小朋友学数学福建省最近十年高考数学压轴题初探

2020年11月23日发(作者：汤桂芬)

毕业论文
福建省最近十年高考数学压轴题初探

The research of the final question for college entrance
examinations of mathematics in nearly a decade in
Fujian Province


姓 名：

学 号：

系 别：

专 业：

年 级： 2011级

指导教师：

2014年06月18日


摘 要
本文主要针对福建省自20 04年自主命题以来至2013年的数学高考试卷进行分析、
从文理科压轴题的背景，文理科试卷在几何 和代数两个方面进行对比。同时，本文还对
福建省压轴题命题方向谈点粗浅的认识。



关键词
：
福建省；高考数学；压轴题；文科高考数学试卷；理科高考数学试卷



Abstract

This paper mainly deals in analyze Fujian independent mathematical proposition college
entrance examination papers since 2004 to 2013. From the background theme of the finale of
the arts and sciences, the arts and sciences papers comparing the two aspects of geometry and
algebra. Meanwhile, the paper also talks about propositional direction to the Fujian province
of final questions superficial understanding.




Key words: Fujian province; Mathematical finale problems of college entrance; The college
entrance examination mathematics; Last question; Liberal arts college entrance examination
mathematics examination paper; Science college entrance examination mathematics
examination paper









目 录

摘
要............................................. .................
...............Ⅰ

1．
前 言 .................................... .................. 2
2.高考数学压轴题背景分析 ...................................... 2
2．1高考数学命题背景分析 ..................................... 2
2.2高考数学压轴题背景分析 .................................... 3
3福建省高考数学文理压轴题类型 ................................ 4
3.1试卷统计、分析 ............................................ 4
3.2福建省高考数学文理代数题对比 .............................. 8
3．2.1数据分析 ............................................... 8
3.2.2试题分析 ................................................ 8
3.3福建省高考数学文理几何对比 ............................... 11
3.3.1数据分析 ............................................... 11
3.3.2试题分析 ............................................... 11
4展望未来压轴题走势 ......................................... 13
5参考文献 ........................................ ........... 15

致 谢 ....................... ................................ 17


1.前言
何谓压轴？“压轴”原本是戏曲名词，“压轴戏”在有些地区，有些剧种中又称“压
台戏”，往往意谓这出戏的质量高，分量最重，足以压住全台，使观众不致中途退席。
在韦小宝 的《“压轴戏”是哪一出戏？》一文
[1]
中对压轴戏有着很深刻的解释。
现在，“压轴”也就成了最精彩、最引人注目、最有分量的代称。
在高考数学试卷中一般将最后一道题，也就是分值极大、倍受重视的题，称为“压
轴题”。
福建省自2009年实行高考改革，理科数学试卷最后一题为选做题除外。
高考作为选拔人才 的方式，要全面了解考生的基本知识、理论与方法的应用。同
时，还要兼顾各类高校选拔人才的需要。因 此，高考数学试卷必须具有较好的区分度。
压轴题往往是命题指标中区分度的重要体现，它在很大程度上 决定了考生分数的高低。
当提到高考数学压轴题，却让众多高考考生望而却步，因此受到了广大师生的高 度关注。
作为试卷命题者为提高试卷区分度而精心设计的一道题，压轴题具有难度大、覆盖的知
识点广且综合性和探索性强、蕴含深刻的高等数学背景等特点。例：高等数学中凸性函
数背景、拉格朗日 定理背景、根的存在性背景等
[2]
一直以来在压轴题中常能遇见。
现如今，学者对 压轴题的研究基本上是针对某个省份，某一年的某一道题进行推
广或对某种题型进行探究。针对某个省份 具体几年内高考数学压轴题的研究较少。而本
文与其他相关论文的不同之处在于：本文主要研究福建省， 最近10年的高考数学文理
科压轴题。
本文从福建省高考数学文理科压轴题的背景，文理分类 比较及在新一轮的高考改革
潮流下，对福建省压轴题命题方向谈点粗浅的认识，希望能帮助福建高考考生 对福建省
高考数学压轴题的学习有着新的认识，找到更多的解题灵感，解除在思维上的困扰，顺
利地迎接高考。



