数学难学吗河北省2019届中考数学系统复习 8年中考真题精练 练习(打包45套)

2020年11月23日发(作者：闵如霖)
第一单元 数与式
第1讲 实数及其运算

命题点1 实数的有关概念
1．(2012·河北T1·3分)下列各数中，为负数的是(B)
A．0 B．－2 C．1
1
D.
2
2．(2016·河北T1·3分)计算：－(－1)＝(D)
A．±1 B．－2 C．－1 D．1
3．(2017·河北T6·3分)如图为张小亮的答卷，他的得分应是(B)
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分

4．(2018·河北T10·2分)图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是(B)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．(2013·河北T5·2分)若x＝1，则|x－4|＝(A)
A．3 B．－3 C．5 D．－5
0
6．(2015·河北T17·3分)若|a|＝2 015，则a＝±1．
命题点2 科学记数法
7．(2013·河北T2·2分)截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人．将4 230
000用科学记数法表示为(B)
76
A．0.423×10 B．4.23×10
54
C．42.3×10 D．423×10
10
8．(2018·河北T2·3分)一个整数815 550…0用科学记数法表示为8.155 5×10，则原
数中“0”的个数为(B)
A．4 B．6 C．7 D．10
n
9．(2017·河北T2·3分)把0.081 3写成a×10(1≤a＜10，n为整数)的形式，则n为(B)
A．1 B．－2 C．0.813 D．8.13
命题点3 平方根、算术平方根、立方根
10．(2013·河北T6·2分)下列运算中，正确的是(D)

1
A.9＝±3
0


B.
3
－8＝2
C．(－2)＝0
1
－1
D．2＝
2
11．(2016·河北T17·3分)8的立方根为2．
命题点4 实数的大小比较
3
12．(2011·河北T13·3分)5，π，－4，0这四个数中，最大的数是π．
命题点5 非负数的性质
13．(2011·河北T15·3分)若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为1．
3
2－10
14．(2014·河北T18·3分)若实数m，n 满足|m－2|＋(n－2 014)＝0，则m＋n＝．
2
命题点6 实数的运算
0
15．(2011·河北T1·2分)计算3的结果是(C)
A．3 B．30 C．1 D．0
16．(2013·河北T1·2分)气温由－1 ℃上升2 ℃后是(B)
A．－1 ℃ B．1 ℃ C．2 ℃ D．3 ℃
17．(2017·河北T1·3分)下列运算结果为正数的是(A)
2
A．(－3) B．－3÷2
C．0×(－2 017) D．2－3
18．(2015·河北T1·3分)计算：3－2×(－1)＝(A)
A．5 B．1 C．－1 D．6
19．(2017·河北T4·3分）
2m
A.
n

3
2
B.
3n
m
＝(B)
2m
C.
3

n
m
D.
3n2
20．(2017·河北T12·2分)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话 内容，
下列选项错误的是(D)


A．4＋4－4＝6
00
B．4＋4＋4＝6
3
C．4＋4＋4＝6
D．4÷4＋4＝6
－1

2
11
02
21． (2012·河北T19·8分)计算：|－5|－(2－3)＋6×(－)＋(－1).
32
解：原式＝5－1＋(2－3)＋1＝4.
22．(2016·河北T20·9分)利用运算律有时能进行简便计算．

请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15)；
413
(2)999×118＋999×(－)－999×18.
555
解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15)
＝－15 000＋15
＝－14 985.
413
(2)原式＝999×[118＋(－)－18]
555
＝999×100
＝99 900.
23．(2017·河北T2 0·8分)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC
＝1，如图所示．设点 A，B，C所对应数的和是P.

(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P又是多
少？
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求P.

解：(1)以B为原点，点A，C分别对应－2，1.2分
P＝－2＋0＋1＝－1；4分
以C为原点，P＝(－1－2)＋(－1)＋0＝－4.6分
(2)P＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)
＝－88.8分
2 4．(2018·河北T22·9分)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个
至第 4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试：(1)求前4个台阶上数的和是多少？
(2)求第5个台阶上的数x是多少？
应用：求从下到上前31个台阶上数的和．
发现：试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．

解：尝试：(1)由题意，得前4个台阶上数的和是－5－2＋1＋9＝3.
(2)由题意，得－2＋1＋9＋x＝3.

3
解得x＝－5.
则第5个台阶上的数x是－5.
应用：由题意知，台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4＝7……3，∴7×3＋1－2－5＝15.
即从下到上前31个台阶上数的和为15.
发现：数“1”所在的台阶数为4k－1.

重难点1 实数的有关概念
(2018·河北预测改编 )我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数
在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们 可以在数轴上找到与数字2对应的点．
(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；

(2)( 1)中所取点A表示的数字是22，相反数是－22，绝对值是22，倒数是
2
，
4< br>其到点5的距离是5－22；
(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平 移2个单位长度，再取其关
于点B的对称点C，求CO的长．
【自主解答】 解：(1)如图所示．(答案不唯一)

(3)将点A向左平移2个单位长度，得到点A′， 则点A′表示的数字为22－2，其关
于点B的对称点为C，
∵点B表示的数字为1，
∴点C表示的数字为2×1－(22－2)＝4－22.
∵22≈2×1.414＝2.828<4，
∴CO＝4－22.
【变式训练1】 (2018·石家庄裕华区一模)如果点A，B在数轴上表示的数的绝对值相等，
且AB＝4，那么点A 表示的数是(B)

A．－3 B．－2 C．－1 D．3
【变式训练2 】(2017·邯郸一模)数轴上点A，B表示的数分别是a，b，则点A，B之间的距
离为(D)
A．a＋b B．a－b C．|a＋b| D．|a－b|
方法指导
1．求一个数的相反数，直接在这个数前面加上负号，并化简．
1ba
2．非零整数a的倒数为，0没有倒数，分数的倒数是.
aab
3．非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
4．一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离．
重难点2 科学记数法

4
(2018·保定二模)2017年11月21日，2017国际产能合作论 坛在北京国家会议中
心举行，会上指出，未来15年，中国市场预计将进口24万亿美元商品，吸收2万 亿美元境
外直接投资，对外投资总额将达到2万亿美元．数据“24万亿”用科学记数法表示为(B)
121385
A．2.4×10 B．2.4×10 C．2.4×10 D．2.4×10
【变式训练3】 (2018·唐山路北区二模)将0.000 007 7用科学记数法表示为(D)
－5－6－5－6
A．7.7×10 B．77×10 C．77×10 D．7.7×10
5
【变式训练4】 (2018·河北模拟)若一个数用科学记数法表示为5.8×10，则这个数为(C)
A．5 800 B．58 000 C．580 000 D．5 800 000
方法指导
1．a值的确定：
a是整数位数只有一位的数，即1≤a＜10.
2．n值的确定：
(1)对于一个大于10的数，n是正整数，n等于原数的整数位数减去1；
(2)对于一个 大于0且小于1的数，n是负整数，n等于原数左起第一个非零数前所有零
(包括小数点前的零)的个数 的相反数．
重难点3 平方根、算术平方根、立方根
(2018·河北模拟)下列说法正确的是(C)
3
3
A.－2的相反数是－2
3
B．a的立方根是±a
C．－5是25的平方根 D.16的算术平方根是4
【变式训练5】(2018·恩施改编)(1)64的平方根为±8，算术平方根为8，立方根为4；
(2)0.001的立方根为0.1；
(3)－0.027的立方根为－0.3；
11
(4)的立方根为；
82
3
(5)
11
－＝－．
273
【变式训练6】 (2018·河北中考预测)若一个正数的平方根为2a－3和5－a，则a＝－2．
易错提示注意平方根、算术平方根、立方根的区别．
重难点4 实数的运算
1
－20
(2018·通辽)计算：－|4－12|－(π－3.14)＋(1－cos30°)×().
2
【自主解答】 解：原式＝－(4－23)－1＋(1－
3
)×4
2
＝－4＋23－1＋4－23
＝－1.
【变式训练7】 (2018·石家庄桥西区一模)下列计算错误的是(C)
A．2÷2÷2＝2
3
B.2×2×2＝2
0

5
3
C.2＋2＋2＝2 D．2×2＋2＝2
－10
【变式训练8】 (2017·石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑
了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，
最后又向东跑回到自己家．

(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴
上 ，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；
(2)求小彬家与学校之间的距离；
(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
解：(1)如图．
(2)小彬家与学校的距离是2－(－1)＝3(km)．
(3)小明一共跑了2＋1.5＋4.5＋1＝9(km)．
小明跑步一共用的时间是9 000÷250＝36(min)．
方法指导实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记 有关的运算性质．如：
1
－p0
(1)a＝
p
(a≠0，p为正整数 )；(2)a＝1(a≠0)；(3)－1的奇次幂为－1，偶次幂为1.
a



1．(2018·重庆B卷)下列四个数中，是正整数的是(D)
A．－1 B．0
1
C.
2
D．1
·
π22< br>2．(2018·巴中)下列各数：，0，9，0.23，cos60°，，0.030 030 003…，1－2，
27
其中无理数的个数为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
24
3．(2018·河北模拟)在－(－4)，(－2)，|－6 |，－1中，结果为负数的有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2018·石家庄十八县大联考)一个数和它的倒数相等，则这个数是(C)
A．1 B．－1 C．±1 D．±1和0
5．(2018·石家庄新华区二模)关于字母a所表示的数，下列说法正确的是(B)
A．a一定是正数 B．a的相反数是－a
1
C．a的倒数是
a
2
D．a的绝对值等于a
6．(2018·黔东南、黔南、黔西南)下列等式正确的是(A)
A.2＝2 B.3＝3 C.4＝4 D.5＝5
7．(2018·荆州)如图，两个实数互为相反 数，在数轴上的对应点分别是点A，B，则下列说
法正确的是(B)


6
345
A．原点在点A的左边
B．原点在线段AB的中点处
C．原点在点B的右边
D．原点可以在点A或点B上
8．(2018·邯郸一模) 如图，“中国天眼”即500米口径球面射电望远镜(FAST)，是具有我国
自主知识产权、世界最大 单口径、最灵敏的射电望远镜，由4 600个反射面单元组成一个球
n
面，把4 600表示成a×10(其中，1≤a<10，n为整数)的形式，则n为(C)
A．－1 B．2 C．3 D．4

9．(2018·绵阳)四川省公布了2017年经 济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总
量为2 075亿元．将2 075亿用科学记数法表示为(B)
1211
A．0.207 5×10 B．2.075×10
1012
C．20.75×10 D．2.075×10
3
10．若x是64的平方根，则x＝(C)
A．2 B．－2 C．2或－2 D．4或－4
11．(2018·石家庄二模)已知三个数：－π，－3，－22，它们的大小关系是(D)
A．－π<－22<－3 B．－3<－π<－22
C．－22<－π<－3 D．－π<－3<－22
12．(2018·河北中考预测)已知一袋大米的标准重量为5 kg，下 表是称量5袋这种大米后，
其结果与标准重量的关系，则根据表格可知，这5袋大米的平均重量为(B)

编号
与标准重量
的差(单位：kg)
A.5.0 kg
1
－0.1

2
＋0.2

3
－0.5
4
＋0.3
5
＋0.6
B．5.1 kg C．5.2 kg D．5.3 kg
3
13．(2018·河北模拟)比较大小：26<11(填“>”或“<”)．
1 4．(2018·河北终极预测)计算：2.3×10－1.8×10＝5×10(结果用科学记数法表示)．
15．(2018·黄石)计算：(2)＋(π－π)＋cos60°＋|2－2|.
11
解：原式＝＋1＋＋2－2
2
2
（2）
11
＝＋1＋＋2－2
22
＝4－2.

