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40英里:阿基米德螺线讲解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-23 15:42
tags:阿基米德螺旋线公式

莫等闲的意思-步骤的英文

2020年11月23日发(作者:席上锦)
浅谈阿基米德螺线


摘要:
本文从生活中有趣的自然现象出发 ,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方
程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德 螺线定义的不同
观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:
阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言 很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光
呢?这要从它的祖先谈起 。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火
光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指 引飞行。由于太阳、月亮、星星
距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞 蛾直线
飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,
如果 光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习
惯飞行,飞出的路线就不是直 线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如
图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿 基米德螺线就是既作匀速转
动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在 作
匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终
走出的轨迹就 是阿基米德螺线(如图3)。


1.阿基米德螺线简介
1.1阿基米德简介及螺线的发现
阿基米德 Archimedes(约公元前287~前2 12),古希腊伟大的数学家、力学
家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时 去埃及,到当时
世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯
农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年,阿 基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开
始了对科学的全面探索,在物理学、数学等 领域取得了举世瞩目的成果,成为古
希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他 和牛顿、高
斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
据说,阿基米德螺线最初是由 阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现
的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质, 因而这种螺线就以阿
基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程
1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义
阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一 些围着某些定点或轴旋转且
不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿 基
米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等
角速度绕点 O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。
这种螺线的每条臂的距离永 远相等于2πa。
1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处
当我们在纸上用笔沿着一盘阿 基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快
或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率 ” ﹑“等角速度”
感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你
动我动,你快我快, 你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”
两种运动的“等速度”,而“等速度”决不 能等同“同步”!因为“同步”容许速
度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。
在螺 旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转
一周时,沿直线方向移动的距离。 “螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:
螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S360度(角度制)或 ix=S2π(弧度制);
任意回转角度下,动点相应运动的直线距离 (L)等于该回转角度与“旋比”的
乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = a
θ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为
常数,一周永远等 于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永
远相等于 2πa。根据螺距永远相等 的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”
或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程
极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。 该坐标系统中的点由一个
夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)
的距离来表示
阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)
式中:
b—阿基米德螺旋线系数,mm°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量;
θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;
a—当θ=0°时的极径,mm。
改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有
两条螺线,一 条θ>0,另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条
翻转 90°270°得到其镜像,就是另一条螺线。
在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:
极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐
标值

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐


在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π2radians);若y为负,则θ= 270°
(3π2radians).

1.4阿基米德螺线的画法
1.4.1阿基米德螺线的几何画法
以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射 线OA;作一点P于射线OA上;模拟
点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆 O、射线OA&点P;即
可得到螺线(如图4)
1.4.2阿基米德螺线的简单画法
有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,
在其游离端绑上一小环, 把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔
拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由 线轴松开的线的轨迹,就得到
了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线
2.1自然界中的多种多样的螺线
在浩瀚的自然界中 ,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门
中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺 ,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科
中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大 多数螺
类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花
等缠绕的 茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽
在盘中排列形成的曲线;甚至构成 生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生
物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中 的双螺旋结构。其中,自
然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因
拟螺线之所以在生命体中广泛存在, 是由于螺线的若干优良性质所确定。而
这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。 由于在柱面内
过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物
而 言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至
关重要的。而在各种曲线中 ,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的
空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用 尤为重要,像烟草等植物轮
状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最 大
的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像
弹簧一样具有 弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触
须利用这个性质,能使其牢固地附着 其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,
由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并 且当外力(或风)消失
后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软< br>体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,
壳体直径粗大的 部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着
壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的 部分直到螺尖。水速将大大减小,这样
位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的 作用下,壳体
将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动
力 。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,
也分散了作用在壳体上的水 压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用
3.1最初的应用:螺旋扬水器 < br>为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,
后人称它为“阿基米德 螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺
旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管 子),把它倾斜放置,下端浸入
水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样 ,就可
以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”
扬水机至 今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵
阿基米德螺旋泵的工 作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身
的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于 是形成泵的密封腔室。螺杆每转
一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺 旋形方式
从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体
的机械 ,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳
定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征
将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯 视,会观察到的蚊香平
面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如
图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际
上是单 盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA
曲线上,接近点的一段(图中以 OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在
形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则 具有这样的特征:曲线PA E
任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与 点O的直线距离
(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。< br>用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:
△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)
式(1)中,k和C均为恒定常数,若以 点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的
极轴,可以将式(1)转移为:
φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)
式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角 。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外
侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。
需要说明 的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,
由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有 统一固定的形状,所以无法对其作出确切的
描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形 状对蚊香香条长度
的影响事实上也可以忽略不计。

结论:
通过对阿基米 德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解
更加深入。阿基米德应用理论解决实践 问题的思想让我们明白学以致用的重要
性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理, 只有不断发掘,
我们才能获得新知。

参考文献:
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参考网站:
维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

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