数学小题狂练研究性学习参考课题

2020年11月23日发(作者：施履吉)
研究性学习参考课题
(2003年下学期 ) 数学科组

可供学生选择的七类作业：
第一，阅读一本数学科普读物或学习参考书。培养学生的自学能力。
第二，发现并找出数学学习 参考书中的三处非印刷性错误，指出错误的所在并予以更正。
目的是培养学生不轻信的独立思考意识和批 判性思维能力。
第三，空间想像能力、动手能力是学生的弱项，因此我设计了动手制作的作业：利 用立
体几何的展开图的知识，用纸制作模型或工艺品。
第四，采集生活中的数学问题并试着解决它。帮助学生找回失落的应用意识。
第五，写一篇数学小论文。为学生提供的参考选题有：
对一种数学思想方法的认识或应用、数学 应用的小发现、小研究、小成果、解题中的发
现或我的小窍门，以自己名字命名的定理以及它的证明和应 用，谈谈数学某一部分内容的
学法和教法，解题失误谈等等。
第六，让学生利用掌握的数 学知识，自编三个数学小综合题。并要求写出题目、题解、
设计意图、易落入的陷阱和得意之处。
第七，学用计算机自编一个程序，解决某学科的一个问题。

参考课题

1、 十字路口的红、绿、黄灯的时间比是多少才合适？
2、 几颗通信卫星可以使其的信号覆盖整个地球？
3、 一笔款子怎样存可以获得较多的利息？
4、 大宾馆的多部电梯当客流较大时，怎样设计运行方案才合理？
5、 用尺规画一个跳棋的棋盘。
6、 调查某商店各种尺码的鞋的不同进货量和相应的销售量。


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这个问题可以让学生体验统计规律的作用。相应比较深入的思考和动手问题可以 这样设计：让
学生随便找几本英文字典，数一数以a，b，c，…，x，y，z为首的单词各占字典的多 少页，看一看它们各
占该书总页数的百分比。从而发现字母频率稳定性的规律。也可以把这种想法用于汉 字中的最常用字，引
导学生观察各种打字键盘的设计，使学生了解键盘设计中用到的统计学的知识。
7、 观察城市的汽车牌照，由牌照的号码设计来估计本城市汽车的最大容量。
8、 为自己居住地的邮递员设计一条合理的投递路线。
初中学生对一笔画的知识比较熟悉，利用它可以设计出较短的投递路线。
9、 收集各种商品的商标图案，看一看它们是由哪些基本图形组成的。自己试
着设计几个商标的图案。
10、 按一定比例尺绘制所在学校的校园平面图。
11、 调查银行现行利率，如果 每月把a元钱存入银行，毕业时使用，让学生
设计一种存款的方式，使得到期所获得的利息较多。
12、 尽可能选择比较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高。
13、 如果家中正在装修，有一些形状相同的四边形地板块，能否用它来铺地
板？若能，给出拼装的方案；若不 能，请说明原因。
14、 外出旅游时，可设计一种方法，测量所乘坐的汽车、火车的行驶速度。
15、 生活中常常会遇到一些成卷的物品，如磁带、纸卷、轴线、毛线团等等，
用什么办法 测量或计算出它们的长度？
16、 在地图上怎样测算两城市间铁路和公路的实际长度？怎样利用自行车来
测量从家到学校的实际距离？
17、 各种型号复印纸和各种开本书的尺寸设计。
常用的复印纸的型号有A4、A3、 B4、B5等等，一天，某复印服务部贴出
广告：本部承接超大型工程图纸复印业务，规格可达A1、B 1大小。让学生根据
手边的几种常见的复印纸的大小，推算出A1及B1型号复印纸的大小。
18、…………
附 录: 下面是1990年北大附中推荐去北京市参评的学生数学小论 文的题目及要点。其中张昱的论文《一
个数学难题的物理模型证法》获北京市论文一等奖，王哲的《利用 小型计算机计算无理数π的改进程序设
计》获二等奖。