16．(2018·河北中考预测)(－2)的相反数是(A)
A．－1 B．1 C．－2 D.2
17．(2018·邯郸二模)如图，数轴上表示2的数对应的点为A点．若 点B为在数轴上到点

7
0
－220
554
A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是(D)

A.2－1
C．1－2或1＋2
B.2＋1
D.2－1或2＋1
3
18．(2018·河北第二次模拟大联考)若x＝x，则x＝0，1．
19．(2018·河北考试说明)如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1.

将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M
1
，M
2
，… ，M
99
；
再将线段OM
1
分成100等份，其分点由左向右依次 为N
1
，N
2
，…，N
99
；
继续将线段ON< br>1
分成100等份，其分点由左向右依次为P
1
，P
2
，…， P
99
.
－6
则P
37
所表示的数用科学记数法表示为3.7×10．
20 ．用“3，8，6，2”四个数，添上合适的运算符号和括号，使运算结果为24，算式是3
×6＋8－ 2．
21．(2018·石家庄十八县大联考)嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了 题
目的一部分：
计算：(－7)＋|1－3|＋(
0
3
－12 018
)－□＋(－1).
3
经询问，王老师告诉题目的正确答案是1.
(1)求被覆盖的这个数是多少？
(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值．
解：(1)原式＝1＋3－1＋3－□＋1＝1，
∴□＝1＋3－1＋3＋1－1＝23.
(2)∵α为三角形一内角，
∴0<α<180.
∴－15°<(α－15)°<165°.
∵2tan(α－15)°＝23，
∴(α－15)°＝60°.
∴α＝75.

22．(2018·河北中 考预测)如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b
2
是最小的正整数， 且a，c满足|a＋2|＋(c－7)＝0.
(1)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求点B与折叠后的对应点D之间的距离；
(2) 若点A，B，C在数轴上运动，其中点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时
点B和点C分别以每 秒2个单位长度和4单位长度的速度向右运动，设运动t秒时，点A
与点B之间的距离表示为AB，点A 与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表
示为BC，则3BC－2AB的值是否随着时间 t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，
求出3BC－2AB的值．

解：(1)∵|a＋2|＋(c－7)＝0，
∴a＋2＝0，c－7＝0，解得a＝－2，c＝7.
∵b是最小的正整数，∴b＝1.

8
2
∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，
∴点C到折叠处的点的距离为(7＋2)÷2＝4.5.
∵7－4.5＝2.5，
∴折叠处的点对应的数为2.5.
∴BD＝2×(2.5－1)＝3.
(2)不变．
∵AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6，
∴3BC－2AB＝3(2t＋6)－2(3t＋3)＝12.
∴3BC－2AB的值不随着时间t的变化而改变，且3BC－2AB的值为12.

23．(2018·河北中考预测)从河北省政府新闻办12月6日举行的新闻发布会上了解到，到
2 022年，河北省将培养1.5万名冰雪项目社会体育指导员，将数据1.5万用科学记数法表
－nn< br>示成a×10，则(a＋0.5)的值为(D)
A．－16 B．16
1
C．－
16
D.
1

16



24．(2018·河北中考预测)我国古代《易经》一书记录了古代人们的一种 计数方法：结绳计
数．若一种绳结的计数方式为：从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，如图1中 绳结
表示的数为13，则图2中绳结表示的数为59．



第2讲 整式及因式分解

命题点1 代数式及其求值 1．(2018·河北T12·2分)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要< br>将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)

A．4 cm
B．8 cm
C．(a＋4)cm
D．(a＋8)cm

9
2．(2013·河北T9·3分)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y＝(B)
A．2 B．3 C．6 D．x＋3
22
3．(2018·河北T18·3分)若a，b互为相反数，则a－b＝0．
2
4．(2012·河北T15·3分)已知y＝x－1，则(x－y)＋(y－x)＋1的值为1．
5．(2016·河北T18·3分)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝1．
命题点2 幂的运算
nnnn
6．(2018·河北T13·2分)若2＋2＋2＋2＝2，则n＝(A)
A．－1 B．－2 C．0
1
D.
4
命题点3 整式的运算及求值
3
7．(2012·河北T2·2分)计算(ab)的结果是(C)
3333
A．ab B．ab C．ab D．3ab
8．(2016·河北T2·3分)下列运算正确的是(D)
0235
A．(－5)＝0 B．x＋x＝x
23252－1
C．(ab)＝ab D．2a·a＝2a
9．(2011·河北T4·2分)下列运算正确的是(D)
45
A．2x－x＝1 B．x＋x＝x
3322
C．(－2x)＝－6x D．xy÷y＝x
10．(2015·河北T4·3分)下列运算正确的是(D)
1
－1
1
A．()＝－
22
22
B．6×10＝6 000 000
325
7
C．(2a)＝2a D．a·a＝a
11．(2015·河北T21·10分)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程， 随后用手掌捂住了
如图所示的一个二次三项式，形式如图：

(1)求所捂的二次三项式；
(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．
22
解：(1)设所捂的二次三项式为A，根据题意，得A＝x－5x＋1＋3x＝x－2x＋1.
(2)当x＝6＋1时，A＝(x－1)＝(6)＝6.



12．(2018·河北T20·8分)嘉淇准备完成题目：化简：( x＋6x＋8)－(6x＋5x＋2)．发
现系数“ ”印刷不清楚．

10
22
22
(1)他把“ ”猜成3，请你化简：(3x＋6x＋8)－(6x＋5x＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我 看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中
22
“ ”是几？
解：(1)(3x
2
＋6x＋8)－(6x＋5x
2
＋2)
＝3x
2
＋6x＋8－6x－5x
2
－2
＝－2x
2
＋6.
(2)设“ ”是a，则
原式＝(ax
2
＋6x＋8)－(6x＋5x
2
＋2)
＝ax
2
＋6x＋8－6x－5x
2
－2
＝(a－5)x
2
＋6.
∵标准答案的结果是常数，
∴a－5＝0.
解得a＝5.



13．(2017·河北T22·9分)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 ：(1)(－1)
2
＋0
2
＋1
2
＋2
2
＋3
2
的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平 方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 解：验证：(1)∵(－1)
2
＋0
2
＋1
2
＋22
＋3
2
＝1＋0＋1＋4＋9＝15＝5×3，
∴(－1)
2
＋0
2
＋1
2
＋2
2
＋3
2
的 结果是5的3倍．
(2)由题意，得(n－2)
2
＋(n－1)
2
＋(n＋1)
2
＋(n＋2)
2
＋n
2
＝5n
2< br>＋10＝5(n
2
＋2)．
∵n为整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数．
延伸：余数是2.理由：
设中间的整数为n，则
(n－1)
2
＋n
2
＋(n＋1)
2
＝3n
2
＋2.
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.


命题点4 乘法公式的应用
14．(2018·河北T4·3分)将9.5
2
变形正确的是(C)
A．9.5
2
＝9
2
＋0.5
2

B．9.5
2
＝(10＋0.5)(10－0.5)
C．9.5
2
＝10
2
－2×10×0.5＋0.5
2

D．9.5
2
＝9
2
＋9×0.5＋0.5
2

命题点5 因式分解
15．(2013·河北T4·2分)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x
2
＋2x＋1＝x(x＋2)＋1

11


C．(x＋1)(x＋3)＝x＋4x＋3
3
D．x－x＝x(x＋1)(x－1)
22
16．(2014·河北T3·2分)计算：85－15＝(D)
A．70 B．700 C．4 900 D．7 000
17．(2011·河北T3·2分)下列分解因式正确的是(D)
32
A．－a＋a＝－a(1＋a)
B．2a－4b＋2＝2(a－2b)
22
C．a－4＝(a－2)
22
D．a－2a＋1＝(a－1)

重难点1 幂的运算
根据幂的运算法则，把a写成幂的运算形式，并说明依据哪种运算法则．(要求至
少写出2种 ，且每种依据的运算不相同)例如：依据同底数幂的乘法可得，a＝a·a.
6335
【自主解答】 解：答案不唯一，例如：依据同底数幂的乘法可得，a＝a·a＝a·a……；
6827
依据同底数幂的除法可得，a＝a÷a＝a÷a……；
63223
依据幂的乘方可得，a＝(a)＝(a)；
65
依据单项式乘法可得，a＝2a·0.5a…….
【变式训练1】(2018·保定二模)下列计算正确的是(D)
43437
A．a÷a＝1 B．a＋a＝a
3412437
C．(2a)＝8a D．a·a＝a
xy2x－3y
【变式训练2】(2018·威海)已知5＝3，5＝2，则5＝(D)
3
A.
4
B．1
2
C.
3
9
D.
8
624
6
2
方法指导我们把 加减称为一级运算，乘除称为二级运算，乘方开方称为三级运算．幂的运
算法则实质是把幂的运算转化为 指数运算，因为指数本身处在高级位置，所以幂的运算转化
为指数运算要降一级．如：同底数幂相乘(除 )变为指数相加(减)，幂的乘方变为指数相乘，
积的乘方就是乘方对乘法的分配律，相当于乘法分配律 升级．
重难点2 整式的运算
(2018·邵阳)先化简，再求值：(a－2b)(a＋ 2b)－(a－2b)＋8b，其中a＝－2，b
1
＝.
2
【自主解答】解：原式＝a－4b－a＋4ab－4b＋8b＝4ab.
1
当a＝－2，b＝时，原式＝－4.
2
a2－a
2
【变 式训练3】【整体思想】若a－2a－3＝0，代数式·的值是(D)
23
A．0
a
B．－
3
2
22222
22
C．2
1
D．－
2
22
【变式训练4】(2018·河北考试说明)若m ＋n＝2，mn＝1，则m＋n＝2．
【变式训练5】 【整体思想】(2018·临沂)已知m＋n＝mn，则(m－1)(n－1)＝1．

