数学速成福建省厦门第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题及答案

2020年11月23日发(作者：米石隐)
2019-2020
学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共
12
小题）
1.

若集合，且，则集合
B
可能是
A.

B.

C.

D. R

2.

已知，，其中
i
是虚数单位，则的虚部为
A.

B.

C.

D.

3.

函数且的图象可能为
A.

B.

C.

D.

4.

已知为等比数列，，，则
A. 7

B.

C.

D.

5.

已知函数且若函数的图象上有且只有两个点关于
y
轴对称，则
a
的取值范围是
A.

B.

C.

D.

6.

若，，，则的最小值是
A.

B. 3

C.

D. 4

7.

水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的
发明，也是人 类利用自然和改造自然的象征．如图是一个
半径为
R
的水车，一个水斗从点出发，沿圆 周按逆时针方
向匀速旋转，且旋转一周用时
60
秒经过
t
秒后，水斗 旋
转到
P
点，设
P
的坐标为，其纵坐标满足则下列叙述错误
的是
A.

B.
当时，函数单调递减
C.
当时，点
P
到
x
轴的距离的最大值为
6

D.
当时，
8.

2013
年第
12
届全国运动会将在沈阳举行，某校
4
名大学生申请当
A
，
B
，
C
三个比
赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人， 每人只
能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务
A
比赛项目，则不同的安排方案共有
A. 20
种
B. 24
种
C. 30
种
D. 36
种
9.

已知双曲线的右顶点为
A
， 以
A
为圆心，
b
为半径作圆
A
，圆
A
与双 曲线
C
的一条
渐近线交于
M
，
N
两点．若，则双曲 线
C
的离心率为
A.

B.

C.

D. 2

10.

已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为
A.

B.

C.

D.

11.

已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，，，
则的值为
A.

B.

C.

D.

12.

在三棱锥中，，，，点
P
在平面
ACD
内 ，且，设异面直
线
BP
与
CD
所成角为，则的最小值为

A.

B.

C.

D.



二、填空题（本大题共
4
小题）
13.
< br>已知关于
x
，
y
的二元一次不式组，则的最大值为
_____ _
．
14.

已知，则展开式中的常数项为
______
．
15.

如 图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半
径为
R
的球面上，则该几何体的体积为
______
．

16.

的垂心
H
在其内部，，，则的取值范围是
______

三、解答题（本大题共
7
小题）
17.

已知函数．
求函数在上的单调递减区间；
在锐角中，内角
A
，
B
，< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知，，，求 的两个内角
B
，
C
及分别对应的边长
b
，
c
．

18.

已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形
ABCD
为边长等于的正方形，和
均为正三角形，在三棱锥中；
Ⅰ证明：平面平面
ABC
；
Ⅱ若点
M
在棱
PA< br>上运动，当直线
BM
与平面
PAC
所成的角最大时，求二面角的
余弦值．


19.

已知椭圆
E
：的左焦点 为
F
，设
M
，
N
是椭圆
E
的两个短轴端点 ，
A
是椭圆
E
的长
轴左端点．
Ⅰ当时，设点，直线
PN
交椭圆
E
于
Q
，且直线
MP
、
MQ
的斜率分别为，，求的

20.

21.

22.

值；
Ⅱ当时，若经过
F
的直线
l
与椭圆
E
交于
C
，
D
两点，
O
为坐标原 点，求与的面积
之差的最大值．

已知数列的首项为，且满足，数列满足，数列的前
n
项和．
求数列的通项公式；
令，求证：．

已知函数．
求函数的单调区间；
若关于
x
的不等式恒成立，求整数
a
的最小值．

已知曲线
C
的极坐标方程是，直线
l
的参数方程是为参数

将曲线
C
的极坐标方程化为直角坐标方程；
设直线
l
与< br>x
轴的交点是
P
，直线
l
与曲线
C
交于M
，
N
两点，求的值．

23.

已知函数的最大值为
k
．
求
k
的值；
若
a
，
b
，，，求的最大值．
答案和解析
1.
【答案】
A

【解析】解：，
，且，
可能是．
故选：
A
．
根据即可得出，并且，从而可判断哪个选项的集合可以是集合
B
．
本题考查 了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了推理能力，
属于基础题．
2.
【答案】
B

【解析】解：，，
，
的虚部为．
故选：
B
．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.
【答案】
D

【解析】【分析】
由条件可得函数为 奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，结合所给的选项，
得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中
档题．
【解答】
解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，
且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除
A
、
B
．

当，，故排除
C
，
故选：
D
．
4.
【答案】
C

【解析】解：为等比数列，，，
由等比数列的性质，，
或，
当时，，
则，
当时，，
则，
故选：
C
．
由等比数列的性质，，结合已知可求，，然后结合等比数列的性质即可求解，
本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．
5.
【答案】
D

【解析】解：由题意，时，显然成立；
时，关于
y
轴的对称函数为，则，，
综上所述，
a
的取值范围是，
故选：
D
．
由题意，时，显然成立；时，关于
y
轴的对称函数为，则，即可得到结论．
本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题．
6.
【答案】
D

【解析】解：考察基本不等式当且仅当时取等号

整理得

即，又，
所以当且仅当时取等号，
则的最小值是
4
，
故选：
D
．
首先分析题目由已知，，，求的最小值，猜想到基本不等式的用 法，利用代入已知条件，
化简为函数求最值
本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求 最大值最小值的问题中应用非常广
泛，需要同学们多加注意，属于基础题．
7.
【答案】
B

【解析】解：由题意得，，，解得；
把点代入中，可得，，，则
A
正确；
当时，，函数单调递减，所以
B
错误；
由，当时，，点
P
到
x
轴的距离的最大值为
6
，所以
C
正确；
当时，，
P
的纵坐标为
6
，，所以
D
正确．
故选：
B
．
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．
本 题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，也考查了运用三角函数的最
值，周期等问题，是中 档题．
8.
【答案】
B


【解析】解：甲在
B
、
C
中任选一个，在这个前提下，剩下三个人可以在三个比赛中各
服务一个 ，就是，也可以在除了甲之外的两个项目中服务，就是，
不同的安排方案共有

故选
B
．
先安排甲，再安排其余
3
人，利用分布计算原理可得结论．
本题考查分布计算原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
9.
【答案】
A

【解析】解：双曲线的右顶点为，
以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲 线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点．
若，可得
A
到渐近线的距离为：，
可得：，即，可得离心率为：．
故选：
A
．
利用已知条件，转化求解
A
到渐近线的距离， 推出
a
，
c
的关系，然后求解双曲线的离
心率即可．
本题 考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转
化思想以及计算能力．
10.
【答案】
B

【解析】解：向量，，满足，，与的夹角为，

如图所示，取，

设，，

，
，
，
故
C
在为以为圆心以
2
为半径的圆的上
则表示
C
到距离，
由圆心到距离为，
故的最小值为，
故选：
B
，设，则可得
C
在为以为圆心以
2
为半 径的圆的
上，进而得到答案．
本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、菱形的性质，考 查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
11.
【答案】
C

【解析】解：函数的图象关
于对称，直线过，
则，
所以函数的图象与直线恰
有三个公共点如图所示，
且在区间内相切，其切点
为，由于，
，即，
．
故选：
C
．
函数的图象与直线恰有三个公共点，画出图象，且在区间内相切 ，其切点为，利用导数
的几何意义得出，从而得到结论．