2、高考数学压轴题背景分析

2.1高考数学命题背景分析

在社会日新月异的大背景下，教育的发展也要与时俱进 ，跟上历史的脚步。福建
省高考数学试卷亦如此。
刘得住曾对中国数学考试的历史及其变化做 过研究
[3]
，发现自1977年恢复高考制
度以来，无论高考的内容还是高考制度， 都在改革的浪潮中经历一次次洗礼。
熊永东提过：自2004年福建省高考数学实现自主命题以来，其 试卷内容、考察形
式、创新程度等都处于不断变化中
[4]
。
众所周知，福 建省教育厅办公室于2007年12月24日向各设区市教育局发布《福
建省普通高中新课程实验后普通 高校招生考试综合改革方案》（征求意见稿）
[5]
通知：从
2006年秋季起，高一 新生进行新课程实验；在2009年高考中实施。因此若将福建省2004
年至今的高考试卷进行根据“ 大纲”
[6]
和“课标”
[7]
对文理科学生在数学选修方面的不
同 要求分类，可将分为2004年到2008年的“大纲卷”和2009年至今的“课标卷”。
2.2高考数学压轴题背景分析

课程的改革与高考数学命题的方向息息相关，也可以 说课程的改革决定了高考数学
试卷的变化趋势。结合赵荣夫对高考数学试题背景的研究
[8]< br>，我们归纳出以下几点内容：
1. 高考数学命题是源于课本，着眼于提高。
课本是 数学知识和数学思想方法的载体,又是教学的依据,理应成为高考试题的源
头。同时，高考的目的是为各 个高校选拔人才，故相较于课本，试卷中会提高题目的灵
活性和综合性。
2. 顺应新课改，体现新理念。
董颖曾对高中数学的新课标和教学大纲做了相对具体的比较
[9]
。无论是对文科生，
还是对理科生，在数学上的要求都发生了一定的变化。从本文2009年前 后福建省数学
高考文理科试卷统计、分析都充分体现了这一点。
3．借用高观点，考察潜能力。即高题低做。
在高考数学压轴题中，往往有一些有高等数学背景的“新概念”。
4. 改编竞赛题，试题竞赛化。
高考数学试卷常常与竞赛数学联系在一起。周戈林曾对高考命题与竞赛数学 背景
做过研究，其中有这么一句话：“高考试题竞赛化已经成为高考数学命题的一个新动向”
[ 10]
。同时，徐晓辉在研究高考数学压轴题背景
[11]
时，也发现高考数学压轴题 很多来自竞
在这样的背景之下，现我们对福建省2004年至今所有文理科数学试卷进行统计研
赛题的改编。
究，从代数题和几何题两个方面比较文理试卷压轴题的差别。通过数据得出结论。 所谓代数，是研究数、数量、关系与结构的数学分支。例如：数的概念、排列和组
合，函数，不等式 、解析几何等。本文将以函数与导数、数列为主要考点的高考数学压
轴题归为代数题。
所谓几 何，是研究空间结构及性质是一门学科。例如：直线、平面、多面体、解析
几何等。本文将以立体几何为 主要考点的压轴题归为几何题。
由代数和几何的定义可知：解析几何既属于代数的定义范围，又属于几 何的定义范
围。因解析几何是用代数的思想解几何问题。故本文将解析几何归为几何题。


