炽痛：(完整版)椭圆焦半径公式的证明和应用

2020年11月23日发(作者：卫觐)
椭圆焦半径公式的证明及巧用
2008年08月31日 星期日 21:56
命题：
证明：

说明：

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。
一、用于求离心率
例
分析：
所以，
所以。

二、用于求椭圆离心率的取值范围
例
分析：


由得

故，即，又。
所以。
三、用于求焦半径的取值范围
例
分析：
所以。
四、用于求两焦半径之积
例
分析：


由
为。
知，所以的最小值为，最大值
五、用于求三角形的面积
例
分析：
。
由余弦定理得
解得
。
所以

六、用于求点的坐标
例
分析：
及得
，
解得
所以。
七、用于证明定值问题
例
分析：
化简得
所以为定值。
八、用于求角的大小
例

分析：
所以

所以。
九、用于求线段的比。
例
分析：
由两式相减并化简得
。
所以
。
所以
。
令，则，故
所以，
所以。

如图 设的坐标为
，
，
列得

，椭圆与双曲线的离心率分别为
，消 去
。不妨设
，即
，由
得
，则
成等差数
。 易知易知
的最值不妨设为椭圆的左焦点，而
，则。故
。 设的坐标为，则 如图，连， 则
，由焦半径公式得
若椭圆的焦点在轴上，则有
到两焦点
）、
的距离
（或
，即。
。我们把椭圆上的点
称为焦半径，而（或
）称为焦半径 公式。如图1，
椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得
，化简即得1如图
的两个焦 点，以线段为直径的圆交椭圆于
为椭圆
四点，顺次连结这
。2已知四点和两个焦点，恰 好围成一个正六边形，则离心率
为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使
，求离心率的取值范围。 3若是椭圆上的点，
为椭圆的焦点，求
右焦点，
的取值范围。4若
为椭圆上任 意一点，求
为椭圆
的最值。5 若
的左、
是
椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求
的面积S。 。6 若为椭圆上的点，为椭圆
的焦点，且，则的横坐标为_________。 由，
，7已知< br>为椭圆的顶点，F为焦点，若
为椭圆上两点，
成等差数列，求证：
为定值。 ，8 如图3，设椭圆与双曲线
有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆
的左焦点作与长轴不垂直 的弦的垂直平分线交轴于，
则。4，设的坐标分别为，AB的中点为
，则。AB的垂直平行线方程为N的坐标为

若椭圆的焦点为