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中
各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( )
(A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
(6
)设

a


b


c
(A


是单位向量,且

a
·
b
=0,则
a c
(C


1
b c
的最小值为 ( )
(D)
2
(B)
2 2 1 2
(7)已知三棱柱

ABC
的中点,则异面直线

3
A B C
的侧棱与底面边长都相等,
A
1
在底面
ABC
上的射影为
BC
1 1 1
AB




5

(B)
4
CC
所成的角的余弦值为(
1

(A)
4

7

(C)
4
的图像关于点

(D)
3

4
(8)如果函数
y=3 cos 2x+

4

,0
中心对称,那么
| |
的最小值为
3
(A) (B) (C) (D)
6 4 3
ln( x a)
相切,则 α 的值为 ( )
(D)-2
2
(9) 已知直线 y=x+1 与曲线
y
(A)1 (B)2 (C) -1
(10)已知二面角
l

60
o
,动点 P、Q分别在面 α、β内,P 到β 的距离为

3

Q到 α 的距离为
2 3
,则 P、Q两点之间距离的最小值为(
(A) (B)2 (C)
2 3
(D)4
(11)函数
f (x)
的定义域为 R,若
f ( x 1)

f (x 1)
都是奇函数,则 ( )
(A)
函数

2
f (x)
是偶函数 (B)
f (x)
是奇函数 (C)
f (x) f (x 2)
(D)
f (x 3)
是奇
12. 已知椭圆
x
2
C : y
2
1
的右焦点为
F
, 右准线为
l
,点
A l
,线段
AF

C
于点
B

2 / 13

FA
(A).
3FB
, 则
| AF |
=( )
2
(B). 2 (C).
3
(D). 3
第 II 卷
二、填空题:
13.

x y
10
的展开式中,
x y
的系数与
x y
的系数之和等于

7 3

3 7

。 14. 设等差数列
a
n
n
项和为

S
n
,若
S
9
的前

72
, 则
a
2
a
4
a
9
=
15. 直 三 棱 柱

A B C A B C
的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若
A B
1 1 1
A C A
1
A 2
,
BAC 120
,则此球的表面积等于 。
16. 若

x
2 4
,则函数

y
3
tan 2x tan x
的最大值为 。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
) 17(本小题满分 10 分 )( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.


ABC
中,内角 A、B、C 的对边长分别为
a


b


c
,已知


2
a
2
c
2
b
,且
sin A cosC 3 cosA sinC

,
b
18.(本小题满分 12 分 )( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
如图,四棱锥
S ABCD
中,底面
ABCD
为矩形,
SD
底面
ABCD

AD 2
,
DC SD 2
, 点 M 在 侧 棱
SC
上,
ABM
=60°
(I )证明: M在侧棱
SC
的中点
(II )求二面角
S AM B
的大小。
3 / 13
19.(本小题满分 12 分 )( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜
设在一局中,甲获胜的概率为
2 局中,甲、乙各胜 1 局。
(I )求甲获得这次比赛胜利的概率;
(II )设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 得分布列及数学期望。
3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假
0.6 ,乙获胜的概率为 0.4 ,各局比赛结果相互独立,已知前
20.(本小题满分 12 分 )( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
1
在数列
{
n 1
}
1
a
中,
a
1
1,a
n
n
(1 )a
n n
n

(I )设
n
2
a

,求数列
{ b
n
}
的通项公式
n
b
n
(II )求数列
{ a }
的前
n
项和
S
n

n
21(本小题满分 12 分 )( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).

如图,已知抛物线

2
E : y
2

x
与圆
M : (x 4)
2 2
y r (r 0)
相交
A


B


C


D
四个点。于


(I )求
r
得取值范围;
(II )当四边形
ABCD
的面积最大时, 求对角线
AC

BD
的交点

P
坐标

3
17. 本小题满分 12 分 。( 注.意.:.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).

