2010广州中考数学2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2020年11月23日发(作者：叶毅干)
2015年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题 ，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试
A={i，i
，i，i< br>}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B
C{1，﹣1}
．
D．
?
234
（福建卷）数学（理工类）
1．（5分）（2015?福建） 若集合
等于（）
A
．
考
点：
专
题：
分析：
解
答：
解：∵A={i，i，i，i
}={i，﹣1，﹣i，1}， B={1，﹣1}，
∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．
故选 ：C．
点
评：
2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（
A< br>．
考点：
专题：
分析：
解答：
y=By=|sinx|
．
Cy=cosx
．
）
Dy=e
﹣e
．
x
﹣
x
{﹣1} B
．
{1}
虚数单位i及其性质；交集 及其运算．
集合；数系的扩充和复数．
利用虚数单位i的运算性质化简
234
A，然后利用交集运算得答案．
本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．< br>函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．
函数的性质及应用．
根据函数奇偶性的定义进行 判断即可．
解：A．函数的定义域为
偶函数．
B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|= |sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．
C．y=cosx为偶函数．
D．f（﹣x） =e
故选：D
﹣
x
[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非< br>﹣e
=﹣（e
﹣e
xx
﹣
x
）=﹣f（x），则f（ x）为奇函数，
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
3．（5分）（2015?福建）若双曲线
线E上，且|PF
1
|=3，则|PF< br>2
|等于（
A11 B9
E：
）
=1的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P在双曲
C5 D3
．
考点：专题：
分析：
解答：
．
双曲线的简单性质．
．．
计算题 ；圆锥曲线的定义、性质与方程．
确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
解：由 题意，双曲线E：=1中a=3．
∵|PF
1
|=3，∴P在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得
∴|PF
2
|=9．
故选：B．
点评：本题 考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
|PF
2
|﹣|PF
1
|=6，
4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系 ，随机调查了该社
区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
支出y（万元）
8.2
6.2
8.6
7.5
，其中
）
C1 2.0万元
．
D
．
12.2万元
10.0
8.0
11.3
8.5
，据此估计，该社区一户
11.9
9.8 < br>根据上表可得回归直线方程
收入为15万元家庭年支出为（
A
．
11. 4万元B
．
11.8万元
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：
解答：
由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．
解： 由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8. 0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得
∴回归方程为
=8﹣0.76×10= 0.4，
=0.76x+0.4，
y=0.76×15+0.4=11.8，把x=15代入方 程可得
故选：B．
点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
5． （5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于
（）
A< br>．
考点：
专题：
分析：
解答：
B
．
简单线性 规划．
﹣2 C
．
D
．
2
不等式的解法及应用．
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
解：由约束条件作出可 行域如图，
由图可知，最优解为
联立
A，
，解得A（﹣1，）．
∴z =2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣
故选：A．
=．
点评：本题考查了简单的线性规 划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
运行相应的程序，则输出的结果为（）6．（5分）（ 2015?福建）阅读如图所示的程序框图，
A
．
2 B
．
1 C0
．
D
．
﹣1
考点：
专题：
分析：
解答：
循环结构．
图表型；算法和程序框图．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的< br>i＞5，退出循环，输出
i=1，S=0
S=cos，i=2
+cosπ，i=3
+cosπ+cos
+cosπ+cos
+cosπ+cos
，i=4
+cos2π，i=5
+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6
S的值为0．
解：模拟执行程序框图，可得
i，S的值，当i=6时满足条件
不满足条 件i＞5，S=cos
不满足条件i＞5，S=cos
不满足条件i＞5，S=cos
不满足条件i＞5，S=cos
满足条件i＞5，退出循环，输出
故选：C．
点评：< br>S的值为0，
i，S的本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的
值是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，
（）
A．
C．
充分而不必要条件
充分必要条件
B．
D．< br>m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的
必要而不充分条件
既不充分也不必要条件
考点：
专题：
分析：
解答：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
简易逻辑．
利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．
解： l，m是两条不同的直线，
之，“l∥α”一定有“l⊥m”，
所以l，m是两条不同的直线，
条件．
故选：B．
m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分
m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l?α，反
点评：本题考查空间直线与平面垂直 与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考
查．
8．（5分）（2015?福建）若a ，b是函数f（x）=x
﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，
