苟利社稷：三角形全等(双垂直型)

2020年11月23日发(作者：余克缙)
三角形全等—垂直型
1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC上 的中线，过C作CF⊥AE，
垂足为F点，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D点．
⑴求证：AE=CD；
⑵若AB=2
2
cm，求线段BD的长



2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥ AB，垂足为E，
过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
⑴证明：△BDF是等腰直角三角形．
⑵猜想线段AD与CF之间的关系并证明．




3.直线CD经过∠BCA顶点C，CA=CB．E，F分别是直线C D上两点，且∠BEC=∠
CFA=∠α．
⑴若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请填空：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF |BE-AF|
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，
使①中的结论仍然成立，并证明．





⑵如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条
线段数量关 系的合理猜想 （不要求证明）．
4.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．
⑴试猜想AE与GC有怎样的数量及位置关系： ，
⑵将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接
AE和GC．你认为⑴中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请
说明理由．








5.如图1， 已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正
方形DEFG，使点A、 C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
⑴试猜想线段BG和AE的数量关系是
⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断⑴中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取 最大值时，请画出正方形DEFG旋转后的图形，并且求AF
的值．










B
C
A
6.已知如图1，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，AP交对角线BD于点E，
过点B 作BQ⊥AP于G点，交对角线AC于F，交边CD于Q点．
⑴小聪在研究图形时发现，当P点在运动时，总有BP与CQ相等，你知道其中的
理由吗？ < br>⑵小明在研究过程中连接PF，提出猜想：在点P运动过程中，是否存在∠APB=
∠CPF？若 存在，点P应满足何条件并说明理由；若不存在，为什么？






0
7.如图，在四边形OGPH中，OG=OH，∠GOP=∠GPH=90°，
若OP=
2
，则四边形OGPH的面积等于
G
H


P
8.已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE．
⑴如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
⑵如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG=OH；②连接OP，若AP=4，OP=
2
，求AB的长．