专升本数学真题完整版2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析

2020年11月23日发(作者：黄圣依)

2012年湖北省高考数学试卷（理科）


一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的

2
+6x+13=0的一个根是（ 湖北）方程x） 1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i



，∈Q”的否定是（ “?x∈CQ） 2．（2012?湖北）命题
R0




，?CQQ
Q ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C
R0R0RR00

3．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为






） （


． ． C AD． B．
4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（ ）











． D．6π ． B．3π AC

2012
+a能被13整除，则a=（ ） 51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5． A．0 B．1 C．11
D．12



222222
，则=（） x=10， +y+zax+by+cz=20=40， azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且
+b+c




CBA ． ． ． ．D

1


}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012? 湖北）定义在
（﹣∞，0）∪
nn
）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞ ）上的如下函数：f仍是等比数
列，则称（x）为“保等比数列函数”
．则其中是“保等比数列 函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；

x2
）=ln|x|）
④f（x=x D．②④ B．③④ C．①③ ． A①②
内随机为直 径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，
分别以OA， OB8． ）取一点，则此点取自阴影部分的概率是
（










． D﹣ A．1C﹣ B．．

2
）在区间[0，4]上的零点个数为（ 湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx
7 ．5 C．6 D． A．4 B 曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》
中“开立圆术”
（10．
“开立圆术”相当于给出了

．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，
已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（ 些类似的近似公式．根据
x=3.14159…..




≈≈ C．d．≈ Dd A．d≈ B．d
分．请将答案5分，共25二、填空题：（ 一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需
作答5小题，每小题 填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ，
则角 _______ __C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北 ）
设ABC的内角AB，C
_________ ．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=
12．




位回2等．显然，3443，942492213．（2012? 湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的
正整数．如，，11 999，．则：191，202 ，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，
119文数有个： _________ 位回文数有个； Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有 _________
个．
+


2



， ，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点
为，B14
11122
D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B ，C，．则：
2112221
；
（Ⅰ）双曲线的离心率 _________e=

（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值= _________ ．
212211




二、 填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置
将你所选的 题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，点D在⊙O的弦AB上移 动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则
CD的最大值为
_________ ．





16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：


< br>在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲
线 _________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 （t为参数）相较于A，B
75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共




（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos

λ?+）f（x=，设函数cos，
ω﹣sinω，sinω），
（λπ∈（xR）的 图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈ ）的最小正周期；f

，1）
（1）求函数（x

，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（

上的取值范围．
18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
n
（1）求等差数列{a}
的通项公式；
n
3

项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若
n213
，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（ 19．2012?
湖北）如图 ，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△ 的体积 最大；A﹣BCD（1）
当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M 分别为棱BC，AC
的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时， 所成角的大小．与平面BMN并求EN




20．（201 2?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如
下表：
X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900
工期延误天数Y 0
2
6
10
历年气象资料表明， 该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，
求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

22
=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A 是单位圆
x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）． 当点A
在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率 为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影
为点N，直线QN交曲线C于 另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若
存在，求m的值；若不存在，请说明 理由．


r
+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1 ．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数
（x）﹣x）的最小值；

b1b2
≤ab+aab； a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下 命题：设a0，a0，，bb=1，
则
222121121112
（III）请将（I I）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：
当α为正有理数时，有求r1
﹣
αα
．α道公式（x）=x

4




2012年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分 ，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．（2012?湖北）
考点：复数相等的充要条件。
专题：计算题。


2
，知=﹣3±2i，由此能求出结果． 中，△=36﹣52=﹣16＜分析：由方程x0+6x+13=0
2
解答：
解：∵方程x中，+6x+13=0 ＜△=36﹣52=﹣160，

∴=﹣3±2i，故选A．
点评：本题考查在复数范围内求一元二次方程的解，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．（2012?湖北）
考点：命题的否定。
专题：应用题。
分析：根据特称命题“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即 可
得到答
案．


，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，?x∈CQ 解答：解：∵命题“
R0

”的否定是?x?Q

x∴“?，Q∈CQQ，
∈C∈
R00R
故选D
点评：本题考查 的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“?x∈A，p（A）”
的否定是“?x∈A ，非p（A）”，是解答本题的关键．

3．（2012?湖北）
考点：定积分在求面积中的应用。
专题：计算题。
分析：先根据函数的图象求 出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运
算法则求出所求．
解答：解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）

2
+1 x=﹣从而可知二次函数y=f（x）





（）=1（﹣+1∴它与X轴所围图形的面积为=）故选B．

= ﹣）﹣（
点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是求出被积函数，属于基础题．
4．（2012?湖北）
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
解答：解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图


