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2012年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（ ）
A．﹣1﹣iB．1﹣iC．﹣1+iD．1+i
【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．
【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，
∴z===﹣1﹣i，
故选：A．
2．（5分）（2012?福建）等差数列{a} 中，a+a=10，a=7，则数列{a}的公差为
nn541
（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设数列{a}的公差为d，则由题意可得 2a+4d=10，a+3d=7，由此解得
1n1
d
的值．
< br>【解答】解：设数列{a}的公差为d，则由a+a=10，a=7，可得2a+4d=10，a+3d= 7，
145n11
解得d=2，
故选：B．
3．（5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（ ）
≤ 0∈R，A．?x
0x2
x，2＞B．?x∈R
C．a+b=0的充要条件是=﹣1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
x
＞0，x∈R恒成立，所以Ay=e【解答】解：因为不正确；
52x2
﹣
不成立．2Rx）时﹣因为x=52＜（﹣5，所以?∈，＞x
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选：D．
4．（5分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都 相同，大小均相等，那么这
个几何体不可以是（ ）
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
【分析】利用简单几何体的 结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图
不可能形状相同，大小均等
【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；
B、三条侧棱两两垂 直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，
其三视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．
故选：D．
5．（5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（ ）
2
）0x＞+）＞lgx（A．lg（x
）∈Z≠kx，kB．sinx+≥2（x
2
+1≥2|x|（x∈R）C．x
＞
（x∈D．R）
< br>【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D
三个选项代入特 殊值排除即可
【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；
≥2sinx选项不
成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出+；B
22
≥0；）x?（||﹣1）∈（x21选项是正确的，这是因为Cx+≥||xR
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
综上，C选项是正确的．
故选：C．
6． （5分）（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，
则点P恰好取自阴 影部分的概率为（ ）
．CA．．B．D
的面积，观 察图形可得，阴影部分由函数根据题意，易得正方形OABC【分析】
围成，由定积分公式，计算可得阴 影部分的面积，进而由几何概 y=x与y=
型公式计算可得答案．
，1=1的面积为1×【解答】解：根据题意，正方形OABC
11
，=﹣）（围成，其面积为∫（ ﹣x）dx=|y=而阴影部分由函数y=x与
00
；=P取自阴影部分的概率为则正方形OABC中任取一点P，点
．故选：C
为有理数，
） 则下列结论错误的是（ 福建）2012?设函数 ，7．（5分）
（
为无理数，
）是偶函数（xB1}．D，A．D（x）的值域为{0
）不是单调函数（x）不是周期函数D．DxC．D（
结论D由函数值 域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知【分析】
结论错CB结论正确；由函数周期性定义可 判断正确；由偶函数定义可证明C误，
故选
显然正确；解：A【解答】
为有理数，
， ∵ x）=D（
为无理数，
）是偶函数，（xD∴
正确；B
，为有理数
=D=（x），∵D（x+1）
，为无理数
∴T=1为其一个周期，
故C错误；
∵D（ ）=0，D（2）=1，D（ ）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C．
2
=1的右焦点与抛物线 （分）2012?福建）已知双曲线y﹣=12x的焦点8．（5
） 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（
C．3D ． B．．5A
2
=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，【分析】确定抛物线y利
用点到直线的距离公 式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．
2
=12x的焦点坐标为（3，0【解答】解：抛物线y）
2
y的右焦点与抛物线 =12x的焦点重合∵双曲线
2
=9b4+∴
2
=5b∴
，即
∴双曲线的一条渐近线方程为
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
．故选：A
x
）满足约束条件福建）若函数y=2y图象上存在点（x，59．（分）
（2012? ） 的最大值为（ ，则实数m
D．C．A．2．B1
根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的【分析】
x
，）2，1（交与点y=3+x与边界直线y=2由指数函数的性质分析可得函数区域，
结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．
确定的区域为如图阴影部分，即△【解答】解：约束条件ABC