12
方法指导先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合数学思想：整体代入、降次、数形
结合、 逆向思维等，使解题更加方便快捷．
重难点3 因式分解
把4a添上1项或2项，使它能够进行因式分解．
(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；
(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．
2
【自主解答】 解：(1)答案不唯一，例如：4a＋2a＝2a(2a＋1)；
222
4a＋4a＋1＝(2a＋1)；4a－1＝(2a－1)(2a＋1)．
(2)答案不唯一，例如：
2222
①4a－4b＝4(a－b)＝4(a＋b)(a－b)；
24222
②4a－a＝a(4－a)＝a(2－a)(2＋a)；
22222
③4a－8ab＋4b＝4(a－2ab＋b)＝4(a－b).
【变式训练6】 (2018·唐山乐亭县一模)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是(C)
A．a(m＋n)＝am＋an
2222
B．a－b－c＝(a－b)(a＋b)－c
2
C．10x－5x＝5x(2x－1)
2
D．x－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
1
2
188
2
【变式训练7】 (2018·河北中考预测)计算(9)＋2×9×＋()的结果正确的是(A)
9999
A．100 B．10 000 C．1 000 D．9 900
3243
【变式训练8】 (2018·唐山乐亭县七年级期末)2xy与12xy的公因式是2xy．
22
【变式训练9】 (2018·石家庄二模)分解因式：xy－2xy＋x＝x(y－1)．
22
【变式训练10】 【整体思想】(2018·苏州)若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)－(b－1)
的值为12．
易错提示必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．


1．(2018·荆州)下列代数式中，整式为(A)
A．x＋1 B.
1

x＋1
C.x＋1
2
2
2
D.
x＋1

x
2．(2018· 河北中考预测)若(x＋3)(x＋n)＝x＋mx－15，则m等于(A)
A．－2 B．2 C．－5 D．5
8
3．(2018·河北中考预测)下列各式中，计算结果为a的是(C)
444－2 10242
A．a＋a B．a·aC．a÷a D．(－2a)
4．(2018·包头)如果2x
1
A.
2

a＋1
y与xy
2b－1
a
是同类项，那么的值是(A)
b
C．1 D．3
3
B.
2


13
5．(2018·淄博)若单项式a
m－12
1
2nm
b与ab的和仍是单项式，则n的值是(C)
2
A．3 B．6 C．8 D．9
2
6．(2018·石家庄新华区二模)已知x＋4mx＋16是完全平方式，则m的 值为(C)
A．2 B．4 C．±2 D．±4
7．(2018 ·齐齐哈尔)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列
赋予3a实际意义的例 子中，不正确的是(D)
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放 在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受
到的压强，则3a表示小木块对桌面的 压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
2333
8．(2018·青岛)计算(a)－5a·a的结果是(C)
5669 66
A．a－5a B．a－5aC．－4a D．4a
9．【整体思想】(2 018·邢台一模)若m－x＝2，n＋y＝3，则(m－n)－(x＋y)＝(A)
A．－1 B．1 C．5 D．－5
22
10．(2018·河北考试说明)计算：55－15＝(D)
A．40 B．1 600 C．2 400 D．2 800
11．(2018·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是(C)

A．x＝3，y＝3 B．x＝－4，y＝－2
C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
12．(2018·枣庄)如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和 两块长方形．若拿
掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为 (A)

A．3a＋2b
B．3a＋4b
C．6a＋2b
D．6a＋4b
2
13．(2018·株洲)单项式5mn的次数为3．
32
14．分解因式：m－9mn＝m(m－3n)(m＋3n)．
22
15．(2018·张家口一模)已知多项式A＝(x＋1)－(x－4y)．
(1)化简多项式A；
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
22
解：(1)A＝(x＋1)－(x－4y)
22
＝x＋2x＋1－x＋4y
＝2x＋4y＋1.

14
(2)∵x＋2y＝1，
由(1)，得A＝2x＋4y＋1＝2(x＋2y)＋1，
∴A＝2×1＋1＝3.

16．(2018·唐山乐亭县七年级期末)下列说法：①(－2)＋(－2)＝－2；②2 018＋2 018
11
一定可以被2 019整除；③16.9×＋15.1×能被4整除； ④两个连续奇数的平方差是8
88
的倍数．其中说法正确的有(A)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22
17．(2018·河北中考预测)若a－ 3ab＝－5，b＋ab＝14，则a－b的值为3或－3．
18．(2018·河北中考预测)如图 ，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可
2222
得：(a＋b＋c)＝a ＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图
22222
形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)＝a＋b＋c＋d＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2c d.一般
地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
根据以上结论解决下列问题：
222
(1)若a＋b＋c＝6，a＋b＋c＝14，则ab＋bc＋ac＝11；
(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，
求m的 值．
1011001002

解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，
222 222
∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)＝(－4)＋(－2)＋(－1)＋3＋5＋2m＝5 5＋2m
＝1.
∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.

19．(2018·保定一模)若3×9×27＝3，则m的值为(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
xy
20．(2018·张家口一模)若x＋3y＝0，则2·8＝1．

21．(2018·河北模拟)在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按
下列 步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
mm21

(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到

15
的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)， 请你帮
小明完成这个验证过程．
22
解：(1)第一步：(5＋1)－(5－1)＝20；
第二步：20×25＝500；
第三步：500÷5＝100.
∴小明计算出最后结果为100.
22
(2)∵[(a＋1)－(a－1)]×25÷a
＝(a＋1＋a－1)(a＋1－a＋1)×25÷a
＝4a×25÷a
＝100，
∴结论成立．



第3讲 分式

命题点 分式的化简求值
xx
1．(2014·河北T7·3分)化简：－＝(C)
x－1x－1
A．0 B．1 C．x D.
x

x－1
2
2．(2016·河北T4·3分)下列运算结果为x－1的是(B)
1
A．1－
x


x－1x
B.·
xx＋1
x＋2x＋1
D.
x＋1
2
2
x＋11
C.÷
xx－1
3－2x1
3．(2017·河北T13·2分)若＝( )＋，则( )中的数是(B)
x－1x－1
A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数
4．(2018·河北T14·2分)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简 ，规则是：每
人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过
程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是(D)
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙
a－b3
5．(2015·河北T18·3分)若a＝ 2b≠0，则
2
的值为．
a－ab2
2xy＋yx＋y
6．(20 13·河北T18·3分)若x＋y＝1，且x≠0，则(x＋) ÷的值为1.
xx

16
2
22
D．乙和丁

重难点 分式的运算
9－3a5
2
先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a－a－6＝0.
2a－4a－2
3（3－a）a－9
【自主解答】解：原式＝÷
2（a－2）a－2
＝
＝
3（3－a）a－2
·
2（a－2）（a＋3）（a－3）
－3
.
2（a＋3）
2
2
∵a－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2.
3
∴当a＝－2时，原式＝－.
2
bb
【变式训练1】(2018·石家庄一模)若( )÷＝，则( )中的式子是(D)
aa
A．b
1
B.
b
b
C.
a
2
2
b
D.
2

a
3
a－3a2a－2
【变式训练2】(2018·遵义)化简分式(
2
＋)÷
2
，并在2，3，4，5这四个
a－6a＋93－aa－9
数中取一个合适的数作为a的 值代入求值．
a（a－3）2a－2
解：原式＝[]÷
2
－
（a －3）a－3（a＋3）（a－3）
a2（a＋3）（a－3）
＝(－)·
a－3a－3a－2
＝
a－2（a＋3）（a－3）
·
a－3a－2
＝a＋3.
∵a≠－3，2，3，
∴a＝4或a＝5.
∴当a＝4时，原式＝7.(或当a＝5时，原式＝8.)
方法指导通分时，先把可以分解因 式的分母分解因式，再找最简公分母，需要约分时，先
把可以分解因式的分子或分母分解，再约分．
易错提示
1．分式运算的结果要化成最简分式．
2．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．
3．所取 字母的值不仅要让化简后的分式有意义，还需让原分式有意义(如：除式的分子也不
能为零)．



17
120y3abc5xy10
1．在式子，，，，－，9x＋中，分式的个数为(B)
aπ46＋x78y
A．2 B．3 C．4 D．5
1
2．(2018·唐山滦南县二模)若分式有意义，则x的取值范围是(C)
x－3
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
3．(2018·莱芜)若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是(D)
3
32
A.
2＋x
x－y
B.
2y
x
2
C.
2y
3x
2
D.
2y
（x－y）
2

2
4．(2018·唐山路北区二 模)若分式
x－1
x－1
的值为0，则x的值为(C)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
5．下列各式中，正确的是(D)
A.
b1
a＋2b
＝
a＋2
B.
b
a
＝
b＋2
a＋2

C.
－a＋ba＋b
2
c
＝－
c
D.
a＋2
a－2
＝
a－4
（a－2）
2

22
6．(2018·邯郸二模)化简
（a＋b）－（a－b）
4ab
的结 果是(A)
A．1 B.
1
C.
1
24
D．0
7．(2018·河北考试说明)化简
3
x
2
－1
÷
1
x－1
的结果是(C)
A.
3
x－1
B.
3
（x－1）
3
C.
3
x＋1
D．3(x＋1)
8．(2018·保定竞秀区模拟)若
x
x－y
＝( )＋
y
x＋y
，则( )中的代数式为(B)
22
A．1 B.
x＋y
C.
x－y
2
x
2
－y
2
x＋y
D．x＋y
2