所求几何体的体积为： ．π=3 故选B．
5



点评：本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力． ?
湖北）．（20125 考点：二项式定理的应用。 专题：计算题。
20122012的展开式中的项+a﹣1由二
项式定理可知51）+a=（52分析：

2012
13能被整除，只要要使得能51a+1+a能被13含有因数52， 的范围可求整除，结合已知
a
20122012
+a ﹣151）+a=（52解答：解：∵




+a
…=++
故能被
2012
13 ≤a≤0要使得能51+a能被13整除，且a∈Z，a+1=13

52由于整除含有因数52，
则可得a=12
∴D
故选 13的倍数是解答本题的关键．点评：本题考查的知识点是整除的定义，其中根据已知条件
确定a+1是 湖北）6．（2012? 考点：一般形式的柯西不等式。 专题：综合题。 分析：根据所
给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即
可．





（x，+ycz+z（a）≥）（ax+

2222222
解答：解：由柯西不等式得，+b+cby+）

时等号成立当且仅当
222222
a∵ ，=40，x+y，+z+bax+by+cz=20+c=10 等号成立∴

∴


=∴ C．故选积和“点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的 平方，
因此，当欲证不等式的一边视为 ”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．“结构”或平
方和结构
湖北）?（7．2012
6

考点：等比关系的确定。
专题：综合题。


根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论． 分析：
，解：由等比数列性质知

解答：

2
，故正确；①（a=f）
n+1

（a=f）≠②
n+1

2
，故不正确；

2
（=③a=f，故正确；
n+1

）
（|f（④fa）（a）=ln|a|ln|a
n+1nn+2n+2n
故选C

2
≠a）=f，故不正确；
点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正 确运算，理解新定义是解题的关键．
8．（2012?湖北）
考点：几何概型。
专题：计算题。
分析：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，这样就可以求出弧OC与 弦OC围成的弓形的面积，
从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去 两个半圆的面积，
加上两个弧OC围成的面积的2倍就是阴影部分的面积，最后根据几何概型的概率公式 解之即可．
解答：解：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，半径为r


2
πSr=
OAB
扇形



2
rπ=S=π
OAC
半圆




2
r××== S
ODC△



22
r=π S﹣r﹣S=S
ODC△OACOC
半圆弧


22
πr﹣r两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为





2222
=r ）﹣r图中阴影部分的面积为πr﹣2×πr+2π
（


﹣=1∴ 此点取自阴影部分的概率是故选
A．



点评：本题主要考查 了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转
化为几个不规则的图形的面积的 和或差的计算，属于中档题．
9．（2012?湖北）
考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系。

7

专题：计算题。

2
在区间[0，4]x）=xcosx上的零令函数值为 0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而
可得函数f（分析：点个数

2
=0 或cosx）=0，可得x=0解：令解答：f（x

2
x或∴x=0=，k∈Z
∵x∈[0，4]
∴k=0，1，2，3，4
∴方程共有6个解

2
=xcosxx）函数f（∴在区间[0，4]上的零点个数为6个
故选C
点评：本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题
10．（2012?湖北）
考点：进行简单的演绎推理。
专题：计算题。


根据球的体 积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出分析：π，将四个选项逐一代入，求
出最接近真实值的那 一个即
可．





= 设选项中的常数为V=，解得，则d=解答：解：由π


==3； ；选项B代入得π选项A代入得π=3.375=


==3.142857
代入得=π=3.14；选项选项C代入得πD由于D的值最接近π的真实值
故选D．
点评：本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．
< br>二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，
共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（2012?湖北）
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分 析：利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求< br>得角B．

222
+2ab=ab a﹣+bc）a+b﹣c（a+b+c） =ab可得解：由已知条件（解答：
222
=﹣﹣c即a+bab



= cosC=由余弦定理得：

π，所以．C=B又因为0＜＜

故答案为：点评：本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础
题目．

12．（2012?湖北）
考点：循环结构。
专题：计算题。

8

分析：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．
解答：解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，
第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，
输出S=9．
故答案为：9．
点评：本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键，考查计算能力．

13．（2012?湖北）
考点：计数原理的应用。
专题：计算题。 分析：（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注
意 最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；
（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位回文数的个数
+
解答：解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一 步，
选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有9×10=90个
故答案为 90
（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；

n
种选法，10=10
n
个
×10×…×n、n+1个数字，共有 10×10、第二步，分别选左边第2、34、…、
10 ）位回文数有9×故2n+1（n∈N
+n
10故答案为9×点评：本题主要考查了分步计数 原理
的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题

14．（2012?湖北）
考点：圆锥曲线的综合。
专题：综合题。