闷雷读音：牛吃草问题概念及公式

2020年11月23日发(作者：甄荣辉)
牛吃草问题概念及公式
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科 学家牛顿提出来
的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，
草又是天天在 生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用
到四个基本公式，分别是︰
1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较 多天数－相应的牛头数×吃的较少天
数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法
从变化中找 到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀
速生长，所以每天新长出的草量 应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上
面的四个基本公式。
牛吃草问题经 常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有
每天新长出的草。由于吃草的牛头数不 同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而 求出每日新长草的数量，再求
出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1.(牛的头数×吃草较多的天数- 牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-
吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
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解多块草地的方法
多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这 样可以减
少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
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、







1
“牛吃草”问题分析
【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25
头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6 【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供
25头牛吃Y天
根据核心公式 代入
(200-150)(20-10)=5 10*20-5*20=100 100(25-5)=5(天）

例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35 【案】C
【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
根据核心公式代入 (20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30
(头）

【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧 场
的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35 【答案】D
【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧
草量为Y ，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛 、
根据核心公式： ，代入 ，因此 ，选择D
【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

【例4 】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台
抽水机排水，则用40分钟 能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。
问如果计划用10分钟将水排完，需要多少 台抽水机？ 、
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台 【答案】B
【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式

【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要 想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8
小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽 多少小时？【北京社招
2006】
A.16 B.20 C.24 D.28
【华图名师姚璐答案】C
2
【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时
有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式

【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，2 1只猴子可在12
周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变 ）、
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周 【答案】C
【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周
吃完
有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式

【例7】物美超市的收银台平均每小时有 60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小
时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一 个收银台，付款开始4小时
就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾 客排队
了【浙江2006】
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时 【璐答案】D
【解析】设共需X小时就无人排队了。
例题
1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,
当车站 放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10
分钟就把所有乘客OK 了 求增加人数的速度还有原来的人数
设一个检票口一分钟一个人
1个检票口30分钟30个人
2个检票口10分钟20个人
(30-20)÷(30-10)=0.5个人
原有1×30-30×0.5=15人
或2×10-10×0.5=15人
2、有三块草地，面积分别是5，15，24 亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛 吃45天，问第三块地可供
多少头牛吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
3
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝2
88份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草
就要够 吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总 草量为：10*305=60；每亩45天
的总草量为：28*4515=84那么每亩每天的新生长草 量为(84-60)(45-30)=1.6每亩原
有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原 有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为2
4*1.6*80=3072，24亩80天 共有草量3072+288=3360，所有336080=42(头)
解法二：10头牛30天吃5 亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃
15木，可以推出15亩每天新长草量 (2 8×45-30×30)(45-30)=24；15亩原有草量：
1260-24×45=180；1 5亩80天所需牛18080+24(头)24亩需牛：
(18080+24)*(2415)=42头


草在以均匀的速度生长。四头牛一起吃，120天吃完；九头牛一起吃，45天吃 完；十六头牛
一起吃，多少天吃完？
是不是这种的？
我的解答：
24天
设
草生长速度v,牛吃草速度x,原有草y
列式如下
4*120x=v*120+y
9*45x=v*45+y
两式相减：
x=v
即一只牛吃草得速度和草增长得速度相同
所以求得y=360x
十六头牛一起吃，要吃n天
16*x*n=y+v*n=y+x*n
n*15x=360x
所以n=24,需要24天。
一片牧草，每天生长速度相 同，这片牧草可供27头牛吃6天，可供46头羊吃9天，如果一
头牛的吃草量是2只羊的吃草量，那么 11头牛和20只羊一起吃，可以吃几天？

最佳答案
牛吃草的关键就是要求出原来有多少草和每天会长多少草，这两个条件一定要求出来。
根据条件：一头牛的吃草量是2只羊的吃草量
可以设一只羊每天吃1份草，那么一头牛每天就是吃2份草
4
27×6×2=324 份
46×9×1=414 份
吃9天的比吃6天的多：414-324=90 份，也就是3天长了90份
90÷（9-6）=30 份…………每天长30份草
30×6=180份是6天总共长了1 80份，而上面求出6天总共吃了324份，除了长出来的，还
有吃的就是原来草地上就有的
324-180=144 份…………原来草地上有144份草
现在有11头牛和20只羊， 每天一共吃11×2+20×1=42份草，而每天又会长30份草。一共
有144份草，每天吃42份 张30份，假设每天先把长的吃掉，那么144份草，每天就会吃掉
42-30=12份，144÷12 =12天就会吃完，所以可以吃12天。

完整的过程是：
27×6×2=324 份 46×9×1=414 份 414-324=90 份
90÷（9-6）=30 份 30×6=180份 324-180=144 份
11×2+20×1=42份 42-30=12份
有一个牧场长 满早，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24
天。现有若干头牛吃草 ，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完。求原有牛的头
数。
最佳答案
解：设每头牛每天的吃草量为1
17头牛30天的吃草量为：17×30=510
19头牛24天的吃草量为：19×24=456
两种吃法的草量差一定是新生的草的一部分 ，这部分新生的草对应的时间是两种吃法所用的
时间差。
每天新生的草量：（510-456）÷（30-24）=9
原有草量：510-9×30=240
经过6+2=8天之后，牧场上原有和新生的草的总量是：240+9×8=312
吃草8天的牛共吃的草量：312-4×6=288
共有吃8天草的牛：288÷8=36（头）
加上4头死亡的牛，一共有牛：36+4=40（头）

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