3.福建省高考数学文理压轴题类型对比
3.1试卷整理
福建省自2004年高考自主命题至今共有10套文科高考数学试卷
[12-21]
和10套理 科
数学
[22-31]
。我们以这20套试卷为研究对象，参考贾欢《2012年高考 数学新课标卷与大
纲卷对比研究》一文
[32]
中对表3-1：2012年全国14套 新课标卷函数与导数考点分布”
表格的设计，结合研究对象特点，对这20套试卷中的20道压轴题分文 理科进行系统分
析、归纳、统计每份试卷中每道压轴题的年份、试卷题号、分值、主要考点、设问特点、
所涉及到的知识点、与其他知识的交汇点（其中试卷题号，考查分值、设问特点、所涉
及知识点 、与其他知识交汇与贾欢在《2012年高考数学新课标卷与大纲卷对比研究》对
比有相似之处，但彼此 研究对象不同）等。详见表2-1与表2-2。

表2-1：福建省2004年到2013年高考数学（文科卷）压轴题考点

年份
试卷
题号
22
分值
主要
考点
函数
2004年 14 与导
数
直线
2005年 22 14
与圆
锥曲
线
数列
2006年 22 14 的应
用
直线
2007年 22 14
与圆
锥曲
线
直线
2008年 22 14
与圆
锥曲
线
设问特点
求函数中参数值
集合，求参数取
值范围
求椭圆方程，判
断满足条件的直
线是否存在
证明数列是等比
数列，求数列通
项公式，证明数
列是等差数列
求轨迹方程，满
足条件的参数
值，向量模乘积
的最小值
求椭圆方程，
证明点在椭圆
上，求三角形面
积的最大值
所涉及到的知识点
函数的单调性，
导数的应用，
函数的最值
直线与椭圆的位置
关系，弦长，直线、
椭圆方程
等比数列，等差数
列，非等差、等比数
学数列通项，等差、
等比的综合
直线、抛物线位置关
系，抛物线方程、性向量
质
直线与椭圆的位置
长
函数，不等
面积

与其他知识
交汇点
集合，不等
式，方程根
的分布
向量，三角
函数
关系，椭圆方程，弦式，三角形
直线
2009年 22 14
与圆
锥曲
线
函数
2010年 22 14 与导
数
函数
2011年 22 14 与导
数
函数
2012年 22 14 与导
数
函数
2013年

求椭圆方程，
求线段长度最小
值，求满足条件
的点的个数
求参数值，
参数最大值，
判断满足条件的
点是否存在
求参数值，
求单调区间，
判断满足条件的
数是否存在
判断并证明零点
个数
求参数值
求函数极值，
参数最大值
直线，椭圆的位置关三角形面
系，椭圆方程，线段积，不等式，
最小值
导数运算及其应用、
单调性、函数的最
值、函数图象
导数运算及其应用、
函数单调性、值域、
图象、最值
函数
直线，不等
式
直线，不等
式
求函数解析式， 导数运算及其运用、
函数的概念、最值、
单调性、零点，图象
导数运算及其运用、
函数的极值、最值、
单调性、零点，图象
三角函数、
不等式
直线，不等
式
22 14 与导
数
表2-2：福建省2004年到2013年高考数学（理科卷）压轴题考点