的边与其内部区域，
x
，1，2y=2分析可得函数）与边界直线x+y=3交与点（
x
）满足约束条件，图象上存在点（x，若函数y=2y
x
图象上存在点在阴影部分内部，y=2即
，，即实数m的最大值为1则必有m≤1
．故选：B
，ax∈[，a，b]上有定义，若 对任意x510．（分）（2012?福建）函数f（x）在[
21
f．设上具有性质P[a，b]）在 则称f（x b]，有
，现给出如下命题：P]上具有性质）在[1，3（x
上的图象是连续不断的；3，]x）在[1①f（
2
；上具有性质P1， ②f（x]）在[
；]1，3）=1，x∈[xx③若f（）在x=2处取得最大值1，则f（
）x+x有，∈x[13]， ）f（（+）（[fxf，x，，x④对任意x
3142123
]x）（+f
4
） 其中真命题的序是（
．③④D．①②A．①③B．②④C
根据题设条件，分别举出反例 ，说明①和②都是错误的；同时证明③和【分析】
④是正确的．
，＜
【解答】解：在①中，反例：f
在[1，3]（x）=上满足性质P，
，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
22
在[1， ）=﹣x]Px在[1，3]上满足性质，但f（x在②中，反例：f（x）=﹣
上不满足性质P，
故②不成立；
，）≤（2）=f，在③中：在[13]上，f（
，∴
故f（x）=1，
∴对任意的x，x∈[1，3]，f（x）=1，
21
故③成立；
在④中，对任意x，x，x，x∈[1，3]，
4231
=
有
≤
≤
=[f（x）+f（x）+f（x）+f（x）]，
4213
[f（x）+ ∴f（x）+f（x）+f（x）]，
4231
故④成立．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相
应位 置．
43
的系数等于8，则实数a= ）a+x2的展开式中x ．（分）11．（4（2012?福建）
x，令r=3可得（a=的展开式的通项公式为 T +x） a）+（【分析】根据ax
1r
+
34
×a=8，由此解得 x的展开式中的系数等于 a的值．
4r4r
﹣
x， T= （a+x）a的展开式的通项公式为 【解答】解：
1r
+
34
×a=8，解得
a=2x的展开式中，的系数等于 r=3令可得（a+x）
故答案为 2．
12．（4分）（2012?福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s
值等于 ﹣3 ．
4r4r
﹣
输出结果．时，退出循环，直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4【分析】
，k=2次判断后，1s=1，【解答】解：由题意可知第
，k=3s=0，次判断循环，第2
，，k=4次判断循环，3s=﹣3第
．S不满足判断框的条件，退出循环，输出
．3故答案为：﹣
的等比数列，则其最得三边长成公比为福建）已知△（4．13（分）2012?ABC
大角的余弦值为 ．
【分析】根据三角形三边长成公比为 的等比数列，根据等比数列的性质设出
三角形的三边为a， a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a
所对的角最 大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即
可求出cosθ的值．
【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a， a，2a，
∵2a＞ a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
．=﹣则根据余弦定理得：cosθ=
其前n项和为S的通项公式a=ncos，则（4分）（2012?
，
福建）数列{a}14．
nnn
．S 1006=
2013
即可得出．+【分析】算出a+aa+a=2，于是
424n34n14n4n
++++
=0【解答】解：∵ ，=
，）4n=﹣（+2
﹣
故答案为：
=4n， +4．=0
∴a+a+a+a=2，
434n24n14n4n
++++
=1006．于是
故答案为1006．
，
设：a*b=定义运算（15．（4分）2012?福建）对于实数a和b，“*”
＞，
f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个
，
xx，xxx，则x的取值范围是 ．，互不相等的实数根
322113
【分析 】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，
在图象上可以看出当直线与函数 的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一
元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三 个根，表示出
三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到
结果．
【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
=）（x∴根据题意得f
＞
=x）即f（
＞
）恰有三个互∈R）=m（m画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为（fx
，，）
m的取值范围是（0不相等的实数根时，
2
+x=m时，有xx=m当﹣x，
21
2
，时，由于直线与抛物线的交点
在﹣x=my轴的左边，得到 当2x
，m∈（x∴xx=m（0，
）=）
312
令y=，
）则
在m∈（ 0，
，又
上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
＜0在m∈（0，）上成立， ∴
（0，）上是一个减函数，∴函数y=
在这个区间
，）f（0） ，即（∴函数的值域是（f
，
）
，
故答案为：
分，解答题写出文字说明，证明过程或演80三、解答题： 本大题共5小题，共
算步骤．
福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影 响，企业产生每2012?13分）（16．（辆
轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车 制造厂生产甲、乙年，现
从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽2两种品牌轿车，保修期均为辆，统计数
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