9．(2018·河北 中考预测)若m等于它的倒数，则分式
m
2
－4m
m－2
÷
－3
m
2
－3m
的值为(C)
A．－1 B．3 C．－1或3 D．2或4
10．(2018·石家庄二模)如图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是(D)
计算：
3x－3
x－1
＋
1－x
2
.
小明的解法：
原式＝
3（x＋1）
（x＋1）（x－1）
－
x－3
（x＋1）（x－1）
…①
＝
3x＋3－x－3
（x＋1）（x－1）
…②
＝
2x
（x＋1）（x－1）
…③
小红的解法：

18
－3（x＋1）x－3
原式＝＋…①
（x＋1）（1－x）（1＋x）（1－x）
＝－3(x＋1)＋x－3…②
＝－3x－3＋x－3…③
＝－2x－6…④
A．只有小明的正确
C．小明、小红都正确
B．只有小红的正确
D．小明、小红都不正确 22
2
a－ba3
11．(2018·河北中考预测)已知a＋2＋(b－1)＝ 0，则代数式
2
·的值为．
aa＋b2
x－1x＋6x＋9
12． (2018·泰州)化简：(2－)÷
2
.
x＋1x－1
2x＋2x－1（x＋3）
解：原式＝(－)÷
x＋1x＋1 （x＋1）（x－1）
＝
＝
x＋3（x＋1）（x－1）
·
2
x＋1（x＋3）
x－1
.
x＋3
2
2
2
aa－3a1
13．(2018·石家庄模拟)化简
2
÷－，并求值，其 中a与2，3构成△ABC的
a－4a＋22－a
三边，且a为整数．
aa＋21
解：原式＝·＋
（a＋2）（a－2）a（a－3）a－2
＝
＝
1a－3
＋
（a－2）（a－3）（a－2）（a－3）
1
.
a－3
∵a与2，3构成△ABC的三边，
∴1又∵a为整数，
∴a＝2，3，4.
又∵a≠±2且a≠3，∴a＝4.
∴当a＝4时，原式＝1.


14．(2018·河北模拟)若代数式(A－
A．a＋1
C．－a－1


32a－2
)·的化简结果为2a－4，则整式A为(A)
a－1a＋2
B．a－1
D．－a＋1
22
x＋xx
1 5．(2018·石家庄二模)分式
2
÷
2
的值可能等于(D)
x－1x－2x＋1
A．2 B．1 C．0 D．－1
m＋3
的值为整数的m的值有(C)
m＋1
19
16．(2018·河北中考预测)如果m为整数，那么使分式

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

aba＋ba－b
17．(201 8·河北模拟)算式(－)○的运算结果是，则○中的运算符号是(D)
baab
A．＋ B．－ C．× D．÷

18．(2018·河北中考预测)老师在黑板上写出了求算式
过程．
1111111
解：原式＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)
2233445
1111111
＝1＋(－＋)＋(－＋)＋(－＋)－
2233445
1
＝1－
5
4
＝.
5
参考老师的计算方法，解答下列问题：
111
(1)＝－；
n·（n＋2）2n2n＋4
2222
(2)计算＋＋＋的值．
1×32×43×54×6
1111
解：原式＝2×(＋＋＋)
1×32×43×54×6
11111111
＝2××(1－＋－＋－＋－)
23243546
111
＝1＋－－
256
17
＝.
15



1111
＋＋＋结果的计算
2×13×24×35×4

第4讲 二次根式


命题点1 二次根式的运算
1．(2018·河北T17·3分)计算：
－12
＝2．
－3

20
2．(2014·河北T17·3分)计算：8×
3．(2017·河北T12 ·2分)见本书P02T20
命题点2 二次根式的估值
1
＝2．
2< br>4．(2014·河北T5·2分)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是(A)
A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
5．(2015·河北T7·3分)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示8的点落在(C)

D．段④

重难点1 二次根式的估值
(2018·廊坊安次区模拟)已知m，n为两个连续整数，且m＜7－1＜n，则m＋n＝
(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】 (2018·唐山路北区三模)若a＝10，则实数a在数轴上对应的点的大致
位置是(C)
A．段① B．段② C．段③

A．点E B．点F C．点G D．点H
【变式训练2】 (2018·河北模拟)如图，数轴上有A，B，C，D 四点，则所表示的数与5
－11最接近的是(D)

A．点A
方法指导
1.记住常见的无理数的近似值．
2.对根式平方，找出与平方后所得数 字相邻的两个开得尽方的整数，然后对这两个整数开平
方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．
重难点2 二次根式的运算
(2018·聊城)下列计算正确的是(B)
A．310－25＝5 B.
D.
7
·(
11
1
18－3
3
11
÷
7
8
＝2
9
1
)＝11
11
B．点B C．点C D．点D
C．(75－15)÷3＝25
【变式训练3】计算：
(1)(2018·武汉)(3＋2)－3＝2；
(2)(2018·天津)(6＋3)(6－3)＝3；
(3)(2018·南京)3×6－8＝2；

21
(4)(2017·唐山路北区二模)(3＋1)(3－3)＝23；
2
(5)(2017·西宁)(2－23)＝16－83．
易错提示二次根式的运算 结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式．若运算结果不是
最简二次根式，则必须化简为最简二次根 式．


1．(2018·唐山路北区二模)下列式子为最简二次根式的是(A)
A.5 B.12 C.a
2
D.
1

a
2．(2018·曲靖)下列二次根式中能与23合并的是(B)
A.8 B.
1

3
C.18 D.9
3．(2018·石家庄十八县大联考)计算3－27的值为(C)
A．－26 B．－4 C．－23 D．－2
4．(2018·石家庄长安区一模)下列运算结果是无理数的是(B)
A．32×2 B.3×2
22
C.72÷2 D.13－5
5．关于8的叙述正确的是(D)
A.8＝3＋5
B．在数轴上不存在表示8的点
C.8＝±22
D．与8最接近的整数是3
222
6．(2018·唐山 丰润区一模)下列计算：①(2)＝2；②（－2）＝2；③(－23)＝12；
④(2＋3)(2－3 )＝－1.其中正确的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(2018·河北模拟)计算15×
1
＋48－12的结果在数轴上的位置大致为(D )
3

A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．(2018·河北考试说明)若实数a，b满足|a＋1|＋7－b＝0，则a＋b＝(D)
A．8 B．0 C．－8 D．6
1
9．(1)(2018·白银)使得代数式有意义的x的取值范围是x＞3；
x－ 3
1
(2)(2018·河北中考预测)若式子＋2x－1在实数范围内有意义，则x的取值范 围
x－3
1
是x≥且x≠3．
2
10．计算：3×(2－3)－24－|6－3|＝－6．
2
11．(2018·广州)如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋a－4a＋4＝2．


22
12．(2018·徐州)已知x＝3＋1，求x－2x－3的值．
解：原式＝(x－3)(x＋1)，将x＝3＋1代入到上式，则可得，
原式＝(3＋1－3)×(3＋1＋1)＝(3－2)×(3＋2)＝－1.

13 ．(2018·河北中考预测)已知4（n＋2）×3是整数，则满足条件的正整数n的最小值
是(B)
A．0 B．1 C．2 D．3

14．小明在学习二次根式 后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋
22＝(1＋2)，善于思考的小明进 行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)(其中a，b，m，
2222
n均为整数)，则有a ＋b2＝m＋2n＋2mn2，所以a＝m＋2n，b＝2mn，这样小明就找到
了一种把部分a＋b2 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m ，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)，用含m，n的式子分别表示
22
a，b，得a ＝m＋3n，b＝2mn；
(2)若a＋43＝(m＋n3)，且a，m，n均为正整数，求a的值．
?
?
a＝m＋3n，
解：由题意，得
?

?
4＝2mn.
?
22
2
2
22
2
∵4＝2mn， 且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝2＋3×1＝7或a＝1＋3×2＝13.


2222

滚动小专题(一) 数与式的计算求值题
类型1 实数的运算
1．(2018·河北中考预测)下列结论中，错误的是(D)
A．如果a＋b＝0，那么a与b互为相反数
B．如果ab＝1，那么a与b互为倒数
C．如果ab>0，那么a与b同号
D．如果|x|＝3，那么x＝3
x＋y2＋ 1
2．(2018·保定二模)定义一种新运算：x*y＝，如2*1＝，则(4*2)*(－1)＝－ 2．
y1
12
22
3．(2018·苏州改编)计算：－2＋|－|＋9－().
22
11
解：原式＝－4＋＋3－
22
＝－1.
3
－1
4．(2018·永州)计算：2－3sin60°＋|1－27|.

23
13
解：原式＝－3×＋2
22
＝1.
5．(2018·河北考试说明)计算：(－1)＋2tan60°＋2－27＋|1－3|.
解：原式＝－1＋2×3＋1－33＋3－1
＝－1.
1
－20
6．(2018·广安)计算：()＋|3－2|－12＋6cos30°＋(π－3.14).
3
解：原式＝9＋2－3－23＋6×
＝11－33＋33＋1
＝12.
1
－2
7．(2018·呼和浩特)计算：2＋(327－6)÷6－3sin45° .
4
1913
解：原式＝＋2－－2
4242
＝32.
类型2 整式的运算
8．(2018·保定竞秀区模拟)下列计算正确的是(C)
A.2＋3＝5
C．x(1＋y)＝x＋xy
B．a＋2a＝2a
236
D．(mn)＝mn
2
2
2 0190
3
＋1
2
9．(2018·乌鲁木齐)先化简，再求值：(x＋1 )(x－1)＋(2x－1)－2x(2x－1)，其中x＝2
＋1.
222
解：原式＝x－1＋4x－4x＋1－4x＋2x
2
＝x－2x.
当x＝2＋1时，原式＝(2＋1)－2×(2＋1)＝1.
22
10．(2018 ·河北中考预测)以下是嘉嘉化简代数式(x－2y)－(x＋y)(x－y)－2y的过程．
22222
解：原式＝(x－4xy＋4y)－(x－y)－2y①
22222
＝x－4xy＋4y－x－y－2y②
2
＝y－4xy.③
(1)嘉嘉的解答过程在第②步开始出错；
(2)请你帮助嘉嘉写出正确的解答过程，并计算当4x＝3y时代数式的值．
22222
解：原式＝(x－4xy＋4y)－(x－y)－2y
22222
＝x－4xy＋4y－x＋y－2y
2
＝3y－4xy.
当4x＝3y时，原式＝y(3y－4x)＝0.
1
11．(2018·冀卓二模)已知m＝(3＋2)(3－2)－12＋1.
2
(1)求m；
(2)求代数式(x＋1)(2x＋3)－2x(x＋3)－3的值，其中x＝m.
1
22
解：(1)m＝(3)－2－×23＋1
2
＝－1－3＋1
＝－3.