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(1)《一个数学难题的物理模型证法》(张昱)
该文成功地用物理模型的方法， 借助电学定律解决了一个著名的数学难题，并对原题结
论做了推广。这个问题是：在一个无限大的方格表 中，每格内填入一个区间〔0，1〕上的
实数，使得每格所填的数都恰好是该格四周邻格内四个数的算术 平均值，求证各格内所填之
数相等。

+a
j,j+1
+a
i-1,f
二元数组a
ij
≥ 0 (i,j∈z), a
0,0
= 1,且对任何i,j∈z,有 a
ij
=1/4(a
i+1,f
+a
i,f-1
)，那么 a
i,f
与1应当任意接近。
(2)《利用小型计算机计算无理数π的改进程序设计》(王哲)
该文利用自己设计的算式π = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)，使计算π的速度得以提高，
作者选 用的C语言，并在小型计算机VAX-8550上通过了程序。只用4分30秒的CPU时
间，成功地印 出了π的小数点后1000位的精确值。后来，又改进了程序，使完成同样任务
只用8秒钟。
(3)《空间n边形的边中，互相垂直的边有多少对?》(施前)
这是组合几何中尚未得到的 研究成果。设m表示互相垂直的边对的数目。n,k∈N,n为空
间多边形的边数。论文得出了
n=3时，m=1；
n=4时，m=4；
n=5时，m=7；
n=3k(k≥2,k∈N)时，m=3k
2

n=3k+1(k≥2,k∈N)时，m=k(3k+2)；
n=3k+2(k≥2,k∈N)时，m=3k
2
+4k+1.

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(4)《多项式最高公因式的新算法》(夏煜)
本文对辗转相除法进行了推 广，使之易于编程序。作者首选定义了“多项式数阵”的概
念，并且规定了对多项式数阵的五种运算；提 出了两个对“标准数阵”的变形定理，进而将

(5)《桥牌中的概率问题》(朱志明)
一手牌(13张)都是同花色的概率容易计算。但是 一手牌最大可能的结果是什么形式?这一
个问题连最优秀的桥牌选手都未必能回答出。另一个问题是：如 果知道了两个人手中某一指
定的花色的牌的数目，如何推算出其余牌在对方的两个人手中的分布?再一个 问题是：如果
知道了自己手中某花色的牌数，如何推算出自己同伴手中该花色最大可能的数目。本文给出
了上述问题的准确回答。
(6)《抛物线内隐含图形的探讨》(孙伟栋)
给定的抛物线，当旋转坐标轴时，抛物线中的某些基本线段(如过焦点的正焦弦)会形成“隐
图形”、该 文运用微积分知识，结合解析几何的方法得出了类似星形线的隐含图形，指出了
该“隐图形”的较一般的 规律。
(7)《三角形中边不等式证明方法的改进》(王志宏)
本文以熟 知的结论：“a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b”为基础，通过拼、接、组合，推出了许多
三角形边 的不等式，成功地解决了某些数学竞赛中的问题。是几何不等式中的一个贡献。

（附页中有作业与调查报告样本）







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附页一
为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线，
为小区设计一个合理的保安巡逻路线
刘焓


初一年级数学 研究性学习（3）：初一（4）班 姓名：刘焓
课题：为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线，为小区设计一个合理的保
安巡逻路线。
过程1：对你要研究的小区，进行观察，收集必要的数据和信息，（如平面
图，楼的门洞的朝向，道路情 况，小区的进出口位置等）。
过程2：复习必要的知识，如一笔画方法，最短邮路的画法等。
过程3：画出小区的平面示意图，（最好复印一下，以避免后面画坏时重画），
在图上完成 邮政投递路线的设计，（使邮递员走的路线最短）。
创新项目1：为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首先思考“合理”的含
义
实践项目1 ：按你设计的路线，实际走一遍，测算出路程。再让一个按投递
要求随意地走一遍，看一看相差多少？（ 记录数据）。
课题研究报告
初一年级4班 完成时间2001年11月25日
姓名：刘焓 本小组还有成员：夏惠东，洪畅，杨晨
我们研究的小区是：中关村东南小区

