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2011 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共
8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数
A ． 2+i B． 2﹣ i C．﹣ 1+2i
【专题】 数系的扩充和复数．
【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数
的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．
=（
）
D ．﹣ 1﹣ 2i
【考点】 复数代数形式的乘除运算．
【解答】 解：复数
故选 B．
=
=
=2 ﹣ i
【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的
原理也比较简单，是一个送分题目．
2
2
2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x， y∈R，则 “x≥2 且 y≥2”是 “x +y ≥4”的（
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】 简易逻辑．
2
2
）
2
2
【分析】 由“x≥2 且 y≥2”推出 “x
+y ≥4”可证明充分性；由满足
“x +y ≥4”可举出反例推翻 “x≥2
且 y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．
【解答】 解：若 x≥2 且 y≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以
2
2
2
2
2
2
若 x
+y
≥4，则如（﹣
2，﹣ 2）满足条件，但不满足
2
2
22
x +y ≥8，即 x +y
≥4；
x≥2 且 y≥2．
所以 “x≥2 且 y≥2”是 “x
+y ≥4”的充分而不必要条件．
故选 A．
【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．
3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出
i 的值为（
）
1
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】 程序框图．
【专题】 算法和程序框图．
【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】 解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到
经第二次循环得到
经第三次循环得到
经第四次循环得到
故选 B
【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．
i=1 ， a=2；
i=2 ， a=5；
i=3 ， a=16；
i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出
4
4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知
n
*
S
n
为 {a
n
} 的前 n 项和， n∈N ，则 S
10
的值为（
{a } 为等差数列，其公差为﹣
2，且 a
7
是
a
3
与
a
9
的等比中项，
）
A ．﹣ 110
B．﹣ 90 C ．90
D ．110
【考点】 等差数列的前
n 项和；等比数列的性质．
【专题】 等差数列与等比数列．
【分析】 通过 a
7
是 a
3
与 a
9
的等比中项，公差为﹣
2，求出
【解答】 解： a
7
是 a
3
与 a
9
的等比中项，公差为﹣
2，所以 a
7
=a
3
?a
9
，
∵{a
n
} 公差为﹣ 2，
∴a
3
=a
7
﹣ 4d=a
7
+8， a
9
=a
7
+2d=a
7
﹣4，
2
2
所以 a
7
=（ a
7
+8）（ a
7
﹣ 4），所以 a
7
=8，所以 a
1
=20，
所以 S
10
=
故选 D
题型．
=110
【点评】 本题是基础题，考查等差数列的前
n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考
5．（ 5 分）（ 2011?天津）在
A ．
B ．
C．
的二项展开式中，
x
D ．
2
的系数为（
）
【考点】 二项式定理．
【专题】 二项式定理．
【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令
2
x
的系数，即得答案．
x 的指数为 2，求出展开式中，
r 2r
﹣
6
r 3
﹣
r
【解答】 解：展开式的通项为
令 3﹣ r=2 得 r=1
T
r+1
=（﹣ 1） 2
C
6
x
2
所以项展开式中，
x 的系数为﹣
故选 C
【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
2
6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在 △ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB=AD ，2AB=
BD ，
BC=2BD ，则 sinC 的值为（
A．
B．
C．
D．
）
【考点】 三角形中的几何计算．
【专题】 解三角形．
【分析】 根据题中条件，在 △ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正
弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在 △ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可
【解答】 解：设 AB=x ，由题意可得
AD=x ， BD=
△ABD 中，由余弦定理可得
∴ sinA=
△ABD 中，由正弦定理可得
? sin∠ ADB=
∴
△BDC 中，由正弦定理可得
故选： D．
【点评】 本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、
同角基本关系式等知
识解三角形的问题， 反复运用正弦定理、 余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识， 并能灵活选择
基本工具解决问题．
7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知
A ． a＞ b＞ c B ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b
D ．c＞ a＞ b
【考点】 指数函数的单调性与特殊点．
【专题】 函数的性质及应用．
，则（
）
3
【分析】 比较大小的方法：找 1 或者 0
做中介判断大小，
log
4
3.6＜ 1，log
2
3.4＞ 1，利用分数
指数幂的运算法则和对数的运算法则对
c 进行化简，得到
＞ 1＞
b，再借助于中间值 log
2
进行比较大小，从而得到结果．
，
【解答】 解：∵ log
2
3.4＞1， log
4
3.6＜ 1，
x
又 y=5 是增函数，
∴a＞ b，
＞
=
=b
而 log
2
3.4＞ log
2
∴a＞ c
故 a＞ c＞ b．
故选 C．
＞ log
3
，
【点评】 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，
中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
以及
8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数
“? ”：
．设函数 f
a 与 b，定义新运算
22
（x）=（x﹣ 2）? （ x﹣ x），x∈R．若函数 y=f （x）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则
实数 c 的取值范围是（
A ．
C．
）
B．
D ．
【考点】 函数与方程的综合运用．
【专题】 函数的性质及应用．
【分析】 根据定义的运算法则化简函数
（x）的取值范围，函数
y=f （ x）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为
象的交点问题，结合图象求得实数
【解答】 解：∵
22
f（ x） =（ x﹣2） ? （x﹣ x）的解析式，并求出 f
y=f （ x），y=c 图
c 的取值范围．
，
22
∴函数 f（ x）=（ x﹣ 2）? （ x﹣ x） =
，
由图可知，当 c∈
函数 f（ x） 与 y=c 的图象有两个公共点，
4
∴c 的取值范围是
，
故选 B．
【点评】 本题考查二次函数的图象特征、
基础题．
函数与方程的综合运用，
及数形结合的思想．
属于
二、填空题（共 6 小题，每小题
5 分，满分
30 分）
9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员
法从该队的全体运动员中抽取一个容量为
【考点】 分层抽样方法．
【专题】 概率与统计．
48 人，女运动员
36 人，若用分层抽样的方
12
．
21
的样本，则抽取男运动员的人数为
【分析】 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，
概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．
【解答】 解：∵田径队有男运动员
∴这支田径队共有
48+36=84 人，
48 人，女运动员
得到每个个体被抽到的
36 人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为
∴每个个体被抽到的概率是
∵田径队有男运动员
∴男运动员要抽取
21 的样本，
，
48 人，
48× =12 人，
故答案为： 12．
【点评】 本题考查分层抽样， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 这是解决这种问题的依
