-
2013 年重庆市高考数学试卷 ( 理
科) 答案与解析
2013 年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共
10 小题，每小题 5 分，
共 50 分．在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2013?重庆）已知全集 U={1 ，2，3，4}，
集合 A={1 ，2}，B={2 ，3}，则 ?
U
（A ∪B）=
（
）
A ．{1，3， B．{3，4}
C．{3} D．{4} 4}
考 交、并、补集的混合运算．
点：
专 计算题．
题：
分 根据 A 与 B 求出两集合的并集 ，由全集 U，
析：找出不属于并集的元素 ，即可求出所求的集
合．
解 解：∵ A={1 ，2}，B={2 ，3}，
答： ∴A∪B={1 ，2，3}，
∵全集 U={1 ，2，3，4}，
2
∴ ?
U
（A∪B）={4} ．
故选 D
点 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练
评：掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5 分）（ 2013?重庆）命题“对任意
x∈R，都
有 x
2
≥0”的否定为（
）
A ．对任意 x∈R，都有
B． 不存在 x∈R，都有
x
2
＜0
x
2
＜0
C．存在 x
0
∈R，使得
D．存在 x
0
∈R，使得 x
02
x
02
≥0
＜0
考 命题的否定；全称命题．
点：
专 简易逻辑．
题：
分 直接利用全称命题的否定是特称命题 ，写出
析：命题的否定命题即可．
解 解：因为全称命题的否定是特称命题，
答：所以命题“对任意
x∈R，都有 x
2
≥ 0”的否
定为．存在 x
0
∈R，使得 x
02
＜0．
故选 D．
3
点 本题考查命题的否定 ，全称命题与特称命题
评：的否定关系，基本知识的考查．
3．（5 分）（2013?重庆）
的最大值为（
）
（﹣ 6≤a≤3）
A ．9
B．
C．3 D．
考 二次函数在闭区间上的最值．
点：
专 函数的性质及应用．
题：
分
令 f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+ ，而
析：
且﹣ 6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函
数 f（a）的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
解
解：令 f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+
，
答：
而且﹣ 6≤a≤3，由此可得函数 f（a）的最
大值为 ，
故
= ，
（﹣ 6≤a≤3）的最大值为
4
故选 B．
点 本题主要考查二次函数的性质应用 ，体现了
评：转化的数学思想，属于中档题．
4．（5 分）（2013?重庆）以下茎叶图记录了
甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成
绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为 15，
乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为
（
）
A ．2，5
B．5，5
C．5，8
D．8，8
考 茎叶图．
点：
专 概率与统计．
题：
分 求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据
析：加起来，再除以 5．找甲组数据的中位数要
把甲组数据按从小到大的顺序排列 ，位于最
中间的一个数为中位数．据此列式求解即
5
可．
解 解：乙组数据平均数 =（9+15+18+24+10+y）
答： ÷5=16.8；
∴ y=8；
甲组数据可排列成： 9，12，10+x，24，27．
所以中位数为： 10+x=15，
∴ x=5．
故选： C．
点 本题考查了中位数和平均数的计算 ．平均数
评：是指在一组数据中所有数据之和再除以数
据的个数．将一组数据从小到大依次排列，
把中间数据（或中间两数据的平均数） 叫做
中位数．
5．（5 分）（2013?重庆）某几何体的三视图如图
所示，则该几何体的体积为（
）
A ．
B．
C．200
D．240
6
考 由三视图求面积、体积．
点：
专 空间位置关系与距离．
题：
分 如图所示，该几何体是棱长分别为 4，8，
析： 10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四
棱柱，据此即可计算出体积．
解 解：如图所示，该几何体是棱长分别为 4，
答： 8，10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个
四棱柱，
由图知 V=
=200．
故选 C．
点 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
