爱的教育主人公：(完整版)用圆锥曲线的焦半径解题

2020年11月23日发(作者：萧嵩)
用圆锥曲线的焦半径解题
圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径。凡是遇到圆 锥曲线
上的点到其焦点距离的有关问题，可考虑使用焦半径来处理。
一、利用椭圆的焦半径
若椭圆的两个焦点为、
。
是椭圆上任一
点，则该椭圆的焦半径
证明 ：椭圆相应的准线方程是和，由椭圆的第二定义，得
，整理，得

例1. 已知点P在椭圆
求的取值范围。
上，F
1
、F
2
为椭圆的 左右两个焦点，
解：设P点坐标为，因为P点在椭圆上，所以，故
根据焦半径公式有，，故
又因为，所以，即。
二、利用双曲线的焦半径
若双曲线的焦点坐标是
是双曲线上任一点，则该双曲线的焦半径
。
和
，
，
证明：双曲线的左右准线方程为和，根据双曲线的第二定义，得：
，整理，得

例2. 双曲线
求证：
的两个焦点分别为F
1
、F
2
、P为双曲线上的任意一点，
成等比数列。
证明：设等轴双曲线，所以
，则P到中心O的距离
，由双曲线的焦半径公式，得：
，又因为此双曲线为

从而
故成等比数列。
三、利用抛物线的焦半径
若抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，
则该抛物线的焦半径。
证明：由抛物线的准线为，根据抛物线的定义，得
。
例3. 已知抛物线
。
的一条焦点弦被焦点分成为m、n的两部分，求证：
证明：设焦点弦AB的方程为
。令
，将其代入抛物线
、
，有
，根据焦半径公式，得
，所以
。
故