26个英文字母表怎么读-虚伪的人的说说
用圆锥曲线的焦半径解题
圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径。凡是遇到圆 锥曲线
上的点到其焦点距离的有关问题,可考虑使用焦半径来处理。
一、利用椭圆的焦半径
若椭圆的两个焦点为、
。
是椭圆上任一
点,则该椭圆的焦半径
证明 :椭圆相应的准线方程是和,由椭圆的第二定义,得
,整理,得
例1. 已知点P在椭圆
求的取值范围。
上,F
1
、F
2
为椭圆的 左右两个焦点,
解:设P点坐标为,因为P点在椭圆上,所以,故
根据焦半径公式有,,故
又因为,所以,即。
二、利用双曲线的焦半径
若双曲线的焦点坐标是
是双曲线上任一点,则该双曲线的焦半径
。
和
,
,
证明:双曲线的左右准线方程为和,根据双曲线的第二定义,得:
,整理,得
例2. 双曲线
求证:
的两个焦点分别为F
1
、F
2
、P为双曲线上的任意一点,
成等比数列。
证明:设等轴双曲线,所以
,则P到中心O的距离
,由双曲线的焦半径公式,得:
,又因为此双曲线为
从而
故成等比数列。
三、利用抛物线的焦半径
若抛物线的焦点为是抛物线上任意一点,
则该抛物线的焦半径。
证明:由抛物线的准线为,根据抛物线的定义,得
。
例3. 已知抛物线
。
的一条焦点弦被焦点分成为m、n的两部分,求证:
证明:设焦点弦AB的方程为
。令
,将其代入抛物线
、
,有
,根据焦半径公式,得
,所以
。
故
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