5
我们设计的最佳的邮政投递路线是

请见图上用笔画的即是。
选做项目：我们保安巡逻路线是：

6

请见图上用笔画的即是。
选做项目：我们的工作的测量数据：
我们的 投递路线约500米，而一通路约需620米，按我们的路线可少走120米。我们的巡逻路线约
240 米。
选做：用简短语言，描述你在工作中的感受
我在工作中感到很愉快，我认为这种研究 对我们的益处非常多，它可以让我们把学过的知识转到实际
生活来运用，可以让我们更灵巧地运用这些知 识。
注：本平面图只是大概的模式，并不都是事实。○为门。



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附页二
为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线，
为小区设计一个合理的保安巡逻路线
魏潇


初一年级数学 研究性学习（3）：初一（4）班 姓名：魏潇
课题：为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线，为小区设计一个合理的保安巡逻路线。
过程1：对你要研究的小区,进行观察,收集必要的数据和信息，(如平面图，楼的门洞的朝向，道路情
况，小区的进出口位置等)。
过程2：复习必要的知识，如一笔画方法，最短邮路的画法等。
过程3：画出小区的平面示意图，（最好复印一下，以避免后面画坏时重画），在图上完成邮政投递
路线的设计，（使邮递员走的路线最短）。
创新项目1：为小区设计一个合理的保安巡逻路线。首先思考“合理”的含义
实践项目1 ：按你设计的路线，实际走一遍，测算出路程。再让一个按投递要求随意地走一遍，看一
看相差多少？（ 记录数据）。
课题研究报告
姓名：魏潇 本小组还有成员：夏惠东，洪畅，杨晨
我们研究的小区是：
海淀区展春园小区三区
我们设计的最佳的邮政投递路线是（可以另外附图）

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选做项目：我们保安巡逻路线是：


从大门往里走，在不各的差口向内张 望，从6号楼前过，左转，经过居委会的办公室和医院经过，走
2号楼，幼儿园间，右转，原路返回。
选做项目：我们的工作的测量数据：
选做：用简短语言，描述你在工作中的感受

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附页三
学会用一个软件画函数图象，直观地研究函数的变化趋势
王明天 陆程遂

课题：学会用一个软件画函数图象，直观地研究函数的变化趋势：
问题1：怎样在计算机上画出下面函数的图象？
y=sinx, y=cosx, y=tgx y=ctgx, y=secx, y=cscx x∈[-2π，2π]。
如有可能打印出你的图象。
问题2：，，，这里a, b, c大于1的正常数，这3类函数谁当x→+∞
时增长的更快些？请通过给出一些，a, b, c的具体数值在计算机上画出图象直观观察，形成你的猜想。
附录1：可以画函数图角的常用软件：excel，几何画板，mathcad，
附录2：用excel作图的程序：
（1）以数据区选定一列做自变量x，可以用数列填充法灌入数据。
（2）在数据区选定一列做函数值列，用函数窗口选定适当的函数f(x)，用拖带填充的方法把数据填入。
（3）点击“插入”选“图表”，在选“折线”一步一步做下去，按提示做即可。

课题研究报告
课题名称：
小组成员姓
名
研究的简要
过程和方法
研究函数的变化趋势，用软件画图像
王明天 陆程遂
用excel软件画出各种函数图像加以研究

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初步结 论
（写明所得
结论的性
质，如由实
验观察得
到、狂想、
已证 、能证、
待证、已构
造出、已找
到实例等
等）

课题的延伸
或拓广
初步结论
（写明所得
结论的性
质，如 由实
验观察得
到、猜想、
已证、能证、
待证、已构
造出、已找
到实例等
等）








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