数学敏感期三角函数研究性学习

2020年11月23日发(作者：凤洲)
研究性学习


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开题报告
三角学的起源与发展
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际
导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角
形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形 的边和角的关
系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学
是天文学的一部份 ，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为
主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角 形，
且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具

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一、课题提出的背景
运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能
力，也是新课程标准对学生能力的基本要求。九年级下册锐角三
角函数内容不仅是初中数学教学的重点， 而且是培养学生运用能
力的理想材料，锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学
思想，通 过测量，工程技术等问题，转化为解直角三角形的应用
题和数学活动，有助于培养学生的空间想象能力和 运用数学的能
力，更好地培养学生理论和实践相结合的意识。学生在学习本部
分内容时，对概念 的形成难以理解，更不能把实际问题抽象成数
学模型，造成对实际问题的解决无所适从，学生作业练习中 更出
现严重错误，利用数学知识解决实际问题的能力欠缺，导致学生
对数学学习没有乐趣和积极 性，因此，本人把锐角三角函数解决
实际问题作为课题进行研究，培养学生数学运用能力。
二、所要解决的主要问题
1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。
2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。
3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。
4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对实际问
题的探索充满乐趣。

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三、课题的理论价值和实践意义
理论价值：本课题的研究有助于学生 养成利用数学知识解决现实
问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知
识的 实际意义，培养学生良好的数学意识。
实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基
本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。
四、研究内容
1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。
2、通过锐角三角函数概念的学习，探索学生经历概念的形成过程。
3、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数
形结合的思想方法。
4、通过一定量的实际问题，培养学生对实物的观察，画出数学图
形，培养学生空间想象能力。
5、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，
寻求多样化的解题方法，培 养学生的创新意识。



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研究报告
两角和与差的三角函数〃典型例题分析
例
1 化简下列式子：
(1)sin100°sin(-160°)+cos200°cos(-280°)
(2)cos(15°-A)·sec15°-sin(165°+A)·csc15°
分析 (1)本题中四个角都不相同，初看起来不能利用公式，如果先利用
诱导公式将角度化为小于90°的角 ，就会发现其内在关系．

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(2)由于两角和或差的三角函数公式中没 有关于两割的函数的式子，
因此，应首先将原式化为含有两弦函数的式子．
解：(1)原式=-sin80°·sin20°-cos20°cos80°
=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)
=-cos(80°-20°)
=-cos60°
=4sinA
评注 (1)(2)两题共同特点是：不能直接用两角和与差的三角函数公式，
但通过基本的三角变换(化负角 为正角、化大角为小角、化切割为弦)之后，
公式的特征已显现出来．所以，在解题分析时不仅要掌握基 本公式，还应
掌握一些更基本、更常用的方法． cosβ的值．
求sin2α的值．
分析 (1)已知α的范围及tgα的值，由同角三角函数关系式可求sinα和
cosα的 值，同理可求得α+β的正弦，再用已知角α及α+β来表示未知
角β后利用两角差余弦公式求得． < br>(2)此题思路与(1)相同，不同的是在应用同角三角函数关系式求某一角的
三角函数值时需认 真分析α+β和α-β的范围．最后应用的是两角和的正
弦公式求sin2α．
因此cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

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同理，cos（α＋β）＝-4/5
于是sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
评注 对于此 类问题，如果直接利用公式将cos(α+β)，cos(α-β)sin(α
+β)展开为单角α、β 的三角函数形式组成方程组进行计算，则运算量很
大，所以，解决此类给值求值问题，主要是考查运用两 角和差公式进行三
角变换的能力．
例3 已知A、B、C为锐角，tgA=1，tgB=2，tgC=3，求A+B+C的
值．
分析 给出A、B、C的范围及正切值，求A+B+C时，首先必须确定A+B+C
的范围，然后求出A+B+ C的某一三角函数值，由以上两方面写出A+B+C
的大小．在求A+B+C的正切值时，由于只有两角 和的正切公式，所以必
须先求出A+B的正切值，然后再一次应用公式求A+B+C的正切值．
解：∵A、B、C为锐角，
∴0°＜A+B+C＜270°
又tgA=1，tgB=2，由公式可得：
故 A+B+C=π．
评注 给出三 角函数值求角时，必须先确定角的范围．通常情况下，角的范
围尽可能缩小到最小程度，以避免多余情形 的产生．

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