且a，b，﹣2这 三个数可适当排序后成等差数列，
等于（
A
．
考点：
专题：
分析：
6
）
B
．
7 C8
．
D
．
9
也可适当排序后成等比数列，则p+q的值
2< br>等比数列的性质；等差数列的性质．
等差数列与等比数列．
由一元二次方程根与系数的关 系得到
b后得答案．
a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适
a，b的 方程组，求得a，当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于
解答：解：由题意可得：∵p＞0，q＞0，
a+b=p，ab=q，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣ 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得
解①得：
①或
；解②得：
②．
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q= 9．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，
基础题．
考 查了等差数列和等比数列的性质，是
9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面
内一点，且
A
．
13 B
．
15
，则的最大值等于（
C19
．
）
D
．
21 考点：
专题：
分析：
平面向量数量积的运算．
平面向量及应用．
建系，由向量式的几何意义易得
﹣（+4t），由基本不等式可得．
P的坐标，可化=﹣（﹣1 ）﹣4（t﹣4）=17
解答：解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（， 0），C（0，t），
∵，∴P（1，4），
∴
∴
=（﹣1，﹣4），
=﹣（
=（﹣1，t﹣4），
+4t），﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（
+4t≥ 2=4，由基本不等式可得
∴17﹣（
当且仅当
+4t）≤17﹣4=13，
=4t即t=时取等号，
∴的最大值为13，
故选：A．
点评：本题考查平面向量数量 积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．
R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′ （x）满
）
D
．
C
．
10．（5分）（2015?福建）若 定义在
A
．
考点：
B
．
足f′（x）＞k＞1，则下列结论 中一定错误的是（
函数的单调性与导数的关系．
专题：
分析：
创新题型；导数 的概念及应用．
根据导数的概念得出
（）＞，即可判断答案．
＞k＞1，用x=代入可 判断出f
解答：
解；∵f′（x）=
f′（x）＞k＞1，
∴
即当x=
即f（
故f（
所以f（
故选：C．
＞k＞1，
＞ k＞1，
时，f（
）
）＞
）＜
）+1＞
﹣1=
，< br>，一定出错，
×k=，
点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题， 理解了变量的代换
问题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题
5
4分，共2 0分.
2
11．（4分）（2015?福建）（x+2）
的展开式中，x的系数等于< br>考点：
专题：
分析：
解答：
二项式定理．
计算题；二项式定理 ．
先求出二项式展开式的通项公式，再令
得展开式中的
5
80．（用数字作答 ）
x的幂指数等于
5
﹣
rr
2，求得r的值，即可求
x项的 系数．
T
r+1
=
2
2
解：（x+2）的展开式的通项公式 为
令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中
故答案为：80．
?x?2
，< br>=80，x项的系数为
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式 的通项公
式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
12．（4分）（2015?福建）若锐角 △ABC的面积为
考
点：
专计算题；解三角形．
余弦定理的应用．
， 且AB=5，AC=8，则BC等于7．
题：
分
析：
解
答：
解：因为锐角△ABC的面积为
所以
所以sinA=
所以A=60°，
所以c osA=，
所以BC=
故答案为：7．
点
评：
13．（4分）（20 15?福建）如图，点
2
利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．
， 且AB=5，AC=8，
，
，
=7．
本题考查三角形的面积公式，考查余弦定 理的运用，比较基础．
A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）
．=x
，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
考点：
专题：
分析：
解答：
定积分的简单应用；几何概型．
导数的综合应用；概率与 统计．
分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
解：由已知，矩形的面积为
阴影部分的面积为
4×（2﹣1）=4，
=（4x﹣）|
；
=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于
故答案为：
点评：
．
本 题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的
面积，利用几何概型公式 解答．
14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=
则实数a的取值范围是（1，2] ．
（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
考点：对数函数的单调性与特殊点．
专 题：函数的性质及应用．
分析：
解答：
解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的 值域是[4，+∞），
当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log
a
x≥4，即log
a
x≥1，故有log
a
2≥1，
由此 求得a的范围．
故当x≤2时，满足f（x）≥4．
当x＞2时，由f（x）=3+loga
x≥4，∴log
a
x≥1，∴log
a
2≥1，
∴ 1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
点评：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性 和特殊点，属于基础题．
15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x
k
（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过 程中有
时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x
1
x
2
…x
7
的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为 ：
上述校验方程组可判定
考点：
专题：
分析：
解答：
0⊕0 =0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用< br>k等于5．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第
通讯安全中的基本问题．
创新题型；新定义．
根据二元码x
1
x
2
…x
7
的 码元满足的方程组，及
逐个验证即可．
解：依题意，二元码在通信过程中仅在第
从而由 校验方程组，得
k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x
1=0，x
2
=1，x
3
=0，x
4