24
2
(2)原式＝2x＋5x＋3－2x－6x－3
＝－x＋3－3.
当x＝－3时，原式＝－x＋3－3＝3－3＋3＝3.
类型3 分式的化简与求值
4a－1a－8a＋16
12．(2018·重庆B卷)化简：(a－1－)÷.
a＋1a＋1
a－1－（4a－1）（a－4）
解：原式＝÷
a＋1a＋1
＝
＝
a（a－4）a＋1
·
2

a＋1（a－4）
a
.
a－4
22
2
22
a＋11
13．(2018·保定二模)先化简，再求值：＋
2
，其中a是一次函数 y＝x－3的图象
aa－a
与x轴交点的横坐标．
（a＋1）（a－1）1
解：原式＝＋
a（a－1）a（a－1）
a－1＋1
＝
a（a－1）
＝
a
.
a－1
2
将y＝0代入y＝x－3，得x－3＝0，解得x＝3.
∵a是一次函数y＝x－3的图象与x轴交点的横坐标，
∴a＝3.
a33
∴原式＝＝＝.
a－13－12
14．(2018·石家庄新华区二模)已知a，b是实数．
(1)当a－2＋(b＋5)＝0时，求a，b的值；
2222
aba＋2ab＋b
(2)当a，b取(1)中的数值时，求(－)÷
22
的值．
a－ba－bab＋ab
解：(1)∵a－2＋(b＋5)＝0，
∴a－2＝0，b＋5＝0.
∴a＝2，b＝－5.
a－bab（a＋b）
(2)原式＝·
2

a－b（a＋b）
＝
（a＋b）（a－b）ab（a＋b）
·
2

a－b（a＋b）
22
2
2
＝ab.
当a＝2，b＝－5时，
原式＝ab＝2×(－5)＝－10.
xxy1
－10
15．(2018·滨州)先化简，再求值：(xy＋xy)·
22
÷
22
，其中x＝π－()，
x＋2xy＋yx－y2
22
2
y＝2s in45°－8.

25
x（x＋y）（x－y）
解：原式＝xy(x＋ y)·
（x＋y）
2
·
x
2
y

＝x－y.
当x＝1－2＝－1，y＝2－22＝－2时，
原式＝2－1. 16．(2018·保定一模)已知A＝
x
2
＋2x＋1x
x
2
－1
－
x－1
.
(1)化简A；
(2)当x满足不等式 组
?
?
?
x－1≥0，
?
?
x－3<0，
且x为整数时，求A的值．
2
解：(1)A＝
x＋2x＋1x
x
2
－1
－
x－1

2
＝
（x＋1）x
（x＋1）（x－1）
－
x－1

＝
x＋1
x－1
－
x
x－1

＝
1
x－1
.
(2)∵
?
?
?
x－1≥0，
?
?
x－3<0，

∴1≤x＜3.
∵x为整数，∴x＝1或x＝2.
∵A＝
1
x－1
中，x≠1，
∴x＝2.
当x＝2时，A＝
1
x－1
＝
1
2－1
＝1. < br>17．先化简，再求值：
x
2
1－2x
2
x
2
－1
÷(
x－1
－x＋1)，其中x满足x＋7x＝0.
22
解 ：原式＝
x1－2x（x－
（x＋1）（x－1）
÷[
x－1
－1）
x－1
]
x
2
1
2
＝
（x＋1 ）（x－1）
÷
－2x－（x－2x＋1）
x－1

2
＝< br>x
（x＋1）（x－1）
·
x－1
－x
2

＝－
1
x＋1
.
∵x
2
＋7x＝0，
∴x
1
＝0，x
2
＝－7.
又∵x≠0，∴x＝－7.
当x＝－7时，原式＝－
1
－7＋1
＝
1
6
.

26
18．(2018·河北中考预测)魏晋时期的数学家刘徽在其所著《九章算 术注》中指出，可用算
筹摆放的位置表示正负数，如图1，用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数 ，则图1
可表示(＋1)＋(－1)＝0.

(1)写出图2所表示的算式，并计算其结果；
2x－1x－1
(2)先化简，再求值：(x－)÷，其中x的值为图3所表示的算式的结果．
xx
解：(1)图2表示的算式为(＋2)＋(－3)，其结果为－1.
x－2x＋1x
(2)原式＝·
xx－1
（x－1）x
＝·
xx－1
＝x－1.
∵图3表示的算式为(＋1)＋(－4)，其结果为－3，
∴当x＝－3时，原式＝－3－1＝－4.



2
2

第二单元 方程与不等式
第5讲 一次方程(组)

命题点1 等式的性质
1．(2018·河北T7·3分) 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量
都相等，现左右手中同样的盘子上都放着 不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该
组是(A)

命题点2 一次方程(组)的概念及解法
?
?
2x＋5y＝－10，①
2．(2015 ·河北T11·2分)利用加减消元法解方程组
?
下列做法正确的是
?
5x－3y＝6，②
?
(D)
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)

27
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
?
x＝2，
3．(2011· 河北T19·8分)已知
?
是关于x，y的二元一次方程3x＝y＋a的解，求
?y＝3
(a＋1)(a－1)＋7的值．
?
x＝2，
解：∵
?
是关于x，y的二元一次方程3x＝y＋a的解，∴23＝3＋a.∴a＝3.
?
y＝3
∴(a＋1)(a－1)＋7＝a－1＋7＝3－1＋7＝9.
命题点3 一次方程(组)的应用
4．(2016·河北T22·9分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1 )甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，
求出边数n ；若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)甲对，乙不对．理由：
∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.
解得n＝4.
11
∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°.解得n＝.
2
∵n为整数，∴θ不能取630°.
(2)依题意，得
(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.
解得x＝2.



重难点1 一次方程(组)的解法
?
?
x＋y＝5，①
(2017·广州)解方程组：
?

?
2x＋3y＝11.②
?
2
【自主解答】 解：方法一：由①，得x＝5－y.③
把③代入②，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝5－1＝4.
?
?
x＝4，
∴原方程组的解为
?

?
y＝1.
?
方法二：由①，得y＝5－x.③
把③代入②，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4.
把x＝4代入③，得y＝5－4＝1.
?
?
x＝4，
∴原方程组的解为
?

?
y＝1.
?

28
方法三：①×3－②，得x＝4.
把x＝4代入①，得y＝1.
?
?
x＝4，
∴原方程组的解为
?

?
y＝1.
?
方法四：②－①×2，得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝4.
?
?
x＝4，
∴原方程组的解为
?

?
y ＝1.
?
【变式训练1】解方程：x＋
x－1x＋2
＝1－.
23
解：6x＋3(x－1)＝6－2(x＋2)．
6x＋3x＋2x＝3＋6－4.
11x＝5.
5
x＝.,
11
教师提示
切入点1：利用代入消元法，消去x.
切入点2：利用代入消元法，消去y.
切入点3：利用加减消元法，消去y.
切入点4：利用加减消元法，消去x.
方法指导在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程 组的特点灵活选择代入消元法
或加减消元法：
(1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适；
(2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适；
(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适；
(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适．
易错提示 利用加减消元法解方程时，将方程的两边同乘一个适当的数时，不要漏乘其
中任何一项．
重难点2 一次方程(组)的实际应用
(2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程 中，有甲、乙两种车辆参加运土，已
知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1 辆乙种车一次共运土36
立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．
【自主解答】 解：方法一：设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种车每辆一次运土y
立方米，由题意，得
? ?
?
5x＋2y＝64，
?
x＝8，
?
解得
?
?
3x＋y＝36.
?
y＝12.
??
答：甲种车每 辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．

29
方法二：设甲种车 每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，由
题意，得
5x＋2(36－3x)＝64，解得x＝8.则36－3x ＝12.
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
36－x
方法 三：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题
3
意，得
36－x36－x
5×＋2x＝64，解得x＝12.则＝8.
33
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
64－5 x
方法四：设甲种车每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土立方米，由题
2
意 ，得
64－5x64－5x
3x＋＝36，解得x＝8.则＝12.
22
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
64－2 x
方法五：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题
5
意 ，得
64－2x64－2x
3×＋x＝36，解得x＝12.则＝8.
55
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
【变式训练2】 (2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展
“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子
打八折，乙 品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600
元；打折后，买50盒甲 品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比
不 打折节省了多少钱？
解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得
?
6x＋3y＝600，
?
x＝40，
??
?
解得
?

??
?
50×0.8x＋40×0.75y＝5 200，?
y＝120.
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．,
教师提示 切入点1：设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种车每辆一次运土y立方米，根据题意
所述的两个等 量关系列方程组，解方程组即可得出答案．
切入点2：设甲种车每辆一次运土x立方米，由等量关系： 3甲＋1乙＝36得出乙种车
每辆一次运土(36－3x)立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64 列方程，解方程即可得出
答案．
切入点3：设乙种车每辆一次运土x立方米，由等量关系：3甲＋1乙＝36得出甲种车

30
36－x
每辆一次运土立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64列方程，解 方程即可得出答
3
案．
切入点4：设甲种车每辆一次运土x立方米，由等量关系：5 甲＋2乙＝64得出乙种车
64－5x
每辆一次运土立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝3 6列方程，解方程即可得出答
2
案．
(转下页)Ｋ
(接上页),切入点5 ：设乙种车每辆一次运土x立方米，由等量关系：5甲＋2乙＝64
得出甲种车每辆一次运土f(64－ 2x,5)立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝36列方程，
解方程即可得出答案．,方法指导)列 方程(组)的关键是寻找等量关系．寻找等量关系常用的
方法有：
(1)抓住不变量；
(2)找关键词；
(3)画线段图或列表格；
(4)运用数学公式．
当 题中含有多个等量关系时，列方程组可降低难度．一般情况，一个等量关系只能用一
次．Ｋ

1．(2017·永州)若x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(B)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
2．(2018·河北中考预测)若a，b互为倒数，则关于x的方程－2abx＋3＝0的解是(C)
A．x＝0
3
B．x＝－
2
3
C．x＝
2
D．任意数

?
?
26x＋2 9y＝3，①
3．解方程组
?
下列四种方法中，最简便的是(D)
?
29x＋26y＝－3，②
?
A．代入消元法
B．①×29－②×26，先消去x
C．①×26－②×29，先消去y
D．①＋②，再利用代入消元法
4．(2018·桂林)若|3x－2y－1|＋x＋y－2＝0，则x，y的值为(D)
?
?
x＝1
A.
?

