考研数学单科线辽宁省高考数学试卷理科答案与解析

2020年11月23日发(作者：穆文熙)
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，
B={x|x≥1} ，则集合?（A∪B）=（ ）
U

A．{ x|x≥0} B．{ x|x≤1} C． {x|0≤x≤1}D ． {x|0＜x＜
1}
考交、并、补集的混合运算．
点：
专集合．
题：
分先求A∪B，再根据补集的定义求C（A∪B）．
U
析：
解解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，
U
答： ∴C（A∪B）={x|0＜x＜1}，
故选：D．
点本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的
评： 交、并、补运算是常用方法．
2．（5分）（2014?辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，
则z=（ ）

A．2 +3i B．2 ﹣3i C． 3+2i D．3 ﹣2i
考复数代数形式的乘除运算．
点：
专数系的扩充和复数．
题：
分
把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式
析： 的除法运算化简，则z可求．
解解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
答：
∴z=2+3i．
故选：A．
点本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
评：
3．（5分）（2014?辽宁）已知a=
（ ）

，b=log，c=log
2
，则
A．a ＞b＞c B．a ＞c＞b C． c＞a＞b D．c ＞b＞a
考对数的运算性质．
点：
专计算题；综合题．
题：
分利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质
析： 得到b＜0，c＞1，则答案可求．
解
解：∵0＜a=
22
＜2=1，
0
b=log＜log1=0，
答：
c=log=log3＞log2=1，
22
∴c＞a＞b．
故选：C．
点本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较
评： 两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起
到事半功倍的效果，是基础题．
4 ．（5分）（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示
平面，下列说法正确的是（ ）


A．若 m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若 m⊥α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
空间中直线与直线之间的位置关系． 考
点：
专空间位置关系与距离．
题：
分A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判
析： 断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置
即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
解解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A
答： 错；
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错．
故选B．
点本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的
评： 平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关
键，注意观察空间的直线与平面的模型． 5．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：
若?=0，?=0，则?=0； 命题q：若∥，∥，则∥，
则下列命题中真命题是（ ）

A．p ∨q B．p ∧q C． （￢p）∧（￢D．p ∨（￢q）
q）
考复合命题的真假；平行向量与共线向量．
点：
专简易逻辑．
题：
分根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复
析： 合命题之间的关系即可得到结论．
解解：若?=0，?=0，则?=?，即（﹣）?=0，则
答： ?=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）
都为假命题，
故选：A．
点本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念
评： 和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．
6．（5分）（2014?辽宁）6把椅子排成一排 ，3人随机就座，任
何两人不相邻的坐法种数为（ ）

A．1 44 B．1 20 C． 72 D．2 4
考计数原理的应用．
点：
专应用题；排列组合．
题：
分
使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，
析： 即全排 ，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须
先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置 与3
号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人
的左右共4个空挡，随便摆放即可 ，即有种办法．根据
分步计数原理可得结论．
解
解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有
答： 种，即全排，6种；第 二步，由于三个人必须隔开，因此
必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置
与 3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三
个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办
法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
点本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插
评： 入椅子是关键．
7．（5分）（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何
体的体积为（ ）

A．8 ﹣2π B．8 ﹣π C．
8

﹣
D．
8

﹣
考由三视图求面积、体积．
点：
专计算题；空间位置关系与距离．
题：
分
几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的
析： 棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与
圆柱的体积公式计算．
解
解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
答： 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V=2﹣2××π×1×2=8﹣π．
32
故选：B．
点本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几
评： 何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．（5分）（2014?辽宁）设等差数列{a} 的公差为d，若数列{
n
}
为递减数列，则（ ）

A．d ＜0 B．d ＞0 C． ad＜0
1
D．a d＞0
1
考数列的函数特性．
点：
专函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
题：
分
由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出
析：
即可．
解解：∵等差数列{a}的公差为d，∴a﹣a=d，
nn+1n
答：
又数列{2
∴
1
}为递减数列，
＜1， =
∴ad＜0．
故选：C．
点本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函
评： 数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
9．（5分）（2014?辽宁）将函数y= 3sin（2x+）的图象向右平
移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）