年份
试卷
题号
分值
主要
考点
直线
2004年 22 12
与圆
锥曲
线
2005年 22 14
设问特点
求轨迹方程，求
满足条件的线段
的取值范围
所涉及的知识点
与其他知识
交汇点
抛物线与直线位置关
系，直线斜率，
不等式
数列求参数值，证明
的应数列，求参数的
用
数列
2006年 22 14 的应
用
取值范围
求数列通项公
式，证明数列是
等差数列，证明
不等式
数列的综合运用
不等式，函
数
数列的综合运用 不等式
函数求单调区间，求
2007年 22 14 与导参数取值范围，
数
2008年 22 14
证明不等式
函数求单调区间，参
与导数取值范围，证
数 明不等式
导数运算及其运用、
函数的极值、单调性、不等式
奇偶性
导数运算及其运用、不等式、数
函数的最值、单调性、 列、极限
导数运算及其运用、
函数的单调性、极值、直线、不等
最值、图象、函数的
根
导数运算及其运用、
几何意义，函数的单
调性、图象及其平移、
直线与直线、直线与
平面、平面与平面的
位置关系
导数运算及其运用，直线、不等
空间向量
直线、不等
式
式
函数求单调区间，求
2009年 20 14 与导参数最小值，求
数
函数
2010年 20 14 与导
数
立体
几何
函数
2012年 20 14 与导
数
三角
函数
参数取值范围
求单调区间，证
明两个面积比为
定值，类比命题
并证明
证面面垂直，求
线段长，判断点
的存在性
求单调区间，确
定取值范围
求函数解析式，
判断满足条件的
点，求参数值
2011年 20 14
函数的单调性、零点 式
同角三角函数的基本
关系．三角恒等变
换．三角函数的图像
与性质．
函数．函数
的导数．函
数的零
点．不等式
2013年 20 14

从表2-1和表2-2中，对2004年到2013年福建省高考数学文理科试卷中的 压轴题
进行分析，不难发现：自2009年采用新课标后理科卷的压轴题从原来的第22题改为第
20题。而文理科的分值不曾改变过，一直占据全卷的14分，约占据全卷的1%（除2004
年理科 卷压轴题分值为12分）。
在10套文科卷中代数题有5题，占文科卷的50%（其中2006年考察 数列、2010年、
2011、2012、2013年主要考点为函数与导数）；几何题有5题（考察知 识点为直线与圆
锥曲线）。在10套理科卷中代数题有8题，占理科卷的80%（其中2005年和20 06年考
察数列，2007年、2008年、2009年、2010年、2012年、2013年主要考 点为函数与导
数），几何题有2题分别为2004年主要考点为直线与圆锥曲线和2011年主要考点为 立
体几何。因立体几何常与空间向量结合，降低了解题难度，故作为压轴题较为少见。而
直线与 圆锥曲线在计算上较难，涉及的数学思想较广，相对于立体几何在压轴题中更为
常见。
以下分 别通过代数和几何对文理压轴题类型进行对比。根据对“大纲卷”和“课标
卷”的对比：“大纲卷”文科 压轴题主要是考察直线与圆锥曲线，而理科主要是函数与
导数和数列，“课标卷”两者皆考察函数与导数 。这与“大纲”和“课标”对文理科学
生的在选修方面的不同要求有关。
“大纲”对文理科学 生在直线与圆锥曲线的要求相同，但是在极限与导数方面，“大
纲”要求文科生学习20个课时，理科生 学习28个课时。
在“课标”中，文理科在选修方面的学习有一些内容相同，但要求不同，如导数及< br>其应用，圆锥曲线与方程，推理与证明。理科生的要求相对于文科生更高。
从函数与导数在涉及 到的知识点设问频上，我们对表2-1和表2-2进行统计、分
析得到如下表2-3。
表2-3文理函数与导数设问特点的频率

求
函数与
导数设
单
调
间
文科设
问频率
理科设
问频率
1
5
求
参
数
求参数取
值范
求
最
判断满足条件的点、
数、零点是否存在，
求
极
求函
数解
证明
命题
类比并
证明命
题 问特点 区
值 围
4
1
1
4
值 说明理由（证明） 值 析式
2
1
3
1
1
0
1
1
0
3
0
1

对 表2-3进行分析我们可以观察到文理设问上文科考察的热点以求参数值（主要是
求）、判断满足条件的 点、数、零点是否存在，说明理由（证明）为主，占文科总设问
次数的约54%；而理科最主要以求单调 区间、求参数取值范围和证明命题为主，占理科
总设问次数的约71%。
在设问特点上，理科 比文科设计题型更加新颖。文科侧重于对满足条件的点、数、
零点的存在说明，理科侧重于对命题的证明 。这就说明了要求的不同，学科的特点。