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2013年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目的要求的.
1．（5分）（2013?福建）已知复数z的共轭复数 （i为虚数单位），则z
在
复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．
【解答】解：因为复数z的共轭复数 ，
所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．
z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．
2．（5分）（2013?福建）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A ?B
“的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
D．充分必要条件．既不充分也不必要条件C
【分析】先有 a=3成立判断是否能推出A?B成立，反之判断“A?B”成立是否能
推出a=3成立；利用充要条件 的题意得到结论．
【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；
反之当A?B时，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3
故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件
故选：A．
的顶点到渐近线的距离等于（ ）双曲线3．（5分）（2013?福建）
．C．．．ABD
利 ，0），渐近线 2 的
，
顶点（由对称性可取双曲线【分析】
用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
， ，渐近线02 的顶点（，） 解：由对称性可取双曲线【解答】
．d=则顶点到渐近线的距离
故选：C．
4．（5分）（2013?福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90 ），
[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生
60 0名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
120D．C．450A．588B．480
频率×=60成绩不低于分的频率，然后根据频数【分析】根据频率分布直方图，
总数可求出所求．
解：根据频率分布直方图，【解答】
=0.8． 10×（0.005+0.015）成绩不低于60（分）的频率为1﹣
可估计该 校高一利用样本估计总体的思想，由于该校高一年级共有学生600人，
人．0.8=480600×年 级模块测试成绩不低于60（分）的人数为
．B故选：
2
b=02x的方程ax++，0，12}，且关于x∈分）5．（5（2013?福建）满足a， b{﹣
1，） 有实数解的有序数对的个数为（
10D．C．12A．14B．13
2
a）当有实数根， 所以分两种情况：（ax1+2x+b=0【分析】由于关于x的方程，由
此即可求出00时，方程为一 元二次方程，那么它的判别式大于或等于≠，此时
一定有解．b=02x+2）当a=0时，方程为（a 的取值范围；
，此时一定有解；+b=0）当a=0时，方程为2x【解答】解：（1
）四种．2（0，）（，00），0，1，（），﹣；即（，，，﹣此时b=101201，
时，方程为一元二次方程，0≠（2）当a
4ab≥﹣∴△=40，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a， b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，
﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0） ，（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，
2
+2x+b=0的方程ax有实数解的有序数对的个数为13种，关于x
故选：B．
6．（5分）（2013?福建）阅读如图所示的程序框图， 若输入的k=10，则该算法的
功能是（ ）
项和的前10}A．计算数列{2
1n
﹣
项和的前9{B．计算数列2}
n
项和101}的前C．计算数列{2﹣
n
项和91}D．计算数列{2的前﹣
从赋值框给出的两个变量 的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，【分析】
便可得到程序框图表示的算法的功能．
赋值，iS和循环变量【解答】解：框图首先给累加变量
1n
﹣
；i=1S=0，
；+1=20=1，i=1S=1判断i＞10不成立，执行+2×
；+1=3i=2×1=1+2，S=1i判断＞10不成立，执行+2
2
；1=4+22=1212S=110i判断＞不成立，执行+×（+）++，i=3
…
29
，i=10+1=112；+…+2判断i＞10不成立，执行S=1+2+
29
．2+…+2+2+判断i＞10成立，输出S=1
算法结束．
n1
﹣
}的前10故则该算法的功能是计算数列{2项和．
故选：A．
，则2） =（﹣4，ABCD中， =（1，2），7．（5分）（2013?福建）在四边形）
该四边形的面积为（
10D． C．A． B． 5
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
，，
， ， ，=0因为在四边形解：ABCD中， 【解答】
，
的对角线互相垂直，又所以四边形ABCD
，
= =5． 该四边形的面积：
故选：C．
< br>8．（5分）（2013?福建）设函数f（x）的定义域为R，x（x≠0）是f（x）的极
0 0
大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．?x∈R，f（x）≤f（x）
0
B．﹣x是f（﹣x）的极小值点
0
C．﹣x是﹣f（x）
的极小值点
0
D．﹣x是﹣f（﹣x）的极小值点
0
【分析】A项，x（x≠ 0）是f（x）
的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
00
B项，f （﹣x）是把f（x）的图
象关于y轴对称，因此，﹣x是f（﹣x）的极大
0
值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x是﹣f（x）的极 小值
0
点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x 轴、y轴做对称，因此﹣x是﹣f
0
（﹣x）的极小值点．
【解 答】解：对于A项，x（x≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，
00
因此不能满 足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象 关于y轴对称，因此，﹣x是f（﹣x）的
0
极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x是﹣f（x）的极
0
小 值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y 轴做对称，因此﹣x
0
是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
9．（5分）（2013?福建）已知等比数列{a}的公比 为q，记b=a+a
m1n1nnnm1
）（﹣）+（﹣
*
），
∈N 则以下结，（m，n?a+…+a，c=a?…?a
