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2013年河南省中考数学试卷
一、选择题(每小 题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个
是正确的.
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.﹣ B.﹣2 C. D.2
2.(3分)下列图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)方程(x﹣2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=﹣3 C.x
1
=﹣2,x
2
=3 D.x
1
=2,x
2
=﹣3
4.(3分)在一次体育测试 中,小芳所在小组8人的成绩分别是:46,47,48,
48,49,49,49,50,则8人体育 成绩的中位数是( )
A.47 B.48 C.48.5 D.49
5.(3分)如图是正方体的一种展开图,其每个面上都标有一个数字,那么在原
正方体中,与数字“2 ”相对的面上的数字是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
的最小整数解为( )
D.2
6.(3分)不等式组
A.﹣1 B.0 C.1
7.(3分)如图,CD是⊙O的 直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点
D,则下列结论中不一定正确的是( )
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A.AG=BG B.AB∥EF C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC
8.(3分)在二次函数y=﹣ x
2
+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的
取值范围是( )
A.x<1
二、填空题(每小题3分,满分21分)
9.(3分)计算:|﹣3|﹣= .
B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
10.(3分)将一副直角 三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°,∠F=45°).使
点E落在AC边上,且ED∥ BC,则∠CEF的度数为 .
11.(3分)化简:= .
12.(3分)已知扇形的半径为4cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为 cm.
13.(3分)现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字﹣1,﹣2,3,4.把
卡片背面上洗匀,然后从中随机抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的
概率是 .
14.(3分)如图,抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3).若平
移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),点A的对应点为A′,则抛
物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .
第2页(共31页)
15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一 点,连接AE,
把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:( x+2)
2
+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1),其中x=
﹣.
17.(9分)从2013年1月7日起,中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气.某
市记者 为了了解”雾霾天气的主要原因“,随机调查了该市部分市民,并对调查结
果进行整理.绘制了如下尚不 完整的统计图表.
组别
A
B
C
D
E
观点
大气气压低,空气不流动
地面灰尘大,空气湿度低
汽车尾气排放
工厂造成的污染
其他
频数(人数)
80
m
n
120
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m= ,n= .扇形统计图中E组所占的百分比为 %;
(2)若该市人口约有100万人,请你估计其中持D组“观点”的市民人数;
(3)若在这次接受调查的市民中,随机抽查一人,则此人持C组“观点”的概率
第3页(共3 1页)
是多少?
18.(9分)如图,在等边三 角形ABC中,BC=6cm.射线AG∥BC,点E从点A
出发沿射线AG以1cm/s的速度运动, 同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s
的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)填空:
①当t为 s时,四边形ACFE是菱形;
②当t为 s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.
19.(9分)我国南水北调中线工程的起点是丹江水库,按照工程计划,需对原
水库大坝进行混凝土 加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水
位.如图是某一段坝体加高工程的截面 示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡
坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DC E=60°.求工程完工后背水
坡坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米.参考数据:s in68°≈0.93,
cos68°≈0.37,tan68°≈2.50,).
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20.(9分)如图,矩形OABC的 顶点A、C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为
(2,3).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中 点D,且与AB交于点E,连
接DE.
(1)求k的值及点E的坐标;
(2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.
< br>21.(10分)某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器,购买2个A
品牌和3个B 品牌的计算器共需156元;购买3个A品牌和1个B品牌的计算
器共需122元.
(1)求这两种品牌计算器的单价;
(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开 展了促销活动,具体办法如下:A
品牌计算器按原价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价 的七折销
售,设购买x个A品牌的计算器需要y
1
元,购买x个B品牌的计算器需要y
2
元,
分别求出y
1
、y
2
关于x的函数关系式;
(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数
量超 过5个,购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.
22.(10分)如图1,将两个完全 相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中
∠C=90°,∠B=∠E=30°.
第5页(共31页)
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S
1< br>,△AEC的面积为S
2
,则S
1
与S
2
的数量关系 是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图 3所示的位置时,小明猜想(1)中S
1
与S
2
的数量关
系仍然成立 ,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明
小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4, DE∥AB交BC于点E(如
图4).若在射线BA上存在点F,使S
△
DCF
=S
△
BDE
,请直接写出相应的BF的长.
23. (11分)如图,抛物线y=﹣x
2
+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点
P作PE⊥x轴于点 E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
第6页(共31页)
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是
平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
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2013年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个
是正确的.
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.﹣ B.﹣2 C. D.2
【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答
案.
【解答】解:﹣2的相反数是2,
故选:D.
【点评】此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义.
2.(3分)下列图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即 是中心
对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】解:A、∵此图形旋 转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对
称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴
对称 图形,故此选项错误;
C、此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形, 不是轴对称图
形,故此选项错误;
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴ 此图形是中心对称图形,也是轴对
称图形,故此选项正确.
故选:D.
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【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的 定义,根据定义得出图形形状
是解决问题的关键.
3.(3分)方程(x﹣2)(x+3)=0的解是( )
A.x=2 B.x=﹣3 C.x
1
=﹣2,x
2
=3 D.x
1
=2,x
2
=﹣3
【分析】根据已知得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:(x﹣2)(x+3)=0,
x﹣2=0,x+3=0,
x
1
=2,x
2
=﹣3,
故选D.
< br>【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用,
关键是能把一元二 次方程转化成一元一次方程.
4.(3分)在一次体育测试中,小芳所 在小组8人的成绩分别是:46,47,48,
48,49,49,49,50,则8人体育成绩的中位 数是( )
A.47 B.48 C.48.5 D.49
【分析】将 一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数
是奇数,则处于中间位置的数就是这 组数据的中位数.
如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位 数,
由此计算即可.
【解答】解:这组数据的中位数为
故选C.