评：
7
6．（5 分）（2013?重庆）若 a＜b＜c，则函数 f
（x）=（x﹣a）（x﹣b） +（x﹣b）（x﹣c）+（x
﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（
）
A ．（a，b）B．（﹣
C．（b，c）D．（﹣
考
点：
专
题：
分
析：
解
答：＞
和（ b，
∞， a）
和（ c，
∞， a）
c）内
和（ a，
+∞）内
和（ c，
b）内
+∞）内
函数零点的判定定理．
函数的性质及应用．
：在区间（a，
b），（b， c）内分别存在一个零点；又函数
f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可
判断出．
解：∵ a＜ b＜c，∴ f（a）=（a﹣b）（a﹣c）
0，f（b）=（b﹣c）（ b﹣a）＜ 0，f（c）
=（c﹣a）（c﹣b）＞ 0，
由函数零点存在判定定理可知 ：在区间（a，
b），（b， c）内分别存在一个零点；
又函数 （fx）是二次函数，最多有两个零点，
8
由函数零点存在判定定理可知
因此函数 f（x）的两个零点分别位于区间
（a，b），（b，c）内．
故选 A．
点 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函
评：数最多有两个零点的性质是解题的关键．
7．（5 分）（2013?重庆）已知圆 C
1
：（x﹣2）
2
+
（ y﹣3）
2
=1，圆 C
2
：（x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
=9，M ，
N 分别是圆 C，C 上的动点，P 为 x 轴上的动点，
12
则|PM|+|PN| 的最小值为（
）
A ．5﹣4B．
1 C．6﹣2D．
考 圆与圆的位置关系及其判定 ；两点间的距离
点：公式．
专 直线与圆．
题：
分
求出圆 C 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标
1
2
析： A，以及半径，然后求解圆 A 与圆 C 的圆
心距减去两个圆的半径和，即可求出
|PM|+|PN| 的最小值．
解 解：如图圆 C 关于 x 轴的对称圆的圆心坐
1
答：标 A（2，﹣ 3），半径为 1，
9
圆 C
2
的圆心坐标（ 3，4），半径为 3，|PM|+|PN|
的最小值为圆 A 与圆 C 的圆心距减去两个
2
圆的半径和，
即：
=5 ﹣4．
故选 A．
点 本题考查圆的对称圆的方程的求法 ，两个圆
评：的位置关系，两点距离公式的应用，考查转
化思想与计算能力．
8．（5 分）（2013?重庆）执行如图所示的程序框
图，如果输出 S=3，那么判断框内应填入的条件
是（
）
10
A ．k≤ 6 B．k ≤7 C．k≤8 D．k≤9
考 程序框图．
点：
专 图表型．
题：
分 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输
析：出的结果是 S=3，可得判断框内应填入的条
件．
解 解：根据程序框图，运行结果如下：
答：
S k
第一次循环
log 33
2
第二次循环
log
2
3?log
3
4 4
第三次循环
log
2
3?log
3
4?log
4
5 5
第四次循环
log
2
3?log
3
4?log
4
5?log
5
6
11
6
第五次循环
log3?log4?log5?log6?log7
23456
7
第六次循环
log3?log4?log5?log6?log7?log8=log8=3
2345672
8
故如果输出 S=3，那么只能进行六次循环，
故判断框内应填入的条件是 k≤7．
故选 B．
点 本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对
评：循环体每次循环需要进行分析并找出内在
规律．本题属于基础题．
9．（5 分）（2013?重庆） 4cos50°﹣ tan40°=
（
）
A ．
B．
C．
D．2
﹣1
考 两角和与差的正弦函数 ；同角三角函数间的
点：基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正
弦．
专 三角函数的求值．
题：
12
分 原式第一项利用诱导公式化简 ，第二项利用
析：同角三角函数间的基本关系切化弦 ，通分后
利用同分母分式的减法法则计算 ，再利用诱
导公式及两角和与差的正弦函数公式化
简，整理后利用两角和与差的余弦函数公
式化 为一个角的余弦函数，约分即可得到
结果．
解
解： 4cos50°﹣ tan40°=4sin40°﹣
答：
tan40°=
=
=
=
=
=
．
故选 C
点 此题考查了两角和与差的正弦 、余弦函数
公评：式，同角三角函数间的基本关系，以及诱
导 公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关
键．
10．（5 分）（2013?重庆）在平面上，
⊥ ，
| |=| |=1， = +
．若 | |＜ ，则 | |的取值
范围是（
）
13
