八上数学课堂中考数学压轴题试题分析2012年苏州中考数学第29题：等腰直角三角形旋转、几个三角形相似推理、存在性问题

2020年11月23日发(作者：柴车)
2012年苏州中考数学试题第29题
29．(2012年苏州)如图，已知抛物线y=x﹣ （b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点
A、B（点A位于点B的左侧），与y 轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 （b，0） ，点C的坐标为 （0，） （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等 于2b，且△PBC是以点P为直角顶
点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在， 请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似
（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请 说明理由．
2






2

解：（1）（1）令y=0，即y=x﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），
b
令x= 0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），∴点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0， ）．
4
（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的 等腰直角三
1b1
角形．设点P坐标为（x,y），连接OP，则S
四边形
P COB
=S
△
PCO
+S
△
POB
= · · x + · b · y=2b ,∴x+4y=16,
242
过点P作PD⊥x轴，PE ⊥y轴，垂足分别为D、E．∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°，
∴四边形PEOD是矩形， ∴∠EPD=90°，∵△PCB是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，
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