北师大四年级下册数学重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2020年11月23日发(作者：尹伟伦)
2015年重庆市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题 目要求的.
1．（5分）（2015?重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）

A．
A∩B=?
A=B
B． C． D．
AB BA
考子集与真子集．
点：
专集合．
题：
分直接利用集合的运算法则求解即可．
析：
解解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，
答：
可得A≠B，A∩B={2，3}，BA，所以D正确．
点
评：
故选：D．
本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．
2．（5分）（2015 ?重庆）在等差数列{a
n
}中，若a
2
=4，a
4
=2， 则a
6
=（ ）

A．
0 1 6
﹣1 B． C． D．
考等差数列的性质．
点：
专等差数列与等比数列．
题：
分直接利用等差中项求解即可．
析：
解
解：在等差数列{a
n< br>}中，若a
2
=4，a
4
=2，则a
4
=（a
2
+a
6
）==2，
答：
解得a
6
=0．
故选：B．
点本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
评：
3．（5分）（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图 如，则这组数
据的中位数是（ ）

A．
19 20 21.5 23
B． C． D．
考茎叶图．
点：
专概率与统计．
题：
分根据中位数的定义进行求解即可．
析：
解解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
答：
则中位数为，
点
评：
4．（5分）（2015?重庆）“x＞1”是“
故选：B
本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
（x+2）＜0”的（ ）

A． 充要条件 B． 充分而不必要条件

C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 充要条件．
专题： 简易逻辑．
分析： 解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．
解答： 解：由“（x+2）＜0”
得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，
故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，
故选：B．
点评： 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5分）（2015?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
考由三视图求面积、体积．
点：
专空间位置关系与距离．
题：
分判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
析： 解
解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，
答： 高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半
径为1，高为2，
所求几何体的体积为：=．
故选：A．
点本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的
评： 关键．
6．（5分）（2015?重庆）若非零向量，满足||=
与的夹角为（ ）

A． B．
考数量积表示两个向量的夹角．
点：
专平面向量及应用．
C．
π
D．
||，且（﹣）⊥（3+2），则
题：
分根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
析：
解
解：∵（﹣）⊥（3+2），
答：
∴（﹣）?（3+2）=0，
即3
2
﹣2
2
2
﹣?=0，
2
即?=3﹣2=
2
，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=，
故选：A
点本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解
评： 决本题的关键．
7．（5分）（2015?重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判 断框图可填入
的条件是（ ）

A． B． C． D．
s≤ s≤ s≤ s≤
考循环结构．
点：
专图表型；算法和程序框图．
题：
分
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞
析：
输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．
时，退出循环，
解解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
答：
因此S=（此时k=6），
因此可填：S．
故选：C．
点本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的
评： 关键．
8．（5分）（2015?重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x+y﹣ 4x﹣2y+1=0的对
称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）

A．
2 6
B． C． D．
考直线与圆的位置关系．
22
点：
专直线与圆．
题：
分求出圆的标准方程可得圆心和半 径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
析： 求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
2222
解
解：圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，表示以C（2，1）为圆< br>答： 心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1 ），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，
点A（﹣4，﹣1）．
由于AC=
∴切线的长|AB|==
=2
=6，
，CB=R=2，
点
评：
故选：C．
本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．
9．（5分）（2015?重庆）若tanα=2tan，则=（ ）

A1 B2 C3 D4
． ． ． ．
考三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．
点
：
专三角函数的求值．
题
：
分直接利用两角和与差 的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已
析知条件以及积化和差个数化简求解 即可．
：
解
解：tanα=2tan，则
答
：
==
===
==
==
====3．
故答案为：3．
点本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．
评
：
10．（5分）（2015?重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点 为F，右顶点为A，
过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两 垂线交于
点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
（ ）

A． （﹣1，0）∪（0，B． （﹣∞，﹣1）∪（1，C． D．
（﹣，0）∪（0，（﹣∞，﹣）∪
1） +∞）
） （，+∞）
考双曲线的简单性质．
点：
专计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分
析：
由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD ⊥AC得，
求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+
解
解：由题意，A（a，0 ），B（c，
答：
），C（c，﹣
，即可得出结论．
），由双曲线的对称性知D在x轴
上，
设D（x，0），则由BD⊥AC得，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=＜a+，
∴＜c﹣a=b，
222
∴0＜＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：A．
本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键． 点
评： < br>二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题
卡相 应位置上.
11．（5分）（2015?重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi ）（a﹣bi）= 3 ．
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模．
专题： 数系的扩充和复数．
22
分析：
将所求利用平方差公式展开得到a+b，恰好为已知复数的模的平方．
解答：
解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，
所以a+b=
22
=3，则（a+bi）（a﹣bi）=a+b=3；
22
故答案为：3．
点评： 本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．
12．（5分）（2015?重庆）的展开式中x的系数是
8
（用数字作答）．
考点： 二项式定理．
专题： 二项式定理．
分析： 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展
开式中的x的系数．
解答：
解：由于
8
的展开式的通项公式为 T
r+1
=
8
??，
令15﹣=8，求得r=2，故开式中x的系数是 ?=，
故答案为：．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
13．（5分）（2015 ?重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=
．
考点： 余弦定理的应用．
专题： 解三角形．
分析： 利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．
解答：
解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，
A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，
AC=2=．
故答案为：．
点评： 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
三、考生注意：（14）、（ 15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则
按前两题给分．
14 ．（5分）（2015?重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与
DC的 延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE= 2 ．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 选作题；推理和证明．
分析： 利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．
解答： 解：设CE=2x，ED=x，则
∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，
2
∴由切割线定理可得PA=PC?PD，即36=3×（3+3x），
∵x=3，
由相交弦定理可得9BE=CE?ED，即9BE=6×3，
∴BE=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5分）（2015?重 庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C的极坐标方程为
，则直线l与曲线C的交点的极坐标为 （2，
π） ．
考点： 简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．
解答：
解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；