A ．（0， ]B．（ ， ]C．（ ， ]D．（ ， ]
考 向量在几何中的应用 ；平面向量的基本定理
点：及其意义．
专 压轴题；平面向量及应用．
题：
分 建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表
析：示，利用向量模的计算公式 ，即可得到结
论 ．解 解：根据条件知 A，B，P，B 构成一个
12
矩答：形 AB PB，以 AB ，AB 所在直线为坐标
1212
轴
建立直角坐标系，设 |AB
1
|=a，|AB
2
|=b，点 O
的坐标为（x，y），则点 P 的坐标为（a，b），
由
=1，得
，则
∵ | |＜ ，∴
∴
∴
∵（x﹣a）+y =1，∴ y=1﹣（ x﹣a）≤1，
2222
∴ y≤1
2
同理 x≤1
2
∴ x+y≤2②
22
14
由①②知
，
∵ | |=，∴ ＜| |≤
故选 D．
点 本题考查向量知识的运用 ，考查学生转化问
评：题的能力，考查学生的计算能力 ，属于难题．
二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答 5 小题，
每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答题卡相应
位置上．
11．（5 分）（2013?重庆）已知复数 z=
（i
虚数单位），则 |z|=
．
考 复数求模．
点：
专 计算题．
题：
分 通过复数的分子与分母同时求模即可得到
析：结果．
15
是
= = ．
解
解： |z|=
答：
故答案为： ．
点 本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
评：
12．（5 分）（2013?重庆）已知 {a }是等差数
n
列，a=1，公差 d≠ 0，S 为其前 n 项和，若 a，
1n1
a， a 成等比数列，则 S
25
8= 64
．
考 等差数列的前 n 项和；等比数列的前 n 项
点：和．
专 计算题；压轴题；等差数列与等比数列．
题：
分 依题意， a=1， =a?（a+4d），可解析：得
111
d，从而利用等差数列的前 n 项和公式即
可求得答案．
解 解：∵ {a }是等差数列， a，a，a 成等比数
答：列，
n125
∴
=a?（a+4d），又 a=1，
111
2
∴ d﹣2d=0，公差 d≠0，
∴ d=2．
16
∴其前 8 项和 S
8
=8a
1
+
×d=8+56=64．
故答案为： 64．
点 本题考查等差数列的前 n 项和，考查方程思
评：想与运算能力，属于基础题．
13．（5 分）（2013?重庆）从 3 名骨科、 4 名脑
外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾
医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有
1 人的选派方法种数是
590
（用数字作答）．
考 排列、组合及简单计数问题．
点：
专 压轴题；概率与统计．
题：
分 不同的组队方案 ：选 5 名医生组成一个医疗
析：小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都
至少有 1 人，方法共有 6 类，他们分别是：
3 名骨科、 1 名脑外科和 1 名内科医生； 1
名骨科、 3 名脑外科和 1 名内科医生，?，
在每一类中都用分步计数原理解答．
解 解：直接法： 3 名骨科、 1 名脑外科和 1 名
答：内科医生，有 C
3
3
C
4
1
C
5
1
=20 种，
17
1 名骨科、 3 名脑外科和 1 名内科医生，有
C
1
C
3
C
1
=60 种，
345
1 名骨科、 1 名脑外科和 3 名内科医生，有
C
1
C
1
C
3
=120 种，
345
2 名骨科、 2 名脑外科和 1 名内科医生，有
CCC=90
种，
3
2
4
2
5
1
1 名骨科、 2 名脑外科和 2 名内科医生，有
CCC=180
种，
3
1
4
2
5
2
2 名骨科、 1 名脑外科和 2 名内科医生，有
CCC=120
种，
3
2
4
1
5
2
共计 20+60+120+90+180+120=590
种故答案为： 590．
点 本题主要考查了排列、组合及简单计数问
评：题，解答关键是利用直接法 ：先分类后分步 ．
14，15，16 三题为选做题，请从中任选两题作
答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5 分）（2013?重庆）如图，在△ ABC 中，
∠ C=90°，∠ A=60 °，AB=20 ，过 C 作△ ABC
的外接圆的切线 CD，BD⊥CD，BD 与外接圆交
于点 E，则 DE 的长为 5 ．
18
-
-
-
-
-
-
-
-
本文更新与2020-11-23 03:37，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/456468.html
-
上一篇：2017重庆高考数学理(含解析)
下一篇：重庆高考数学分析