?
y＝4
?

?
?
x＝2
B.
?

?
y＝0
?

?
?
x＝0
C.
?

?
y＝2
?

?
?
x＝1
D.
?

?
y＝1
?
5．(2018·石家庄裕华区一模)如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一个笔记本比1支笔贵3元，请你仔细看图，1个笔记本和1支笔的单价分别为(A)
A．5元，2元 B．2元，5元
C．4.5元，1.5元 D．5.5元，2.5元

31

6．(2018·河北考试说明)装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液 体的
深度为6 cm，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示，已知液体部分正面的
面积保持不变，当AA
1
＝4 cm时，BB
1
＝(B)
A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm

??
?
x＋y＝3，
?
x＝a，
7
?
7． (2018·枣庄)若二元一次方程组的解为
?
则a－b＝．
4
?
3x－5y＝4
?
y＝b，
??
8．(2018·攀枝花)解方程：
x－32x＋1
－＝1.
23
解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6.
去括号，得3x－9－4x－2＝6.
移项，得－x＝17.
系数化为1，得x＝－17.
?
?
x－3y＝5，①
9．(201 8·嘉兴)用消元法解方程组
?
时，两位同学的解法如下：
?
?
4x－3y＝2②
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
解：(1)解法一中的解题过程有错误，
由①－②，得3x＝3“×”．
应为由①－②，得－3x＝3.
(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.
把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.
?
?
x＝－1，
故原方程组的解是
?

?
y＝－2.
?
10．(2018·唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收 费”，具体收费标
准如下表：

一户居民一个月用水
量记为x立方米

水费单价(单位：元/立方米)
32
x≤22
超出22立方米的部分
a
a＋1.1
某户居民三月份用水10立方米时，缴纳水费23元．
(1)求a的值；
(2)若该户居民四月份所缴水费为71元，求该户居民四月份的用水量．
解：(1)由题意，得10a＝23，解得a＝2.3.
答：a的值为2.3.
(2)设该户居民四月份的用水量为x立方米，
∵用水22立方米时，水费为22×2.3＝50.6<71，
∴用水量x>22.
∴22×2.3＋(x－22)×(2.3＋1.1)＝71，解得x＝28.
答：该户居民四月份的用水量为28立方米．


?
?
3 x＋2y＝k，
11．(2018·唐山丰润区一模)已知
?
如果x与y互为相反数， 那么(C)
?
x－y＝4k＋3，
?
A．k＝0
3
B．k＝－
4

3
C．k＝－
2

3
D．k＝
4
12．(2018·扬州)对于任意实 数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝2a＋b，例如
3?4＝2×3＋4＝10.
(1)求2?(－5)的值；
(2)若x?(－y)＝2，且2y?x＝－1，求x＋y的值．
解：(1)∵a?b＝2a＋b，
∴2?(－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1.
(2)∵x?(－y)＝2，且2y?x＝－1，
7
x＝，
9
?< br>2x－y＝2，
?
∴
?
解得
?
4y＋x＝－1，4
?
y＝－.
9
?
?
?
?
?
741
∴x＋y＝－＝.
993

13．(2018·河北中考预测)如图，已知 数轴上一枚硬币恰好与原点O相切，将这枚硬币沿数
轴向右无滑动滚动一周，点O恰好到达点A处．
(1)将这枚硬币从点A开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B，则点B对应的数是－3；
( 2)将这枚硬币从表示数a的点C处开始，先向左滚动1周，得到点D，再向右滚动5
周得到点E，最后 向左滚动2周得到点F.若点D，E，F所代表的数字之和为8，求a的值．

解：根据题意，点C表示的数为a，向左滚动1周得到点D，则点D表示的数为a－3，

33
再向右滚动5周得到点E，则点E表示的数为a－3＋3×5，再向左滚动2周得到点F ，则点
F表示的数为a－3＋3×5－3×2，
∴a－3＋(a－3＋15)＋(a－3＋15－6)＝8，
7
解得a＝－.
3

14．【数学文化】(2018·宜昌)我国古代数学著作《九章算术》中有这样 一题，原文是：“今
有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大 小两种
盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则
13
x＝，
24
?
?
5x＋y＝3，
?
解得
?
x＋5y＝2.7
?
y＝.
24
?
?
?
?
?
137
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
2424





第6讲 一元二次方程

命题点1 一元二次方程的解法
2
1．(2012·河北T8·3分)用配方法解方程x＋4x＋1＝0 ，配方后的方程是(A)
22
A．(x＋2)＝3 B．(x－2)＝3
22
C．(x－2)＝5 D．(x＋2)＝5
2
2．(2014 ·河北T21·10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求
22< br>根公式时，对于b－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax＋bx＋c＝0变形
为：
bc
2
x＋x＝－，……第一步
aa
bb
2
cb
22
x＋x＋()＝－＋()，……第二步
a2aa2a
b
2
b－4ac
(x＋)＝，……第三步
2
2a4a
bb－4ac
2
x＋＝(b－4ac＞0)，……第四步
2a4a
－b＋b－4ac
x＝.……第五步
2a

34
2
2
2
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b－4ac＞0 时，方程ax＋bx＋c＝
－b±b－4ac
0(a≠0)的求根公式是x＝；
2a
2
(2)用配方法解方程：x－2x－24＝0.
2
解：x－2x＝24，
2
x－2x＋1＝24＋1，
2
(x－1)＝25，
x－1＝±5，
x＝1±5，
∴x
1
＝－4，x
2
＝6.
命题点2 一元二次方程根的判别式
2
3．(2015·河北T12·2分)若关于x的方程x＋2x＋ a＝0不存在实数根，则a的取值范围
是(B)
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
2222
4．(2016·河北T14·2分)a，b，c 为常数，且(a－c)>a＋c，则关于x的方程ax＋bx＋c
＝0根的情况是(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一根为0

重难点1 一元二次方程的解法
解方程：x－1＝2(x＋1)．
【自主解答】 解：方法一(因式分解法)：
(x＋1)(x－1)＝2(x＋1)，
(x＋1)(x－3)＝0.
∴x＋1＝0或x－3＝0.
∴x
1
＝－1，x
2
＝3.
方法二(配方法)：
2
整理，得x－2x＝3.
2
配方，得(x－1)＝4.
两边开平方，得x－1＝±2.
解得x
1
＝－1，x
2
＝3.
方法三(公式法)：
2
整理成一般形式为x－2x－3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝－3，
2
∴Δ＝(－2)－4×1×(－3)＝16>0.
－（－2）±16
∴x＝＝1±2.
2×1
∴x
1
＝－1，x
2
＝3.
2
【变式训练1】 解方程：4x－3＝12x.
2
解：原方程整理为4x－12x－3＝0.

35
2
2
22
∵a＝4，b＝－12，c＝－3，
2
∴Δ＝(－12)－4×4×(－3)＝192＞0.
12±1923±23
∴x＝＝.
82
3＋233－23
∴x
1
＝，x
2
＝.
22
22
【变式训练2】 解方程：25(x＋1)＝9(x－2).
22
解：25(x＋1)－9(x－2)＝0，
[5(x＋1)＋3(x－2)][5(x＋1)－3(x－2)]＝0，
(8x－1)(2x＋11)＝0，
∴8x－1＝0或2x＋11＝0.
111
∴x
1
＝，x
2
＝－.
82
方法指导解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法．
口诀如下：
方程没有一次项，
直接开方最理想；
如果缺少常数项，
因式分解没商量；
b，c相等都为零，
等根是零不要忘；
b，c同时不为零，
因式分解或配方；
也可直接套公式，
因题而异择良方．
易错提示
1．用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右边 没有化为0，而对左边直接因式分解
的错误．
2．用公式法解一元二次方程，在确定系数a， b，c时，易忘记先将一元二次方程化为一般
形式．
3．对于缺少常数项的一元二次方程，方 程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如
2
解x－5x＝0时，易出现方程两边同时除 以x，遗漏x＝0的情况．
重难点2 一元二次方程根的判别式
(2018·石家庄二模改编)已知关于x的一元二次方程(k－1)x＋ 2x＋1＝0没有实数
根，则k的取值范围是k＞2．
【问题拓展1】 若该方程有实数根，则k的取值范围是k≤2且k≠1．
【问题拓展2】 若该方程有两个相等的实数根，则k的值是2．
【问题拓展3】 若该方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠1．
2
【问题拓展4】 已知关于x的方程(k－1)x＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5．
【变式训练3】 (2018·唐山乐亭县二模)下列方程中，没有实数根的是(D)
22
A．x－2x＝0 B．x－2x－1＝0

36
2
C．x－2x＋1＝0 D．x－2x＋2＝0
2
【变式训练4】 (2018·河北中考预测)已知关于x的方程( k－1)x－(2k＋1)x＋k＝0有两
个不相等的实数根，则k有可能是(C)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
方法指导判断一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的 根的情况，要明确a，b，c的值，然
后比较b－4ac与0的大小．
易错提示注意方程中“二次项系数不为0”这一隐含条件．
重难点3 一元二次方程的实际应用
(2017·深圳)已知，一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【思路点拨】 (1)设矩形的 一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形
的面积公式列出相应方程求解即可；(2)同样 列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【自主解答】 解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意，得
x(28－x)＝180.解得x
1
＝10(舍去)，x
2
＝18.
则28－x＝28－18＝10.
答：长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能围成面积为200平方厘米的矩形．
理由：设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，得
2
x(28－x)＝200，即x－28x＋200＝0，
22
则b－4ac＝28－4×200＝784－800＜0，∴原方程无解．
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
【变式训练5】 某经济开发区今年一月份工 业产值达到80亿元，第一季度总产值为275
亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月 的增长率为x，根据题意所列方程
是(B)
2
A．80(1＋x)＝275
2
B．80＋80(1＋x)＋80(1＋x)＝275
3
C．80(1＋x)＝275
2
D．80(1＋x)＋80(1＋x)＝275
【变式训练6】(2017·白银)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上
2
修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m.若设道路的宽为
x m，则下面所列方程正确的是(A)
2
2
22

