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猜想与证明
专题命题规律
1．猜想与证明问题河北中考近8年共考查8 次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为9－14
分．
2．考查类型：(1) 与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三
角形的性质 来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会
涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质， 分别涉
及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分 值为11分；(4)折叠问题主
要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过， 分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015
年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前 后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008
年考查过，分值为10分．
2016预测
预计2016年河北中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全 等、三角形相似等有关的知识的
综合题．
,中考重难点突破)
与图形旋转有关的问题
【经典导例】
【例1】(2010河北中考) 在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.
(1)如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；
BD
(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求的值．
AC
【学生解答】
【方法指导】(1)在探索两线段的数量关 系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相
等或者成对应比例．有时需先进行等 量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利
用直角三角形的性质求解．
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂 直．若
1
平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边 形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂
直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90° ；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；
④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一 的性质等方式证明．
1．(2015重庆中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60° ，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB
相交于点E，DF与线段AC(或AC 的延长线)相交于点F.
(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；
1
(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F .求证：BE＋CF＝AB；
2
(3)如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转 一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC
于点N，若DN＝FN，求证：BE＋ CF＝3(BE－CF)．
2．(2015龙东中考)已知△ABC中，M为BC的中 点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m
于E，CF⊥m于F.
1
(1)当直线m经过B点时，如图①，易证EM＝CF(不需证明)；
2
(2)当直线m不经过B点，旋转到如图②、图③的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直 接写
出你的猜想，并选择一种情况加以证明．
2
与图形相似、位似有关的问题
【经典导例】
【例2】(2014河北中考)如图①，点E是 线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰
直角三角形，且在BC的同侧 ．
(1)AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接 GH，HD，分别
得到了图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相 似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线 上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少
时，恰好使得GH ＝HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示)．
【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得 ，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，
故AE⊥ED.(2)由△HGF≌△DHC可证GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1 ，又∵EF＝k，∴当CH＝k时可得
CH＝FG＝k，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD ，GH⊥HD.
【学生解答】
【方法指导】( 1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相
等或者成 对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利
用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换．
(2)两线段的位 置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若
平行，则常 通过以下方法进行证解：①平行线判定的定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂
直 ，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；
④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．
3．已知直 线MN与线段AB交于点O，点C在直线MN上，且∠ACN＝135°，以点O为位似中心，作△BOD与△A OC
位似．
3
(1)如图①，若△BOD与△AOC的位似比为1∶3，写出AC与BD的数量关系和位置关系； < br>(2)在图②中，若△BOD与△AOC的位似比为1∶1，∠BEM＝45°，写出AC与BE的数量关 系和位置关系，并证
明；
(3)在图③中，若△BOD与△AOC的位似比为k∶1，∠BEM＝45°，求BE∶AC的值．
与图形折叠、平移有关的问题
【经典导例】
︵︵
【例3】(2014河北中考)图 ①和图②中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB＝23.点P为优弧AB上一点(点P不
与A，B重合 )，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.
(1)点O到弦AB的距离是________，当BP经过点O时，∠ABA′＝________；
(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；
︵
(3)若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．
【解析】(1)作垂线OC，即为O到AB的距离．根据垂径定理，构造直角三角形，利用直 角三角形边角关系以
及三角函数即可得解．(2)由(1)得OC长度以及半径OB长度，即可求出∠O BC的正弦值，从而求得∠OBC.再利用∠ABP
与∠OBC的关系求出∠OBP的角度，根据直角三 角形的边角关系计算即可．(3)如解图③所示：在折叠过程中，BP
的4个特殊位置，点A′落在以B 为圆心、BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA′与圆心O的位置可确定
α的范围．
【学生解答】
4
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本文更新与2020-11-23 04:09，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/456499.html