四年级数学难题2013年陕西数学中考第23题评卷小结(赵建利)

2020年11月23日发(作者：甄荣典)

2013年陕西数学中考第23题评卷小结
1、考查目标：本解答题考查了
切线的性质应用，圆内角的性质的应用，正方形的判定与性质的应用
及三角函数的定义及正切值的求法 ，以及转化思想
，属于基础题，
本题题第二问难度较往年都大，关键
在于做辅助线的切 入点不易想到，此题除做过切点的半径外，需过点E做BC的垂线，将∠ACD进行转化；
2、评卷中 学生的解法：本题的解题方法相对较多，但是绝大多数学生还是使用最基本的证明
方法。如下所示：
解法一、（1）∵EF是⊙O的直径
∴∠EAF=90° …………………..（1分）
∴∠ABC+∠ ACB=90° …………………..（3分）
（2） 连接OD，则OD⊥BD …………………..（4分）
过点E作EH⊥BC，垂足为点H.
∴EH∥OD
∵EF∥BC，OE=OD
∴四边形EODH是正方形 …………………..（6分）
∴EH=HD=OD=5，
又∵BD=12
∴BH=7
BH
7
在Rt△BEH中，tan∠BEH= = ,
EH5
而∠ABC+∠BEH=90° ， ∠ABC+∠ACB=90°
∴∠ACB=∠BEH
7
tan∠ACB= …………………..（8分）
5
解法二、连接DO并延长交BA于点H
∵OE∥BD
∴△HEO∽△HBD …………………..（4分）
∴
即
HOEO
=
HDBD
HO5
=
HO+512
25
∴HO=
7
60
∴HD=HO + OD = …………………..（5分）
7
∵l切⊙O于点D
∴OD⊥BC
在Rt△HBD中，BD=12
BD7
∴tan∠BHD= = …………………..（7分）
HD 5
∵∠HBD+∠BHD = 90°
又∵∠ABC+∠ACB = 90°
∴∠BHD = ∠ACB

7
∴tan∠ACB= …………………..（8分） < br>5
(注：第（2）问5分，作辅助线，得1分；求出直角三角形中的线段长，得2分；证得角相等 ，得1分；
求得结果得1分。过点F作BC的垂线段构造相似三角形求解，按以上解法对应赋分。其他解 法对应赋分)
证法三、连接DO并延长交AB于点H
∵l切⊙O于点D
∴OD=OE =5 , HD⊥BC
∵OE∥BD
∴△HOE∽△HDB
∴
即
OEHO
=
BDHD
HO5
=
HO+512
25
∴HO=
7
∵∠HBD+∠BHD = 90°
又∵∠ABC+∠ACB = 90°
∴∠BHD = ∠ACB
在Rt△HOE中，BD=12
∴tan∠ACB=tan∠BHD=
EO57
= =
HO255
7

在评卷的过程中，我们还发现了下面几种解题方法：
证法一、连接DO并延长交AB于点H
∵l切⊙O于点D
∴HD⊥BC
过点A作AG⊥BC于点G
∴HD∥AG
∵EF是⊙O的直径 ∴∠EAF=90° ∴∠1+∠ 2=90°
在Rt△HOE中，∠1+∠ C=90° ∴∠2 = ∠C
又∵HD∥AG ∴∠2 = ∠3 ∴∠3 = ∠C
∵OE∥BC OD=OE =5
∴△HOE∽△HDB
∴
即
OEHO
=
BDHD
HO5
=
HO+512
25
∴HO=
7
在Rt△HOE中∴tan∠ACB=tan∠3=
EO57
= =
HO255
7
证法二、过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥BC于点G
∴∠1+∠B=∠2+∠ACB =90°