数学经验分享2015最新高考数学解题技巧解题方法专题04数列通项公式的求解策略

2020年11月23日发(作者：刁筠寿)
专题04 数列通项公式的求解策略
【高考地位】
在高考中数列部分的考查既是重点又 是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴
题中与其他章节知识的综合，抓住数列的 通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式
也是学习数列时的一个难点。由于求通项 公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、
灵活度大、技巧性强。
【方法 点评】
方法一
解题模板：第一步
第二步
例1
(1)求
若数列
数学归纳法
[来源:]
求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；
使用数学归 纳法证明通项公式是成立的
2
.
a
n
的前n项和为
sn
，且方程
xa
n
xa
n
0
有一个根为
s
n
－1，n=1,2,3...
a
1
,a
2
； （2）猜想数列
S
n
的通项公式，并用数学归纳法证明
a
n
8(n1)
(2n1)(2n
2
【变式演练1】已知数列
{
a
n
}
满足
a
n1
3)
2
，
a
1
8
9
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。方法二
使用情景：已知
解题模板：第一步
第二步
第三步
则写出分 段形式或根据
例2 数列{
S
n
法
[来源:学_科_网Z_X_ X_K]
S
n
f
(
a
n
)
或S
n
利用
利用
根据
f
(
n
)
2
时，< br>S
n1
的表达式；
S
n
满足条件
p
，写出当
n
a
n
a
1
S
n
S
n1
(n2)
，求出
a
n
或者转化为
a
n
的递推公式的 形式；
S
1
求出
a
1
，并代入
{a
n}
的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，
a
1
和
{ a
n
}
的递推公式求出
a
n
.
1
an
}的前n项和为
S
n
，
a
1
=1，
a
n
1
，
a
1
2S
n
(
n< br>3a
3
N
),求{
a
n
}的通项公式。
na
n
n1
2
a
n1
(nN)
【变式演练2】在数列< br>{
a
n
}
中，
a
1
（1）求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
；
2a
2......
（2）若存在
nN
*
，使得
a
n
(n1)
成立，求实数的最小值.
方法三累加法
使用情景：型如
a
n1
a
n
f(n)
或
a
n1
a
n
f(n)
解题模板：第一步将递推公式写成
a
n1
a
n
f( n)
；
第二步依次写出
a
n
a
n1
,,a
2
a
1
，并将它们累加起来；
第三步得到
a
n
a< br>1
的值，解出
a
n
；
第四步检验
a
1
是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式
例3 在数列{
a
n
}中，
a
1
=1，
a
n
a
n1
n1
(n=2、3、4……) ，求{
a
n
}的通项公式。
【变式演练3】已知数列{a
11
n
}满足a
1
＝
2，a
n
＋
1
＝a
n
＋
n
2
＋ n
，求a
n
.
方法四累乘法
使用情景：型如
a
n1
a
f(n)
或
a
n1
a
n
f(n)
n
解题模板：第一步将递推公式写成
a
n1
a
f(n)
；
n
第二步依次写出
a
n
a
,,
a
2
a
，并将它们累加起来；
n11
第三步得到
a
n
a
的值，解出
a
n
；
1
第四步检验
a
1
是 否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式
例4 已知数列
a
满足
a
2n
n
1
3
,a
n1
n1
a
n
,求a
n
【变式演练4】已知
a
*
1
1
,
a
n
n(a
n1
a
n
)
( nN)
,求数列
a
n
通项公式.
方法五构造法一
使用情景 ：型如
a
n1
pa
n
q
（其中
p,q
为常 数，且
pq(p1)0,
）
解题模板：第一步假设将递推公式改写为a
n＋
1
＋t＝p(a
n
＋t)；
.
.
第二步 由待定系数法，解得
t
q
p1
；
第三步写出数列
{a
n
}
的通项公式；
p1
q
第四步
例5 已知数列{< br>【变式演练
写出数列
a
n
通项公式.
N
)，求数列{
a
n
}的通项公式。
a
n
}满足
a
1=1，
a
n1
=
2
a
n
1
(
n
5】已知数列{a
}中，a
＝1，a＝2a＋3，求a
. n1n＋1nn
方法六构造法二
使用情景：型如
解题模板：第一步
an1
pa
n
qnr
（其中
p,q
为常数，且
p q(p1)
a
n1
0,
）
假设将递推公式改写为
由待定系数 法，求出
写出数列
写出数列
x(n1)yp(a
n
xny)
；
第二步
第三步
第四步
例6 已知数列
【变式演练
x, y
的值；
{a
n
xny}
的通项公式；
a
n
通项公式.
1
{
a
n
}
满足
a
n
2a
n
3n
2
4n5，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
6】设数列{a
}满足a
＝4，a＝ 3a＋2n－1(n≥2)，求a
.
n1nn－1n
方法七构造法三
使用情 景：型如
a
n1
pa
n
q
（其中
p,q
为 常数，且
pq(p1)
q
a
n
q
n
n1
n
0,
）
1
q
[来源:学#科#网]
解题模板：第一步在递推 公式两边同除以，得
a
n
q
1
n1
p
a
n
qq
n
；
第二步利用方法五，求数列
{}
的通项公式；第三步
例7 已知数列
写出数列
a
n
通项公式.
1
{
a
n
}
满足
a
n
1
2a< br>n
35，a
1
2a
n
32
，
a
1< br>n
n
6
，求数列
a
n
的通项公式。
[来源: 学科网ZXXK]
例8 已知数列
【变式演练7】
{
a
n
}
满足
a
n
2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
＋
1
1
51
＋
已知数列{a
n
}中，a
1
＝，a
n1
＝
a
n
＋2
63
，求a
n
.