2017数学全国二卷答案2011年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2020年11月22日发(作者：蓝瑛)
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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷
理科数学
第 I 卷
1）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

2 i

的共轭复数是（
(1)复数
1 2i
）

（A）

3

5
i

3
（B）
5
i
（C）
i
（D）
i
（2）下列函数中，既是偶函数又在
（0，+ ）
单调递增的函数是（
3

（A）
y x
）
(B) y x 1

（C）
y
2
1
(D) y 2
x

x
（3）执行右面的程序框图， 如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ）
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（

1

（A）
3

1

（B）
2

2

（C）
3

3

（D）
4
y 2x
上，则
cos 2
=（ ）

4

（D）
5
）
（5）已知角
的顶点与原点重合，始边与

x
轴的正半轴重合，终边在直线

3

（C）
5
4

（A）
5

（B）
3

5
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为（ ）
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2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第1 页 共 10 页
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（7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，AB
为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）
（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3

a 1

5
x 2x
x x
（8） 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ）
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
（9）由曲线 y x ，直线
y x 2
及
y
轴所围成的图形的面积为 （ ）

（A）
10

3
（B）4 （C）

16

3
（D）6
（10）已知 a与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 （ ）
2 2
P : a b 1 0, P
2
: a b 1 ,
1
3 3
P
3
: a b 1 0, P
4
: a b 1 ,
3 3
其中的真命题是 （ ）

（A）

P
1
, P
4
（B）P
1
,P
3
（C） P
2
,P
3
（D）
P
2
,P
4

（ 11 ） 设 函 数
( ) sin( ) cos( )( 0, )
f x x x
的 最 小 正 周 期 为 ，
2
f ( x) f ( x
，
)
则 （ ）

（A）
f (x)
在 0,

2
单调递减 （B）
f ( x)
在

3

单调递减
,
4 4

（C）
f ( x)
在 0,

单调递增 （D）
f ( x)
在 , 3

2
4 4
单调递增
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且
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1

(12)函数
y
的图像与函数
y 2sin x( 2 x 4)
的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
1-x
（A）2 (B) 4
本卷包括必考题和选考题两部分。第
2011 年全国 1 卷数学理试题和答案
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(C) 6 (D)8
第Ⅱ卷
13 题～第 21题为必考题，每个试题考生都必须做
第2 页 共 10 页

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答。第 22 题～第 24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
3 2x y 9,


则
z x 2y
的最小值
（13）若变量
x, y
满足约束条件
6 x y 9,
为 。
2


（14）在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的中心为原点，焦点
F
1
,F
2
在x轴上，离心率为
。
2
过
F 的直线 L 交 C 于
A, B
两点，且 V ABF
2
的周长为 16，那么
C
的方程

为 。
1
（15）已知矩形
ABCD
的顶点都在半径为 4 的球
O
的球面上，且 AB 6, BC 2 3 ,则棱锥
O ABCD
的体积为 。
3，则
AB 2BC
的最大值为 。 （16）在
V ABC
中， B 60 ,AC
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
等比数列

a
的各项均为正数，且
n


2
2a 3a
1 2
1,a
3
9a a .
2 6
（Ⅰ)求数列

a
的通项公式；
n


（Ⅱ）设
b
n
log a log a
3 1 3 2
...... log a ,求数列
3 n

1
n

b
的前 n 项和.
(18)(本小题满分 12 分 )
如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四
边形，∠ DAB=60° ,AB=2 AD ,PD⊥底面 ABCD .
(Ⅰ)证明： PA⊥BD；
(Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。
（19）（本小题满分 12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，
的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为
量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
质量指标值越大表明质量越好， 且质量指标值大于或等于 102
A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测
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2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第3 页 共 10 页
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（Ⅰ）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元 )与其质量指标值 t 的关系式为
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望 .（以试验
结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
（20）（本小题满分 12 分）

在平面直角坐标系
，
u uru uur

xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M
点满足

MB / /OA
u uru u uur uuur


，
M 点的轨迹为曲线 C。
uur
MA AB MB BA
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
（21）（本小题满分 12 分）

已知函数
f ( x)
（
Ⅰ
）求

a
、

aln x b

，曲线
y
x 1 x
0
，且
x 1
时，
( )
f x
f (x)
在点
(1, f (1))
处的切线方程为
x 2y 3 0
。
b
的值；
ln
x k
，求
k
的取值范围。


（Ⅱ）如果当
x
x 1 x
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲
如图，
D
，
E
分别为
ABC
的边
AB
，
AC
上的点， 且不与
ABC
的
顶点重合。已知
AE
的长为 m
、
AC
的长为

n
，

AD
，
AB
的长是关于

x
的

方程

2
14 0
的两个根。
x
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x mn
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2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第4 页 共 10 页
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（Ⅰ）证明：
C
，
B
，
D
，
E
四点共圆；
（Ⅱ）若
A 90
，且
m 4,n 6
，求
C
，
B
，
D
，
E
所在圆的半径。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C
1
的参数方程为

x

2cos

y 2 2sin
（ 为参数）

u uuv u
,P 点的轨迹为曲线 C
2
uuv

M 是 C
1
上的动点， P
点满足

OP 2OM
(Ⅰ)求 C
2
的方程
(Ⅱ)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与 C
1
的异于极点的交点为
与 C
2
的异于极点的交点为 B
，求

AB
.
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
设函数

f (x) x a 3x
,其中
a 0
。
（Ⅰ）当
a 1
时，求不等式
f (x) 3x 2
的解集；
（Ⅱ）若不等式
f (x) 0
的解集为
x| x 1
，求 a 的值。
2011 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12） D
二、填空题

2 2
（13）-6 （14）
x y

1
（15）
8 3
（16）
2 7
16 8
三、解答题
（17）解：

（Ⅰ）设数列 {a
n
} 的公比为 q，由

2

3 2
1
a a a
得
a

2
a
所以
q
。
3
9
2
6 3
9
4

9

由条件可知 a>0,故

1
q
。
3

由

1
2a 3a 1
得
2a
1
3a
2
q 1
，所以
1
a
。
1 2
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A，
3