高等数学第三版上册2012年四川高考数学试题及答案(理科)

2020年11月23日发(作者：黄霑)
2012年四川高考数学试题及答案（理科）

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中

表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在
在一次试验中发生的概率是
恰好发生
，那么
次的概率 其中


表示球的半径 次独立重复试验中事件
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、
A、
的展开式中的系数是（ ）
C、 D、 B、
2、复数（ ）
C、 D、 A、 B、
3、函数在处的极限是（ ）
C、等A、不存在 B、等于
于 D、等于
4、如图，正方形
（ ）
的边长为，延长至，使，连接、，则
A、 B、 C、 D、
5、函数

的图象可能是（ ）

A B C D
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设
A、
、都是非零向量，下列四个条件中，使
B、 C、
成立的充分条件是（ ）
D、
，并且经过点
且
。若点

8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点 在坐标原点
，则到该抛物线焦点的距离为
A、
（ ）
C、 D、
原料1千克、

原料2
B、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗
千克；生产乙产品1桶需耗 原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300
、元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产 这两种产品的计划中，要求每天消耗
原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、 乙两种产品中，
公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10 、如图，半径为
平面
点
内，过点
，过圆
的半球
作平面
的底面圆在
的垂线交半球面于
作平面成角的
的距
的直径
平面与半球 面相交，所得交线上到平面
离最大的点为
（ ）
，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为
A、
11、方程
B、
中的
C、
，且
D、
互不相同，在所有这些方
程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数
则
，
（ ）
是公差为的等差数列，，
A、 B、 C、 D、
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先
用 铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集，集合
___________。
，，则
14、如图，在正方 体
的中点，则异面直线
____________。
中，
与
、分别 是、
所成角的大小是
15、椭圆
周长最大时，
16、记
的左焦点为， 直线与椭圆相交于点、，当的
的面积是____________。
的最大整数，例如，，， 。设为为不超过实数
正整数，数列
①当
②对数列
③当
满足
时 ，数列
，
的前3项依次为5,3,2；
，当时总有
，现有下列命题：
都存在正整数
时，
，若
；
；
，则。 ④对某个正整数
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、 解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和 ，系统和在任
意时刻发生故障的概率分别为和。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量
。
，求的概率分
布列及数学期望
18、(本小题满分12分)
函数
的图象如图所示，
形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
为图象的最高点 ，、为图象与轴的交点，且
在一个周期内
为正三角
（Ⅱ）若，且，求的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥
，
。
（Ⅰ）求直线
（Ⅱ）求二面角

20、(本小题满分12分) 已知数列
都成立。
（Ⅰ）求，的值；
的前项和为，且对一切正整数
与平面所成角的大小；
的大小。
中，
，平面
，
平面
（Ⅱ）设
最大值。
，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的

21、(本小题满分12分)
如图，动点
，且
（Ⅰ）求轨迹
（Ⅱ）设直线
的方程；
与 轴交于点，与轨迹相
到两定点
，设动点
、
的轨迹为
构成
。
交于点

，且，求的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知为正实数，
为该抛物线在点
为自然数，抛物线
处的切线在
；
轴上的截距。
与轴正半轴相交于点，设
（Ⅰ）用和表示
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当

时，比较与的大小，并说明理由。
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C
7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13.
14.
15. 3


16. ①③④
三、解答题
17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期
望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。
解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件，那么

解得…………………………………………………………………………4分
（II）由题意，



所以，随机变量
0
的概率分布列为
2 3 1





故随机变量的数学期望：