A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×32－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
2
D．32x＋2×20x－2x＝570

37
方法指导列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：
若设变化前的量为a ，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关
2
系为a(1±x)＝b；
(2)利润问题：
利润
利润＝售价－成本；利润率＝×100%；
成本
(3)矩形面积问题：
①镶边矩形如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－2x)(b－2x)；

②内嵌十字架型矩形如下图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，
此时易得 图1矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－x)(b－x)．

图1

图2


1．(2018·保定二模)若关于x 的一元二次方程(a－1)x＋x＋a－1＝0的一个根是0，则a
的值为(B)
A．1 B．－1 C．1或－1
1
D.
2
22
1
2
2．(2018·河北模拟)如果一元二次方程x－2x＋p＝0总有实数根，那么p应满足的条< br>2
件是(A)
A．p≤1 B．p<1 C．p＝1 D．p>1
2
3．(2018·桂林)已知关于x的一元二次方程2x－kx＋3＝0有两个相等的实根， 则k的值
为(A)
A．±26 B．±6 C．2或3 D.2或3 < br>2
4．(2018·石家庄新华区二模)若n(n≠0)是关于x的方程x＋mx＋2n＝0的根 ，则m＋n的
值为(C)
A．1 B．4 C．－2 D．－4 < br>5．(2018·河北中考预测)数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让嘉淇在黑板上
用配方法解方程，嘉淇在黑板上的书写过程如下：

38
2x＋4x－1＝0，
1
22
解：由于2≠0，可将方程2x＋4x－1＝0变形为：x＋2x＝， 第一步
2
1
2
x＋2x＋1＝， 第二步
2
1
2
(x＋1)＝， 第三步
2
－2±2
x＝. 第四步
2
这位同学第一次出错的步骤是(B)
A．第一步 B．第二步
C．第三步 D．第四步
6．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地< br>产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两
次下调 后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是(C)
A．8% B．9% C．10% D．11%
7．(2018·保定一模)某班同学毕业时都将自 己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送1 035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为(C)
A．x(x＋1)＝1 035
B．x(x－1)＝1 035×2
C．x(x－1)＝1 035
D．2x(x＋1)＝1 035
8．(2018·大连)如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各减去一个同样
的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒 的底面(图中阴影部分)面积是32
2
cm，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为(B)
2

A．10×6－4×6x＝32
B．(10－2x)(6－2x)＝32
C．(10－x)(6－x)＝32
2
D．10×6－4x＝32
9．(2018·乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居 住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住
满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间 房，如果有游客居住，宾馆需对居
住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的 利润为10 890元？设
房价定为x元，则有(B)
x
A．(180＋x－20)(50－)＝10 890
10
x－180
B．(x－20)(50－)＝10 890
10
x－180
C．x(50－)－50×20＝10 890
10

39
x
D．(x＋180)(50－)－50×20＝10 890
10
10．解方程：
22
(1)2(x－3)＝x－9；
2
解：方法一：原方程可化为2(x－3)＝(x＋3)(x－3)，
2
2(x－3)－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0或x－9＝0.
∴x
1
＝3，x
2
＝9.
2
方法二：原方程可化为x－12x＋27＝0.
这里a＝1，b＝－12，c＝27.
22
∵b－4ac＝(－12)－4×1×27＝36>0，
12±3612±6
∴x＝＝＝6±3.
2×12
∴原方程的根为 x
1
＝3，x
2
＝9.


2
(2)(2x－1)＝x(3x＋2)－7.
2
解：原方程可化为x－6x＋8＝0.
∴(x－2)(x－4)＝0.
∴x－2＝0或x－4＝0.
∴x
1
＝2，x
2
＝4.
2
11．已知关于x的方程x－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
2
(2)已知方程的一个根为x＝0， 求代数式(2m－1)＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求
先化简，再求值)
2
解：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)－4m(m＋1)＝1＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.
22
∴原式＝4m－4m＋1＋9－m＋7m－5
2
＝3m＋3m＋5
＝3m(m＋1)＋5
＝5.
n（n－3）
12．(2018·张家口一 模)已知n边形的对角线共有条(n是不小于3的整数)；
2
(1)五边形的对角线共有5条；
(2)若n边形的对角线共有35条，求边数n；
(3)若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n.
n（n－3）
解：(2)＝35，
2
整理，得n－3n－70＝0.
解得n＝10或n＝－7(舍去)．

40
2
所以边数n＝10.
（n＋1）（n＋1－3）n（n－3）
(3)根据题意，得－＝9.
22
解得n＝10.
所以边数n＝10.

13．(2018· 河北模拟)若关于x的方程2x(ax－4)＝x－6有两个不相等的实数根，则a所
能取的最大整数是 (B)
A．2 B．1 C．－1 D．不存在
2
14．( 2018·河北模拟)若a，b满足b＝a＋3，则关于x的方程ax＋bx＋1＝0的根的情况是
(D )
A．没有实数根
B．有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2
15．(2018·河北中考预测)已知关于x的方程 mx＋4x＋3－m＝0，以下判断正确的是(D)
A．这个方程一定有两个实数根
B．这个方程的一个根是－1
C．当m＝－1时，这个方程有两个相等的实数根
D．当m＝1时，这个方程有两个不相等的实数根
2
16．(2018·石家庄模拟 )我们知道方程x＋2x－3＝0的解是x
1
＝1，x
2
＝－3，现给出另一 个
2
方程(2x＋3)＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(D)
A．x
1
＝1，x
2
＝3 B．x
1
＝1，x
2
＝－3
C．x
1
＝－1，x
2
＝3 D．x
1
＝－1，x
2
＝－3

2
17．(20 18·河北中考预测)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a?b＝a－2ab，其中等
2
号右边是通常的减法及乘法运算．如1?1＝1－2×1×1.
(1)求3?(－1)的值；
(2)嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x?(－3)＝－5，你能求出其中x的值吗？请写
出求解 过程．
解：(1)3?(－1)＝(3)－2×3×(－1)＝3＋23.
22
(2)x?(－3)＝x－2x·(－3)＝x＋6x＝－5，
2
即x＋6x＋5＝0，
(x＋1)(x＋5)＝0，
解得x
1
＝－1，x
2
＝－5.



2
2

第7讲 分式方程


41
命题点1 分式方程的解法(近八年未单独考查)
命题点2 分式方程的应用
1．(2013·河北T7·3分)甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙
队每天多修10 m，设甲队每天修路x m．依题意，下面所列方程正确的是(A)
A.
C.
120100
＝
xx－10
120100
＝
x－10x


120100
B.＝
xx＋10
120100
D.＝
x ＋10x
2．(2016·河北T12·2分)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她 求得的值
比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)
A.
11
3x
＝
1
8x
－5 B.
3x
＝
1
8x
＋5
C.
1
3x
＝8x－5 D.
1
3x
＝8x＋5

重难点1 分式方程的解法
解方程：
23
3x－1
－1＝
6x－2
.
【自主解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x－1)＝3.
解得x＝
1
2
.
检验：当x＝
1
2
时，2(3x－1)≠0，
∴x＝
1
2
是原分式方程的解．
方法二：设3x－1＝y则原方程 可化为
2
y
－1＝
3
2y
，
去分母，得4－2y ＝3.
解得y＝
1
2
.
∴3x－1＝
11
2
.解得x＝
2
.
检验：当x＝
1
2
时，6x－2≠0，
∴x＝
1
2
是原分式方程的解．
方法三：移项，得
23
3x－1
－
6x－2
＝1.
通分，得
1
6x－2
＝1.
由分式的性质，得6x－2＝1.
解得x＝
1
2
.

42
1
检验：当x＝时，6x－2≠0，
2
1
∴x＝是原分式方程的解．
2
53
【变式训练1】解方程：(1)＝；
2x－1x＋2
解：由题意，得5(x＋2)＝3(2x－1)．
解得x＝13.
检验：当x＝13时，(x＋2)(2x－1)≠0，
∴x＝13是原分式方程的解．
11－x
(2)＋2＝.
x－22－x
解：去分母，得1＋2(x－2)＝x－1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2是增根．
∴原分式方程无解．
教师提示
切入点1：常规解法——去分母，方程两边同乘以2(3x－1)，转化为整式方程，求解并
检 验．
1
切入点2：换元法，先设3x－1为y，然后将原方程化为4－2y ＝3，解得y＝，最后
2
求出x的值并检验．
切入点3：通分法，移项得
2 3
－＝1，将等号左边含未知数的项合并，使原方
3x－16x－2
程简化．特别值得 指出的是：用此法解分式方程很少有增根现象．Ｋ

方法指导把分式方程转化为整式方程，再 按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方
程需要验根．
易错提示
1．忘记验根．
2．去分母时漏乘不含分母的整数项．
3．移项时没有注意符号变化．
重难点2 分式方程的实际应用
(2017·河 北模拟改编)某工程需在规定日期内完成，若甲工程队独做，恰好如期完
成，若乙工程队独做，则超过规 定日期3天完成，现在甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队
独做，恰好在规定日期完成，求规定日期．
【自主解答】 解：设规定日期为x天，则甲工程队单独完成要x天，乙工程队单独完
成要(x＋3)天．根据题意，得
2x
方法一：＋＝1.解得x＝6.
xx＋3