[，
A．
在区间

]上单调递减
B．
在区间[，

]上单调递
增

[﹣，]上单调递
D．
在区间[﹣，]上单调
C．
在区间

减 递增
考函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
点：
专三角函数的图像与性质．
题：
分直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解
析： 析式，然后利用复合函数的单 调性的求法求出函数的增区
间，取k=0即可得到函数在区间[，
答案可求．
解
解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
]上单调递增，则
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）
答：
+]．
即y=3sin（2x﹣
当函数递增时，由
．
取k=0，得．
]上单调递增．
）．
，得
∴所得图象对应的函数在区间[，
故选：B．
点本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求
评： 法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档
题．
10．（5分）（2014?辽宁 ）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y=2px
2
的准线上，过点A的直线与C在第一象限相 切于点B，记C的焦
点为F，则直线BF的斜率为（ ）

A．

B．

C．

D．

考直线与圆锥曲线的关系．
点：
专圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线
析： 方程，写出第一象限的抛 物线方程，设出切点，并求导，
得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出
方程 求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．
解解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y=2px的准线上，
2
答： 即准线方程为：x=﹣2，
∴p＞0，=﹣2即p=4，
2
∴抛物线C：y=8x ，在第一象限的方程为y=2
设切点B（m，n），则n=2
又导数y′=2
∴即m< br>，
，
，则在切点处的斜率为
=2m
舍去），
，
，
解得=2（
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为
故选D．
点
，
本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物
评： 线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．
11．（5分）（2014?辽宁）当x∈[﹣2 ，1]时，不等式ax﹣
3
x+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
2

A．[ ﹣5，﹣3] B．
[

﹣6，﹣]
C． [﹣6，﹣2] D．[ ﹣4，﹣3]
函数恒成立问题；其他不等式的解法． 考
点：
专综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
题：
分分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出
析： 参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数
最值，注意最后要对a取交集．
解解：当x=0时，不等式ax﹣x+4x+3≥0对任意a∈R恒成
32
答： 立；
当0＜x≤1时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≥
32
，
=﹣令f（x）=，则f′（x）=
（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
max
当﹣2≤x＜0时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≤
32
， 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）
单调递减，当﹣1＜x＜0时， f′（x）＞0，f（x）单调递
增，
f（x）=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
min
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的
取值范围是[﹣6，﹣2 ]．
故选：C．
点本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类
评： 与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交
集；若按照参数讨论则取并集．
12．（5分）（2014?辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满
足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣
y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的
最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

考函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
点：
专综合题；函数的性质及应用．
题：
分
依题意，构造函数f（x）=
析：
（0＜k＜），分
x∈[0， ]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，
]，且y∈[，1]；及当x∈[， 1]，且y∈[，1]时，四类情
况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）| ＜
恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．
解解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜
答：
， < br>依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜
），满足f（0）=f（1）=0，|f（x） ﹣f（y）|＜|x﹣y|．
当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx ﹣
ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；
当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（ x）﹣f（y）|=|kx﹣（k
﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；
当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）
|＜；
当x ∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）
﹣（k﹣ky）|=k|x ﹣y|≤k×（1﹣）=＜；
综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，
∴m≥，即m的最小值为．
故选：B．
点本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类
评： 讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考
查分析、推理及运算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作
答．
13．（5分）（2014?辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，
则输出y= ．
考程序框图．
点：
专计算题；算法和程序框图．
题：
分根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件|y﹣x|＜1，
析：计算输出 y的值．
解
解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4
答：＞ 1；
第二次循环x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；
第三次循环x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，
满足条件|y﹣x|＜1，跳出循环，输出y=．
故答案为：．
点本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运
评： 行程序是解答此类问题的常用方法．
14．（5分）（2014?辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1， ﹣1），B
（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x和
2
y=x上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则
2
质点落在图中阴影区域的 概率是
考几何概型．
点：
专概率与统计．
题：
．
分利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用
析：面积比即可得到结论．
解解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，
答：1 ），
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴 影部分的
面积S=2
1+）]=2×=，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概
率是．
=2=2[（1﹣）﹣（﹣
故答案为：．
点本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影
评： 部分的面积是解决本题的关键．
15．（5分）（2014?辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的 焦
点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的
中点在C上，则|AN|+ |BN|= 12 ．
考椭圆的简单性质．
点：
专圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出
析：|AN|+|BN| 的值．
解
解：如图：MN的中点为Q，易得
答：∵Q 在椭圆C上，∴|QF|+|QF|=2a=6，
12
，，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．
点本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本
评：知识的考查．
16 ．（5分）（2014?辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a
﹣2ab+4b﹣c=0且使| 2a+b|最大时，﹣+的最小值为 ﹣
2
2
2 ．
考基本不等式．
点