中环杯数学北师大版八年级下册数学期中考试试题含答案

2020年11月23日发(作者：闻家驷)
北师大版八年级下册数学期中考试试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＞﹣3b C．﹣a＜﹣b D．
2．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标
为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
3．把不等式x+1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A．
C．


B．
D．



4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5
C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2
5．随着人们生活水平的提 高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，
是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（ ）
cm
A．6 B．8 C． D．5
7．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．m﹣1 C．m D．2 m+1
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ C，AB＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC
于点E，△BEC的周长为13，则BC＝ （ ）

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A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3 ，AB＝6，则
AC长是（ ）

A．7 B．6 C．5 D．4
10．若关于x、y的二元一次方程组
A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4
的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（ ）
D．a＜4
11．如图，正方形 OABC的两边分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，
以C为中心，把△CDB旋转90° ，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
12．如图，直线y＝ ﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），
则关于x的不等式﹣x +2≥ax+b的解集为（ ）

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A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
二、填空题（本题共8道小题，每题2分，共16分）
13．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是________
14．如图，∠ AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为______
< br>15．如图，点P为等边△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
如果AP＝2，那么PP′＝____________．

16．如图，△ABC中，A B＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE
的周长为24，则AD 的长为_________．

17．已知关于x的不等式x﹣a＜0的只有三个正整数解，那么a的取值范围是______
18．如图，在△ABC中，点D.E分别在 边上，AB＝AC，BE＝BC，AE＝DE＝DB，
那么∠A＝_______度．

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19．在RtABC中，∠C＝90°，AC＝BC ＝（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转
60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B 的长为________．

20．已知△ABC中，BC＝6，的垂直平分线分别交边BC 于点M、N，若MN＝2，
则△AMN的周长是_______
三.解答题（本题共7道小题 ，第21题5分，第22题10分，第23题6分，第24题6
分，第25题6分，第26题6分，第2 7题9分，共48分）
21．解不等式




22．因式分解
（1）ax2﹣4ay2
（2）x3﹣8x2+16x





23．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（小 方格是边长1个单位长度的正方
形）．

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，并将解集在数轴上表示出来．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2，使得△ABC和△A2B2C2关于原点O中心对称．


24．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DF⊥AC 于F．线段AB
上一点E，且DE＝DC．证明：BE＝CF．

25．阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数A.b，
若ab＞0，则a和b同号，即：
若ab＜0，则a和b异号，即：
（2）分析： 对不等式（x+1）（x﹣2）＞0来说，把（x+1）和（x﹣2）看成两个数a和b，
所以按照上述 原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ）
所以不等式（x+1）（x﹣2）＞0的求解就转化求解不等式组（I）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式x2﹣x﹣12＞0



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26．某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载< br>客量和租金如表．

载客量（座/辆）
租金（元/辆）
甲种客车
60
550
乙种客车
45
450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表
达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费
用是多少 元？
27．几何探究题
（1）发现：在平面内，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．
当点A在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为_________；
当点A在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为______-． （2）应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以为边，作等边△ABD和等
边△ACE，连 接．
①证明：CD＝BE；
②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最大值为________．
（3）拓展：如图 4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，
0），点P为线AB外一动点 ，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长
的最大值及此时点P的坐标．



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参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＞﹣3b C．﹣a＜﹣b D．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等 号的方
向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或
除 以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解答】解：A.a＞b两边都﹣2可得a﹣2＜b﹣2，错误；
B.a＞b两边都乘以﹣3可得﹣3a＜﹣3b，错误；
C.a＞b两边都乘以﹣1可得﹣a＜﹣b，正确；
D.a＞b两边都除以2可得＞，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以 ）同
一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果
是负 数，不等号的方向必须改变．
2．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标
为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
【分 析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（1
﹣2，3﹣4），进 而可得答案．
【解答】解：将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点
B的坐标为（1﹣2，3﹣4），
即（﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．把不等式x+1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A．

B．
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C． D．
【分析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，x≥﹣1，
故此不等式的解集为：x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：B． < br>【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是
解答此题的 关键．
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5
C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2
【分析】分解因式就是把一 个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右
的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确 定．
【解答】解：A和B都不是积的形式，应排除；
C中，结果中的因式都应是整式，应排除．
D.x2+4x+4＝（x+2）2，正确．
故选：D．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5 ．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，
是中心对称图形的 是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项正确；

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B.不是中心对称图形，故本选项错误；
C.不是中心对称图形，故本选项错误；
D.不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称 图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形
旋转180度后与原图形重合．
6．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（ ）
cm
A．6 B．8 C． D．5
【分析】利用三角形的内角和和角的比求出 三边的比，再由最小边BC＝4cm，即可求出
最长边AB的长．
【解答】解：设∠A＝x，
则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°
解得x＝30°
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°
此三角形为直角三角形
故AB＝2BC＝2×4＝8cm
故选：B．
【点评】本题很简单，考查的是直角 三角形的性质，即在直角三角形中30°的角所对的
边等于斜边的一半．
7．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．m﹣1 C．m D．2 m+1
【分析】直接提取公因式（m+1）进而合并同类项得出即可．
【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m+1）
＝（m+1）（m﹣1+1）
＝m（m+1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．

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8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，AB＝8，AB的垂直平分线DE 交AB于点D，交AC
于点E，△BEC的周长为13，则BC＝（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到E A＝EB，根
据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠C，AB＝8，
∴AC＝AB＝8，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+BE+CE＝13，
∴BC+EA+EC＝13，即BC+AC＝13，
∴BC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角 形的性质，掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．如 图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则
AC长是（ ）

A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】先求出△ABD的 面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的
两边的距离相等可得AC边上的高，从而 得解．
【解答】解：∵DE＝3，AB＝6，

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∴△ABD的面积为
∵S△ABC＝15，
，
∴△ADC的面积＝15﹣9＝6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴AC边上的高＝DE＝3，
∴AC＝6×2÷3＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的
关键．
10．若关于x、y的二元一次方程组
A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4
的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（ ）
D．a＜4
【分析】将方程组中两方程相加，表示出x+y，代入x+y＜2中，即可求出a的范围．
【解答】解：，
， ①+②得：4x+4y＝a+4，即x+y＝
∵x+y＝
∴a＜4．
故选：D．
＜2，
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x+y是解本 题
的关键．
11．如图，正方形OABC的两边分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边A B上，
以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10）

B．（﹣2，0）
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C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
12．如 图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），
则关于x 的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）

A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
【分析】函数y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3， ﹣1），求
不等式﹣x+2≥ax+b的解集，就是看函数在什么范围内y＝﹣x+2的图象对应的点在 函数y
＝ax+b的图象上面．
【解答】解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象 对应的点在函数y＝ax+b的图象
上面，
∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决 此类
问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
二、填空题（本题共8道小题，每题2分，共16分）

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13．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是 x﹣1 ．
【分析】分别利用公式法分解因式，进而得出公因式．
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】此题主要考查了公因式，正确分解因式是解题关键．
14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 2 ．

【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP＝∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分 线定理
得到PE＝PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平
分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP＝∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，
利用三 角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边
等于斜边的一 半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，

∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．

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