数学教学评析向量的研究性学习

2020年11月23日发(作者：颜峄)

研究背景



向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理 量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德 就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析 几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常 重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力 工具. 向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的 体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何 的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何 ．



本课题的研究内容

本课题主要是对向量法在有关平面问题 中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：



1、向量在建立平面 方程中的应用.

2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.

3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.

4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用.

5、向量在平面其它方面的应 用.







平面向量在解析几何题目所起的作用 ：

1.平面向量关系式给出线线间的位置关系。

2.平面向量关系式给出数 量关系。

3.利用向量思想解决解析几何的问题。

4.更好的运用数形结合思 想解题



不论是关于椭圆,双曲线 还是抛物线的题目;都可以用向量来探寻解 题思路,用向量解决解析几何题,最理想的情形是题中有“垂直”,其中“垂直”可以在结论中,也可以在条件中 ,此时用向量的优越性非常明显地体现在:两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”的内在含义淋漓尽致地体现在 一个等式中,从而有效地回避了解析几何中错综复杂的位置关系的演化而转为纯粹的运算,其实只要看向量是时, 所涉及的向量易于用坐标表示就足够了,即便是一般角也未尝不可,甚至有关距离的题目,也都可用高中阶段所学 的向量知识去考虑,重要的是在学习中时刻树立应用向量的意识，争取早日使向量成为处理几何问题的基本工具< br>


说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因 此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是： 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关解析几何的问题

转化为向量问 题。三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关 系，向量法解决共线问题更简单明了。



例1．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P的轨迹一定过 的 （ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心



分析：因为 、 分别是与 、 同向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则知 是与 的角平分线（射线）同向的一个向量，又知 ，知点P的轨迹是 的角平分线，从而一定过 的内心。



例2．已知椭圆，直线 ，P是 上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足 ,当点P在 上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么？





点评 ：该题是全国高考题，该题实质是向量共线的应用，设出Q点坐标利用共线得P和R的坐标用向量 的关系找到 的关系，再利用点P在直线上，点Q在椭圆上找到 关系，从而使问题得到解决。


< br>









已知椭圆，椭圆 C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。

（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程。



解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1 有相同的离心率

∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为

∴b=2，a=4

∴椭圆C2的方程为；

（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB ，yB），

∵

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上

∴设AB的方程为y=kx

将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，
< br>∴

将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，

∴
< br>∵，

∴=4，

∴，解得k=±1，

∴AB的方程为y =±x。