【点评】本题考查了中位数的知识,解答本题的关键是掌握中位数的定义,注意
在求解前观察: 数据是否为从小到大排列.
5.(3分)如图是正方体的一种展开图, 其每个面上都标有一个数字,那么在原
正方体中,与数字“2”相对的面上的数字是( )
=48.5.
第9页(共31页)
A.1 B.4 C.5 D.6
【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定 相隔一个正方形,根据这一特
点作答.
【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“2”与“4”是相对面,
“3”与“5”是相对面,
“1”与“6”是相对面.
故选B.
【点评】本题主要考查了正 方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,
从相对面入手,分析及解答问题.
6.(3分)不等式组
A.﹣1 B.0 C.1
的最小整数解为( )
D.2
【分析】先求出不等式组的解集,再求其最小整数解即可.
【解答】解:不等式组解集为﹣1<x≤2,
其中整数解为0,1,2.
故最小整数解是0.
故选B.
【点评】本题考查了一元一次不等 式组的整数解,属于基础题,正确解出不等式
的解集是解决本题的关键.求不等式组的解集,应遵循以下 原则:同大取较大,
同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
7.(3分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点
D,则 下列结论中不一定正确的是( )
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A.AG=BG B.AB∥EF C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC
【分析】根据切线的性质,垂径定理即可作出判断.
【解答】解:A、∵CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,
∴AG=BG,故正确;
B、∵直线EF与⊙O相切于点D,
∴CD⊥EF,
又∵AB⊥CD,
∴AB∥EF,故正确;
C、只有当弧AC=弧AD时,AD∥BC,当两个互不等时,则不平行,故选项错误;
D、根据同弧所对的圆周角相等,可以得到∠ABC=∠ADC.故选项正确.
故选C.
【点评】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理,理解定理是关
键.
8.(3分)在二次函数y=﹣x
2
+2x+1的图象中,若y 随x的增大而增大,则x的
取值范围是( )
A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
【分析】抛物线y=﹣x
2
+2x+1中的对 称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x
的增大而增大.
【解答】解:∵a=﹣1<0,
∴二次函数图象开口向下,
又对称轴是直线x=1,
∴当x<1时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大增大.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的性质:当a<0,抛 物线开口
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向下,对称轴为直线x=﹣
,在对称轴左边,y随x的增大而增大.
二、填空题(每小题3分,满分21分)
9.(3分)计算:|﹣3|﹣= 1 .
【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简,然后合并即可.
【解答】解:原式=3﹣2=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了实数的运算,解答本题的关键是能进行绝对值及二次根式的
化简.
10.(3分)将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°, ∠F=45°).使
点E落在AC边上,且ED∥BC,则∠CEF的度数为 15° .
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1,再根据两直线平行,内错角相等
求出 ∠2,然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解.
【解答】解:∵∠A=60°,∠F=45°,
∴∠1=90°﹣60°=30°,∠DEF=90°﹣45°=45°,
∵ED∥BC,
∴∠2=∠1=30°,
∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°.
故答案为:15°.
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【点评】本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质是基础题,熟
记性质是解题的关键 .
11.(3分)化简:= .
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.
【解答】解:原式=
故答案为:.
+==.
【点评】此 题考查了分式的加减法,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是
找最简公分母.
12.(3分)已知扇形的半径为4cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为
【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长.
【解答】解:l
扇形
=
则扇形的弧长=π cm.
故答案为:π.
【点评】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式.
13.(3分)现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字﹣1,﹣2,3,4.把
卡片背面上洗匀,然后从中随机抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的
概率是 .
=π,
π cm.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出 数字之积为负数的情况数,求出所
第13页(共31页)
求的概率即可.
【解答】解:列表如下:
﹣1
﹣﹣﹣
(﹣1,﹣2)
(﹣1,3)
(﹣1,4)
﹣2
3
4
﹣1
﹣2
3
4
(﹣2,﹣1)
(3,﹣1)
(4,﹣1)
﹣﹣﹣
(﹣2,3)
(﹣2,4)
(3,﹣2)
(4,﹣2)
﹣﹣﹣
(3,4)
(4,3)
﹣﹣﹣
所有等可能的情况数有12种,其中数字之积为负数的情况有8种,
则P数字之积为负数=
故答案为:.
【点评】此题考查了列表法与树状图法 ,用到的知识点为:概率=所求情况数与
总情况数之比.
14 .(3分)如图,抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3).若平
移该抛物线使其顶 点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),点A的对应点为A′,则抛
物线上PA段扫过的区域(阴影部分 )的面积为 12 .
=.
【分析】根据平移的性质得出四边 形APP′A′是平行四边形,进而得出AD,PP′的
长,求出面积即可.
【解答】解:连接AP,A′P′,过点A作AD⊥PP′于点D,
由题意可得出:AP∥A′P′,AP=A′P′,
∴四边形APP′A′是平行四边形,
∵抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交 于点A(0,3),平移该抛物线使其顶
点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),
∴PO=
=2,∠AOP=45°,
第14页(共31页)
又∵AD⊥OP,
∴△ADO是等腰直角三角形,
∴PP′=2×2=4,
×3=,
×=12.
∴AD=DO=sin45°?OA=
∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为:4
故答案为:12.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四 边形面积求法和勾
股定理等知识,根据已知得出AD,PP′是解题关键.
15.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接A E,
把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE的长为
或3 .
【分析】当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:
①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.
连结AC,先利用勾股定理计算出AC =5,根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而
当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB ′C=90°,所以点A、B′、C共线,即∠B
沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,则 EB=EB′,AB=AB′=3,可计算
出CB′=2,设BE=x,则EB′=x,CE=4﹣x, 然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算
出x.
第15页(共31页)
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