设函数

3
2
3
x、x
, 且
2
bx cx
在两个 极值点
1
f x x
x
1
[ 1,0], x
2
[1,2].
(I )求
b、c
满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画
出满足这些条件的点

(II) 证明:
10

b,c
的区域;

f x
2

1
2
4 / 13
答案详解
一、选择题
1:A 解:
A B {3,4,5,7,8,9}

A B {4,7,9}
用摩根律:
C
U
(A B) {3,5,8}
故选 A。也可
( ) ( ) ( )
C A B C A C B
U U U
2:B 解:
z (1 i) (2 i ) 1 3i, z 1 3i
3:D 解:验 x=-1 即可。
故选 B。
4 :C 解:设 切点
P( x
0
, y
0
)
,则切线 的斜率 为
y |
x

'

x
0
2x
. 由 题意有
0
y
0

2x

0

x
0
2
y
0
x
0
1
b
2
0
解得:

b
2
1,
a
x
2,
e
1 ( )
a
.

5
5:D 解: 分两类 (1) 甲组中选出一名女生有


(2) 乙组中选出一名女生有


2
1 1 2
C
5
C
3
C
6
1 1
225
种选法
C
5
C
6
C
2
120
种选法 . 故共有 345 种选法 . 选 D
2
6:D 解:
a,b,c
是单位向量
a c b c a b (a b) c c
1 2
故选

D.
A
1
AB
即为异面

C

1 |a b| |c | 1 2 cos a b,c

A

1

C
1
7:D 解:设
BC
的中点为 D,连结
A
1
D,AD,易知


线


B
1
AB


CC
所 成 的 角 , 由 三 角 余 弦 定 理 , 易 知

1

D

cos cos A AD cos DAB
1
AD AD
A A AB
1

3

4
A


B
. 故选 D
8:A 解:

函数
y=3 cos 2x+

4

,0
中心对称
的图像关于点
3
4

2
3
k
2

k
13
6
. 故选 A

(k Z)
由此易得
| |
min

6
9:B 解: 设切点
P( x
0
, y
0
)
,则
y
0
x
0
1, y
0
ln( x
0
a)
, 又

'

y
|
x
1
x
0
1
x
0
a
x
0
a 1 y
0
0, x
0
1 a 2
. 故答案选 B
5 / 13
10:C 解: 如图分别作
QA 于A, AC l于C,PB
PBD 60 ,
于B,
PD l于D
,连
CQ, BD则 ACQ
3

AC PD 2
2 2
AQ 2 3, BP



12
2
2 3
PQ AQ AP AP
C。 当且仅当
AP
11:D 解:
0
,即
点A与点 P
重合时取最小值。故答案选
f ( x 1)

f (x 1)
都是奇函数,
f (x 1), f ( x 1) f (x 1)

2[1 ( 1)] 4
的周期
f ( x 1)
函数
f (x)
关于点
(1,0)
,及点
( 1,0)
对称,函数
f (x)
是周期
T
函数.
选 D
12:A 解: 过点 B作
BM


f ( x 1 4) f (x 1 4)

f ( x 3) f (x 3)
,即
f (x 3)
是奇函数。故
l
于 M,并设右准线
l
与 X轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意
FA 3FB
,
2 2
2 3
2
3
| AF | 2
. 故选 A

| BM |
. 又由椭圆的第二定义 , 得
|BF |

3
2
二、填空题:
13:解 :
14:解 :

C
3 7 3
10
( C
10
) 2C
10
240
72
, 得
S
9
(a
5
a
6
) a
4
9a
5
, a
5
3a
5
8
24
.

S
9
a
是等差数列 , 由

n
a
2
a
4
15:解 : 在
a
9
(a
2
a
9
) a
4
ABC


AB AC 2
,
BAC 120
, 可得
BC 2 3
, 由正弦定理 , 可得
ABC
外接圆半径 r=2, 设此圆圆心为
O
,球心为
O
,在
RT OBO
中,易得球半径

R 5
,故此球的表面积为

2
4 R 20
.
1
,
4
4
16:解:


tan x t,
x
2
4
t
2 tan x
y tan 2x tan x
2t
2
2
2
2
1 1 1
(
1
2
2
3
1 1
8
1 tan
x
1
t
4 2
)
2
t t t 2 4 4
三、解答题:
6 / 13

-


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