43
经检验，x＝6是原方程的根．
答：规定的日期为6天．
11x－2
方法二：2(＋)＋＝1.
xx＋3x＋3
23
方法三：＝.
xx＋3
【变式训练2】(20 18·宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智
能手机的订单，为了尽快交 货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，
结果比原计划提前5个月完成交货， 求每月实际生产智能手机多少万部．
解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机 (1＋50%)x万部，根
据题意，得
300300
－＝5，解得x＝20.
x（1＋50%）x
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
∴(1＋50%)x＝30.
答：每月实际生产智能手机30万部．,教师提示设规定日期为 x天，总工程量为1，
1
因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为 乙工程队单独去做，
x
要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为
1
.
x＋3
切入点1：根据甲2天工作量＋乙x天工作量＝1，列方程即可．
切入点2：根据甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方
程即可．
切入点3：因为甲做了2天，所以乙队就提前3天完成了任务，因此可得等量关系：甲
2天工作 量＝乙3天工作量．
方法指导列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系，恰当地设出未知数，列出
方程．
易错提示利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．


m－3
1．(2018·张家界)若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为(B)
x－1
A．5 B．4 C．3 D．2
x－2x
2．(2018·唐山乐亭县二模)方程＝的解为(B)
x－3x＋1
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
x3
－1＝的解为(D)
x－1（x－1）（x＋2）
C．x＝－1 D．无解
44
3．(2018·德州)分式方程
A．x＝1

B．x＝2
4．(2018·河北模拟)对于非零实数a，b，规定a
为(A)
1
A．－
2

1
B.
4
1
C．－
4

11
b＝－.若2
ab
1
D.
2
(2x－1)＝1，则x的值
5．(2018·昆明)甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺
流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h.若甲、乙两船在静
水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度，可列方程为(A)
A.
C.
180120
＝
x＋6x－6
180120
＝
x＋6x

180120
B.＝
x－6x＋6
180120
D.＝
xx－6
6．(2018·保定莲池区模拟)八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑 自行
车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑
自行车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方
程正确的是( C)
A.
D.
1010
－＝20
x2x
10101
－＝
2xx3

1010
B.－＝20
2xx
C.
10101
－＝
x2x3
7．(2018·唐山路北区三模)某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批 篮球和足球，
已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单
4 0002 800
价比足球贵16元．若可列方程＝－16表示题中的等 量关系，则方程中x表示的
2xx
是(D)
A．足球的单价 B．篮球的单价
C．足球的数量 D．篮球的数量
8．(2018·邯郸一模)某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每
1 5001 500
天生产零件的个数． 在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程－＝
x－5x
10，则题目中用“……” 表示的条件应是(B)
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
9．(2018·广西)解分式方程：
x2x
－1＝.
x－13x－3
解：两边都乘3(x－1)，得3x－3(x－1)＝2x.
解得x＝1.5.
检验：x＝1.5时，3(x－1)＝1.5≠0.
所以分式方程的解为x＝1.5.
10．(2018·河北模拟)甲、乙两地相距72千米， 嘉嘉骑自行车往返两地一共用了7小时，
1
已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快，求嘉 嘉去时的平均速度是多少？
3

45
下框是淇淇同学的解法．
1
解：设嘉嘉去时的平均速度是x千米/时，则回时的平均速度是(1－)x千米/时，由题
3
意，得
7272
＋＝7，…
x1
（1－）x
3
你认为淇淇同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等量关系，并完成剩下
的步骤；若不正确 ，请说明原因，并正确地求出嘉嘉去时的平均速度．
解：淇淇同学的解法不正确；因为“去时的平均速 度比返回时的平均速度快”并不等于
1
“返回时的平均速度比去时的平均速度慢”．
3
1
设嘉嘉返回时的平均速度是x千米/时，则去时的平均速度是(1＋)x千米/时，由题意
3
得
72721
＋＝7，解得x＝18.经检验，x＝18是方程的解，且符 合题意．(1＋)x＝24.
1x3
（1＋）x
3
所以嘉嘉去时的平均速度是 24千米/时．

2x－m
11．(1)(2018·河北模拟)关于x的分式方程 ＝3的解是正数，则字母m的取值范围是
x＋1
(D)
A．m>3 B．m<3 C．m>－3 D．m<－3
2x＋a
(2)(2018·兰州) 关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围为(D)
x＋1
A．a≥1 B．a<1
C．a<1且a≠－2 D．a>1且a≠2
12．(2018·河北第二 次模拟大联考改编)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，
b}表示a，b中的较大 值，例如：max{2，4}＝4，按照这个规定：
3x
(1)方程max{－2，－3}＝－的解为(C)
x－22－x
A．x＝－2 B．x＝－3
1
C．x＝
3

3
D．x＝
4
2x＋1
(2)方程max{x，－x}＝的解为(D)
x
A．x＝1－
B．x＝2－
C．x＝1＋
D．x＝1＋
2
2
2或x＝1－2
2或x＝－1
x－5m
13．(1)(2018·潍坊)当m＝2时，解分式方程＝会出现增根；
x－33－x
x3a1
(2)(2018·达州)若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值 为1或．
x－33－x2

46

14．(2018·河北中考 预测)在解分式方程
123
－＝
2
时，下面是嘉淇的部分解答过
x＋ 1x－1x－1
程：
解：去分母，得x－1－2(x＋1)＝3.
…
移项，得①________.
②________，得－x＝6.
…
则①和②处分别是(C)
A．x－1－2x－2＝3，去括号
B．x－2x＝3＋1＋2，移项
C．x－2x＝3＋1＋2，合并同类项
D．x－1－2x－2＝3，系数化为1

15．(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙
队每天比 甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
400600
冰冰：＝
xx＋20
600400
庆庆：－＝20
yy
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；
庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
解：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即
可)．
400600
(3)选冰冰的方程：＝，解得x＝40.
xx＋20
经检验，x＝40是原方程的根．
答：甲队每天修路的长度为40米．
600400
选庆庆的方程：－＝20，解得y＝10.
yy
经检验，y＝10是原方程的根．
∴
400
＝40.
y
答：甲队每天修路的长度为40米．


47




第8讲 一元一次不等式(组)

命题点1 一元一次不等式(组)的解法
?
?
2x－3>0，
1． (2012·河北T4·2分)下列各数中，为不等式组
?
的解的是(C)
?
x－4<0
?
A．－1 B．0 C．2 D．4
2．(2013·河北T21·9分)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋ 1，等
式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊕5＝2(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝ －6＋1
＝－5.
(1)求(－2)⊕3的值；
(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

解：(1)(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.
(2)∵3⊕x<13，∴3(3－x)＋1<13.
∴x>－1.
在数轴上表示如图所示．
命题点2 一元一次不等式的应用
3．(2011·河北 T22·8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要
40分钟完工；若甲、乙共 同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
解：(1)设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得
2020＋20
＋＝1.解得x＝80.
40x
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙单独整理80分钟完工．
(2)设甲整理y分钟，根据题意，得
30y
＋≥1.解得y≥25.
8040
答：甲至少整理25分钟才能完工.

重难点1 一元一次不等式(组)的解法
?
3x－5≤1，①
(2018·自贡)解不等式组
?
13－x
并在数轴上表示其解集．
<4x，②
?
?
3
【自主解答】解：解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞1.

48
?
∴不等式组的解集为1＜x≤2.
将其表示在数轴上，如图所示．
< br>5x－1
【变式训练1】(2018·桂林)解不等式3
解：去分母，得5x－1＜3x＋3.
移项，得5x－3x＜3＋1.
合并同类项，得2x＜4.
系数化为1，得x＜2.
将不等式的解集表示在数轴上如下：

1
?
?
2
（x＋1）≤2，①
【变式训练2】(2018·黄石)解不等式组
?
并求出不等式组 的整数解之和．
x＋2x＋3
?
?
2
≥
3
，②< br>解：解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x≥0.
则不等式组的解集为0≤x≤3.
所以不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6. 方法指导先解出不等式组中的各个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间
找，大大小 小找不到”写出不等式组的解集．
易错提示
1.去分母时，不等式两边同乘一个适当的数， 不要忘记将多项式分子作为一个整体加上括号，
也不要漏乘不含分母的整数项．
2.在数轴上表示解集时，注意实心圆点与空心圆圈的区别．
重难点2 一元一次不等式的实际应用
(2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创 文知识”抢答赛，
欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380 元；如果
购买A种15件，B种10件，共需280元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元？
(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不 超过900元，那么A种奖品最多购买多
少件？
【思路点拨】 (1)设A种奖品每件x元， B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20
件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B 种10件，共需280元”，列方程组求
解可得；(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100 －a)件，根据总价＝单价×购买数
量结合总费用不超过900元列不等式，解之取其中最大的整数即可 得出结论．
【自主解答】 解：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意，得 ??
?
20x＋15y＝380，
?
x＝16，
?
解得
?

?
15x＋10y＝280.
?
y＝4.
??

49
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件，根据题意，得
125
16a＋4(100－a)≤900.解得a≤.
3
∵a为整数，∴a≤41.
答：A种奖品最多购买41件．
【变式训练3】 一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于
5% 的售价打折出售，问售货员至多打几折出售此商品？
解：设应打x折，根据题意，得
750×0.1x－500≥500×5%.解得x≥7.
答：售货员至多打7折出售此商品．
方法指导
1．求实际问题中的“至多”“至少 ”这类问题，常采用不等式锁定范围，即先根据题目的问
题，直接设出未知数，列出不等式，求出相应的 范围，再根据题目要求，求出相应的整数解
或正整数解．
2．解决不等式实际应用问题时，常用关键词与不等号的对比表：
常用关键词
大于、多于、超过、高于
小于、少于、不足、低于
至少、不低于、不小于
至多、不超过、不高于、不大于
符号
＞
＜
≥
≤


1．(2018·宿迁)若a＜b，则下列结论不一定成立的是(D)
A．a－1＜b－1 B．2a＜2b
ab
C.<
33
D．a22
2．(2018·保定莲池区模拟)不等式2x≥x－1的解集在数轴上表示正确的是(B)

?
?
x＋3>2，
3．(2018·保定竞秀区模拟)下列各数是不等式组< br>?
的解是(D)
?
1－2x<－3
?
A．0 B．－1 C．2 D．3
4．(2018·孝感)下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是(B)

?
?
x－1<3
A.
?

?
x＋1<3
?


?
?
x－1<3
B.
?

?
x＋1 >3
?
?
?
x－1>3
C.
?

?
x＋1>3
?
?
?
x－1>3
D.
?

?
x＋1<3
?
50