蓄势待发的意思：三角形五心定律

2020年11月23日发(作者：俞庆棠)
垂 心
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高线的交点
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清，

重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞
瓦定理的特例。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐 标的算术平均，即其坐标为
((X1+X2+X3)3,(Y1+Y2+Y3)3)；空间直角坐标系— —横坐标：(X1+X2+X3)3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)3
竖坐标：（z1+z2+z3）3
5、三角形内到三边距离之积最大的点
内心
内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角 平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平
分两条切线的夹角（原理：角平 分线上点到角两边距离相等）。
内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1p,l2p,l3p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
希望对你有帮助！三角形五心定律
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的 五心。三角形五心定律指是三角形
重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。

一、三角形重心定律
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心 。三中线交于一点可用燕尾定理
证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三 角形薄片，其重心
恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点 组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的
长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶 点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)3，
（Y1+Y2+Y3）3)。

二、三角形外心定律
三角形的三条边的垂直平分线交于一点。此点为该三角形外 接圆的圆心，叫做三角形的外心。
注意到外心到三角形的三个顶点距离相等。结合垂直平分线定义，此结 论其实极好证。
外心的性质：
1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A
为钝角）。
3、当三角形为锐角三角 形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角
形外部；当三角形为直角三角形时，外 心与斜边中点重合。
4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角 形三个顶点连向另
外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c 1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)2c，
(c1+c3)2c，(c1+c2)2c )。

三、三角形垂心定律
三角形的三条高（所在直线）交于一点。该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、 重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧
拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定律证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求
证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定律成立！

四、三角形内心定律
三角形的三条内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心，即三角形 内切圆的圆心。注意
到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定律其实极易证。
性质：
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1p,l2p,l3p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

五、三角形旁心定律
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的 旁切圆（与三角形的
一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做旁心。
性质：
每个三角形都有三个旁心。
它到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的 一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分
线的交点。一个三角形有三个旁心，而且 一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂
心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
(9)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
下面是更为详细的性质:
1:垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质 ：设△ABC的
三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有 三组(每组四个)相似的直角三角形，且
AH·HD=BH·HE=CH·HF。
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一
垂心组)。
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 ABAP·tanB+
ACAQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质7 设O，H分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=
∠HCA。
性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角
形的边上)中，以垂足 三角形的周长最短。
2:内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：
性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。
性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A，类似地还有两式；反之亦然。
性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要
条件是ID= DB=DC。
性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC 、AB上的射影分别为D、E、
F；内切圆半径为r，令p= (12)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABCa+b+c ；
(3) AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。
性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；
反 之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交 BC于K,交△ABC的外
接圆于D，则 AIKI =ADDI =DIDK = (b+c)a。
3:外心
三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.外心有如下一系列优美性质：
性质1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离
相等，反之亦然。
性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。
性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc4S
△。
性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则
ABAP ·sin2B+ ACAQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。
性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4:重心
性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、
F ，则当Q与G重合时QD·QE·QF最大；反之亦然。
性质2 设G为△ABC的重心，AG、 BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S
△BGD=S△CGE；反之亦 然。
性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (13)S△ABC；反之亦然。