数学复杂公式北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)

2020年11月23日发(作者：顾炳鑫)
高中数学高考综合复习 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）
众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考 命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以 下两个问题：
（1）条件或目标的等价转化；

（2）对于交点坐标的适当处理。

本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。

一、条件或目标的认知与转化
解题的过程是一系列转化的过程。从某种意 义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的
基础是认知——认知已知、目标的 本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟
化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题 是两类基本问题。因此，由直
线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问 题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就
熟，胜券在握。

（1）向弦中点问题转化
例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率 ，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为

（1）求双曲线方程；
（2）若直线
的取值范围。

略解：
（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m
（1）所求双曲线方程为

（过程略）
（2）由 消去y得：
由题意知，当
设
时，
中点

①
则C、D均在以A为圆为的同一圆上
又
1

∴ ②
于是由②得
由②代入①得
③
，解得m<0或m>4 ④
于是综合③、④得所求m的范围为

（2）向弦长问题转化

例2．设F是椭圆
（1）求点P的轨迹C
2
的方程；
的左焦点，M是C
1
上任一点，P是线段FM上的点，且满足
（2）过F作直 线l与C
1
交于A、D两点，与C
2
交点B、C两点，四点依A、B、C、D 顺序排列，求使
成立的直线l 的方程。

分析：为避免由代换 引发的复杂运算，寻觅替代 的等价条件：设弦AD、BC的中点分

别为O
1
、O
2
，则，故
与弦中点问题。

略解：
，据此得 于是，所给问题便转化为弦长
椭圆C
1
的中心 点P分 所成的比λ=2。
（1）点P的轨迹C
2
的方程为

（2）设直线l的方程为

①代入椭圆C
1
的方程得
（过程略）
①

，
故有


2
故弦AD中点O
1
坐标为

①代入椭圆C
2
的方程得
②
，
又有
故弦BC中点O
2
坐标为
③
∴由②、③得 ④
注意到
于是将②、③、④代入⑤并化简得：
⑤

由此解得 。
因此，所求直线l的方程为

2．化繁为简
解析几何是用代数计算的方法解 决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途
径明朗，但目标难以靠 近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，
往往在 于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。

（1）借助投影
对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题， 当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定
比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点 向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成
比例定理推理或转化，这一手法往 往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。

例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线
P
2
上取一点Q，使

、 、
于P
1
、P
2
两点，在线段P
1
、
的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。
3

解：设
又设直线l的方程为 ①
①代入 得
由题意得
或 ②
且 ③
又由题意得 ④
作P
1
、Q、P
2
在直线y=-1上的投影P
1
′、Q′、P
2
′（如图）
又令直线l的倾斜角为 则由 得
∴
同理，
∴将上述三式代入④得
⑤
∴将③代入⑤得
∴ ⑥
∴将⑥代入①得
⑦
于是由⑥、⑦消去参数k得
4

⑧


再注意到②式，由⑥得 或 ⑨
因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为


（2）避重就轻
事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物 之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会
为我们侧面迂回、避重就轻带来机 会。

例4．已知 点P、Q在椭圆
离。

分析：这里 需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还
是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双 重属性，
想到避开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐 标。

解（避重就轻，解而不设）：设
则由 得
①

上，椭圆中心为O，且 ， 求椭圆中心O到弦PQ的距

（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程
则直线OQ的方程为 ②
将①代入椭圆方程 易得
∴ ③
将②代入椭圆方程 易得
∴ ④
∴由③、④得
又在 中作 于H，于是由
⑤
及⑤式得



5
=
∴


（2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得 ，从而有 。
于是由（1）（2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为

。
直线与圆锥曲线 相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材中关于曲线交点的
定位， 直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。于是，在宏观上围绕着“解”与“设” 的选择，
产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。在这里，“设”是举手之劳，问 题在于，在一个具体问题中，
“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。

二、求解交点坐标的“度”的把握
个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：
1、半心半意，解至中途
从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个 体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称
式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程 组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至
利用上述结果解决问题。

例1.设斜率为2的直线与抛物线 相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使
，求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。

解：设 直线AB的方程为 。
由
由题意 ①
由韦达定理得
∴
②
③
6

再设AB中点为 ，则有 ，

注意到四边形ABCD为矩形，故有 ，且 ，
由此得
由（4）得

⑥
⑥代入（5）得
化简得 ⑦
再注意到①中
∴
，由（5）得
⑧
因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹方程为


。
点评：本例是“ 立足于一条直线与曲线相交”的问题。这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种
题型：
（1）问题由一直线与曲线相交引出；

（2）问题中虽然出现多 条直线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构
建在某一条直 线与曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。这里的“解”，是解直< br>线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运用韦达定理，因此，此类问题的解 题三部曲为
（1）全心全意地设出交点坐标；

（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；

（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。

2、真心实意，求解到底
当目标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个 体时，则需要真心实意地将求解交点坐标
7

进行到底。

例2.正方形ABCD的中心为M（3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为< br>线l，若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。

解：由题意设抛物线E的方程为 ，
的直
直线l的方程为 。
又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k，
则由
∴直线AM、BM的方程分别为
再设
则由 得 ①
又点A、B在抛物线E上，故有
②
③
于是由①、②、③解得 。
故得A（4，2）、B（1，1）、
因此可知，所求抛物线E的方程为
所求直线l方程为

。

；
点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直 线的出现没有确定的顺序或依赖关系，
各条直线之间具有相对独立性。对此，我们仍然运用对交点坐标“ 既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与
曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交 点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途运用
8

韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：
（1）全心全意地设出交点坐标；

（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；

（3）利用（2）的结果追求既定目标。

三、求解交点坐标的转换与回避
解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的
祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交点坐标）便尽 量转换，能回
避正面求解（交点坐标）便尽量回避。

1、设而不解
这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其 中，
用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。

例1．设椭圆 的上半 部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵
坐标与椭圆的半焦距相等 ，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。

分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜 率由点A、C同名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式
表出。由此想到对交点坐标“设而 不解”，并借助焦点半径公式求解。

解：设 ，弦AC中点M(x
0
,y
0
)。
由已知椭圆方程得
又运用椭圆第二定义可得 ，

∴由题设条件得
而 ∴

①
②
上， 此时，注意到点A、C在椭圆
故有

③—④得
∴②代入得
③
④
⑤

9