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2015年辽宁省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={ ﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A
∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（5分）根据如图给出的2004年至20 13年我国二氧化硫年排放量（单位：万
吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分）已知等比数列 {a
n
}满足a
1
=3，a
1
+a
3
+a
5
=21，则a
3
+a
5
+a
7
=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log
2
12）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）一个正方体被一个平 面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截
去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2 ），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，
则|MN|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算 术》中的“更相
减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知A， B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，
若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中 点，点P沿着边
BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函 数
f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三< br>角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，
当 x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是
（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪
（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 ．
15 ．（5分）（a+x）（1+x）
4
的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则
a= ．
16．（5分）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
=﹣1，a
n+1
=S
n+1
S
n
，则S
n
= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）△ABC中，D是BC上的 点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积
的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
18．（12分）某公司为了解用 户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调
查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶 图比较两
地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
满意度等级
低于70分
不满意
70分到89分
满意
不低于90分
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高 于B地区用户的满意度等级”，假设两
地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率 作为相应事件
发生的概率，求C的概率．
19．（12分）如图，长方体 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB= 16，BC=10，AA
1
=8，点E，F分
别在A
1
B
1
，D
1
C
1
上，A
1
E=D
1
F =4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线
围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆 C：9x
2
+y
2
=m
2
（m＞0），直线l不过原点O且 不平行于坐标
轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m）， 延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四
边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明 理由．
21．（12分）设函数f（x）=e
mx
+x
2
﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2） 若对于任意x
1
，x
2
∈[﹣1，1]，都有|f（x
1
） ﹣f（x
2
）|≤e﹣1，求m的取
值范围．
四、选做题.选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形A BC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，
N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中 ，曲线C
1
：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以
O为极点，x轴正半轴为 极轴的极坐标系中，曲线C
2
：ρ=2sinθ，C
3
：ρ=2cosθ．< br>
（1）求C
2
与C
3
交点的直角坐标；
（2）若C
1
与C
2
相交于点A，C
1
与C
3相交于点B，求|AB|的最大值．
选修4-5：不等式选讲
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
2015年辽宁省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={ ﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A
∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：A．
2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2
【解答】解：因为（2+ai）（a ﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a﹣4）i=﹣4i，
4a=0，并且a
2
﹣4=﹣4，
所以a=0；
故选：B．
3．（5分）根据如图给出的2004年至201 3年我国二氧化硫年排放量（单位：万
吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解答】解：A从图中明显 看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排
放量明显减少，且减少的最多，故A正确；< br>
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，< br>故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D
4．（5分）已知等比数列{a
n
}满足a
1
=3，a
1
+a
3
+a
5
=2 1，则a
3
+a
5
+a
7
=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【解答】解：∵a
1
= 3，a
1
+a
3
+a
5
=21，
∴，
∴q
4
+q
2
+1=7，
∴q
4
+q
2
﹣6=0，
∴q
2
=2，
∴a
3
+a
5
+ a
7
==3×（2+4+8）=42．
故选：B
5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log
2
12）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：函数f（x）=，
即有f（﹣2）=1+log
2
（2+2）=1+2=3，
f（log
2
12）==2×=12×=6，
则有f（﹣2）+f（log
2
12）=3+6=9．
故选C．
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如图，则截
去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱
锥，
∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，
∴剩余部分体积为1﹣=，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
故选：D．
7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于 M，N两点，
则|MN|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
【解答】解：设圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x
2
+y
2
﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y
2
+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴|MN|=4．
故选：C．
8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相
减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选：B．
9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上 的动点，
若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【解答】解：如图所示，当 点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC
的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC
=V
C﹣AOB
===36，故R=6，则球O的表面
积为4 πR
2
=144π，
故选C．
10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边
BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数
f（x），则 y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，
此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，
如图所示，tan∠POB=tan（π ﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，
∴OQ=﹣，
∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，
∴PA+PB=，
当x=时，PA+PB=2，
当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
11．（5分）已知A，B 为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三
角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a，a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
12．（5分） 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，
当x＞0时，xf′（x） ﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是
（ ）
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