=1，x
5
=1，x
6
=0，x
7
=1，
x
4
⊕x< br>5
⊕x
6
⊕x
7
=1，故k≠1；
②若k=2，则x
1
=1，x
2
=0，x
3
=0，x
4
=1 ，x
5
=1，x
6
=0，x
7
=1，
从而由校验方 程组，得x
2
⊕x
3
⊕x
6
⊕x
7
=1， 故k≠2；
③若k=3，则x
1
=1，x
2
=1，x
3=1，x
4
=1，x
5
=1，x
6
=0，x
7
=1，
从而由校验方程组，得
从而由校验方程组，得
x
2
⊕ x
3
⊕x
6
⊕x
7
=1，故k≠3；
x
1
⊕x
3
⊕x
5
⊕x
7
=1，故k≠4；
④ 若k=4，则x
1
=1，x
2
=1，x
3
=0，x
4
=0，x
5
=1，x
6
=0，x
7
=1，
⑤若k=5，则x
1
=1，x
2
=1，x
3
=0，x4
=1，x
5
=0，x
6
=0，x
7
=1，< br>“⊕”的运算规则，将k的值从1至7
从而由校验方程组，得
故k=5符合题意；
x
4
⊕x
5
⊕x
6
⊕x
7
=0，x2
⊕x
3
⊕x
6
⊕x
7
=0，x
1< br>⊕x
3
⊕x
5
⊕x
7
=0，
⑥若k=6，则 x
1
=1，x
2
=1，x
3
=0，x
4
= 1，x
5
=1，x
6
=1，x
7
=1，
从而由校验 方程组，得
从而由校验方程组，得
综上，k等于5．
故答案为：5．
点评：本 题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”
可看作是两个数差的 绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．
三、解答题
16．（13分）（2015?福 建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现
银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，
卡的正确密 码是他常用的
发现自己忘记了银行卡的密码，
3次密码尝试错误，该
但是可以确定该银 行
1个进行尝试．若
x
2
⊕x
3
⊕x
6
⊕ x
7
=1，故k≠6；
x
2
⊕x
3
⊕x
6
⊕x
7
=1，故k≠7；
⑦若k=6，则x
1
=1，x2
=1，x
3
=0，x
4
=1，x
5
=1，x
6
=0，x
7
=0，
6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择
密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被 锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
考点 ：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
专题：概率与统计．
分析：（ 1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）随机变量X的取值为：1，2，3 ，别求出对应的概率，即可求出分布列和期
望．
解答：解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁 定
则P（A）=
（2）有可能的取值是
又则P（X=1=
P（X=2=
P（X=3=
，
=，
=，
．
1，2，3
”的事件为A，
所以X的分布列为：
X
P
1 2 3
EX=1×+2×+3×=．
点评：本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列 、数学期望
等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
17．（13分 ）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面
BEC，BE ⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE ；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角 ；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：解法一：（1）取AE的中点H ，连接HG，HD，通过证明四边形
形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（2） 以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立
HGFD是平行四边
空间直角坐标 系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．
解法二：（1）如图，取AB中 点M，连接MG，MF，通过证明平面
来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．
解答：解法 一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB ，
又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，
GMF∥平面ADE
∴DF∥AB，且 DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD是平行四边形，∴
（2）如图， 在平面
GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
BEG内，过点B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以
角坐标系，
则A（0，0，2），B（ 0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）
∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，
的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直
设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又 =（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）
由垂直关系可得，取z=2可得．
∴cos＜，＞= =
∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：（1）如图，取AB中点M， 连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知
∴GM∥平面ADE．
在矩形ABCD中， 由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．
又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥ 平面ADE．
又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF
∴平面GMF∥平面ADE，
∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE
（2）同解法一．
GM∥AE，且GM=AE
又AE?平面ADE，GM?平面AD E，
点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，
建 系求二面角是解决问题的关键，属难题．
18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a ＞b＞0）过点，且离
心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1 （m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点
AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
G与以线 段
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．