m1m12nmnmn1m12nmn1
+ ﹣+﹣（）+（）++﹣）（）（﹣
论一定正确
的是（ ）
m
q为等差数列，公差为b}A．数列{
n2m
q为等比数列，公比为b}B．数列{
n
}
为等比数列，公比为C．数列{c
n
为等比数列，公比为．数列{c}D
n
b时， ，
当 q=1 =mab① =ma，【分析】
nnn1mn1m
（（+﹣）
=ma=b，此时是常数列，
可判断A，B两个选项
nmn1m1
）﹣﹣（）+
q，利用等比数列的通项公式可得a}的公比
为②由于等比数列{
n
，得出=，
即可判断出C，D两个选项．
，当q=1 时，b =ma，b【解答】解：① =ma
m1mnnn1
+（）﹣
=ma=b，
此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；< br>
nn1n1mm
）﹣﹣（）（
，
+
q当≠1时， =
，选项B，此时不正确，
，
不是常数，故选项A不正确， =﹣又bb
nn1
+
，}a②∵
等比数列{的公比为，∴ q
n
，∴ =
，故∴=== C正确D不正
确．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
< br>10．（5分）（2013?福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T
的函数 y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x，x∈S，当x＜
112x时，
恒有f（x）＜f（x），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是
212
“保序
同构”的是（ ）
*
，B=N．A=NA
B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，
利 用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数
的值域，且函数为定义域上 的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选
择的答案．
**，满足：（i）B={﹣1，x∈Nf【解答】解：对于A=N，存在函数，B=Nf（x）=x
（ x）|x∈A}；（ii）对任意x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x）＜f（x），所
212112
以选项A是“保序同构”；
对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数
，
，
满足：
，＜
（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x） ＜f（x），
221211
所以选项B是“保序同构”；
对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（ ），满足：（i）B={f（x）
|x∈A}；
（ii）对任意
x，x∈A，当x＜x时，恒有f（x）＜f（x），所以选项C是“保序同构”；
212211
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只
有 D．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的
相应 位置.
11．（4分）（2013?福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a
﹣1＞0”发生的概率为 ．
【分 析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随
机数a所对应图形的长度， 及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入
几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
．P==1＞0”发生的概率为﹣则事件“3a
．故答案为：
12．（4分）（2013?福建） 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果
该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的 四边形是边长为2的正方形，
则该球的表面积是 12π ．
，求出球的2【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体 的棱长为
半径，然后求出球的表面积即可．
，解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2【解答】
，r=， 球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=
2
．4πr=12π所以球的表面积为：
．故答案为：12π
sin，⊥AC在 BC边上，AD（4分）（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D13
． ，则BD的长为AB=3， ，∠BAC=AD=3
，代入并90°BAC =∠BAD+BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠【分析】由∠BAC=
∠，ABABD中， 由，求出cos∠BAD的值，在三角形利用诱导公式化简sin∠BAC
的长．BD∠BAD的值，利 用余弦定理即可求出AD及cos
，AC，∴∠DAC=90°AD【解答】解：∵⊥
，BAD+90°∠BAD+∠DAC=∠∴∠BAC=
，∠BAD=90°（∠BAD+）=cos∴sin∠BAC=sin
，，ABD中，AB=3AD=3 在△
222
，24=39∠BDBAD=18=AB++AD﹣﹣2AB?AD?cos根据余弦定理得 ：
． 则BD=
故答案为：
，0）的左右焦点分别为F=1（a＞b＞414．（分）（2013?福建）椭圆Γ：
1
∠=2满足∠的一个交点MMFF F，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ
212
． FMF，则该椭圆的离心率等于
12
．又直线α=60°可知斜
率为 ，可得直线的倾斜角由直线【分析】
，进而MF=2FMFMΓ与椭圆的一个交点满足∠∠，可得 F
1221．
．
设|MF|=m，|MF|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得
12
即可．，c，解出a
解：如图所示，【解答】
．，∴α=60°有关系 =tanα 可知倾斜角α与斜率 由直线
．，∴F又椭圆Γ的一个交点满足∠MFF=2∠MF，∴
1212
，解得，则设|MF|=m，|MF|=n
12
．
． ∴该椭圆的离心率e=
．故答案为
n2
…=++…+1时，有如下表达式：1+x+xx∈15．（4分）（2013?福建）当xR ，|x|
＜
n2
+dx dx+…+dxxdx+xx两边同时积分得：+…=dx
132n
+
…=ln2++× （））+×（）+…+从而得到如下等式：1××（
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
1n23
．
+
）+×（）…+×+（×）+=×（
nn22n01
，两边同时积分整x）=（+xC1x++…C+xC【分析】根据二项式定理得C+
nnnn
理后，整理即可得到结论．
nnn0122
，x）x=（1+【解答】解：二项式定理得C+Cx+Cx+…+C
nnnnnn2n210
）1x+x+CC对
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