据，本题是一个基础题．
10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：
3
为 6+π m ．
m），则这个几何体的体积
5
【考点】 由三视图求面积、体积．
【专题】 立体几何．
【分析】 由已知中的三视图， 我们易判断已知中几何体的形状， 然后根据已知的三视图分析出
几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．
【解答】 解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体
其中上部的圆锥的底面直径为
下部的长方体长、宽高分别为：
2，高为 3，
2，3，1
则 V
圆锥
=
?π?3= π
V
长方体
=1 ×2×3=6
则 V=6+ π
故答案为： 6+π
【点评】 本题考查的知识是由三视图求体积，
解答本题的关键．
其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是
11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线
C 的参数方程为
2
2
2
（ t 为参数），若斜率为
1 的
直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（
x﹣ 4）
+y =r
（ r＞ 0）相切，则 r=
【考点】 直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．
【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．
【分析】 由抛物线 C 的参数方程为
．
我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率
2
2
2
为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）
+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与
圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关
于 r 的方程，解方程即可得到答案．
【解答】 解：∵抛物线
C 的参数方程为
2
则抛物线的标准方程为：
y =8x
则抛物线 C 的焦点的坐标为（
2， 0）
又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点
6
则直线的方程为
y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=0
2
2 2
由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则
r=
=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系， 抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中
根据直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径， 求出直线方程后， 代入点到直线距离公式，
构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．
12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦
AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上
一点，且 DF=CF=
， AF ： FB： BE=4 ： 2： 1．若 CE 与圆相切，则
CE 的长为
．
【考点】 圆的切线方程．
【专题】 直线与圆．
【分析】 设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出
CE．
【解答】 解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k ，即 k=
∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=
，
2
2
，
由切割定理得 CE =BE ?EA=
= ，
∴CE=
．
【点评】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，
常考题型．
13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合
A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，
B=
【考点】 交集及其运算．
【专题】 集合．
，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}
．
【分析】 求出集合 A ，求出集合 B，然后利用集合的运算法则求出
A ∩B ．
【解答】 解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；
集合
，
，
7
当且仅当 t=
时取等号，所以
B={x|x ≥﹣ 2} ，
所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，
故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．
【点评】 本题是基础题， 考查集合的基本运算，注意求出 绝对值不等式的解集，基本不等式
求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．
14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形
P 是腰 DC 上的动点，则
【考点】 向量的模．
【专题】 平面向量及应用．
ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，
的最小值为
5
．
【分析】 根据题意， 利用解析法求解，
以直线 DA ，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，
则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出
，根
据向量模的计算公式，即可求得
，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
【解答】 解：如图，以直线 DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，
则 A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，
0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）
则
=（2，﹣ b），
=（ 1， a﹣ b），
∴
=（ 5，3a﹣ 4b）
=
≥5．
∴
故答案为
5．
【点评】 此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，
活应用知识分析解决问题的能力．
三、解答题（共
6 小题，满分 80 分）
同时考查学生灵
15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数 f（ x） =tan（ 2x+
），
（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；
（2）设 α∈（ 0，
），若 f（
） =2cos2α，求 α的大小．
8
【考点】 正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；
义域．
【专题】 解三角形．
二倍角的余弦；正切函数的定
【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；
（Ⅱ）通过
，化简表达式，结合
α∈（ 0，
），求出 α的大小．
，k∈Z ．所以 f（ x）的定义域
【解答】 解：（Ⅰ）由 2x+
≠
+k π， k∈Z．所以 x≠
f （x）的最小正周期为：
得 tan（
）=2cos2α，
为：
．
（Ⅱ）由
整理得
因为 α∈（ 0，
），所
2
以 sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα） =
即 sin2α= 因为 α∈（ 0，
所以 α=
），
【点评】 本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、
式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．
正切函数公式， 同角三角函数的基本关系
16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有
箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于
原箱）
3 个白球、 2
个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个
2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回
（Ⅰ）求在
1 次游戏中，
（ii
）获奖的概率；
（i ）摸出 3
个白球的概率；
（Ⅱ）求在
2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．
离散型随机变量及其分布列．
【专题】 概率与统计．
【考点】离散型随机变量的期望与方差； 互斥事件与对立事件； 古典概型及其概率计算公式；
2
【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，
2
这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出
摸出 3 个白球事件数为
2
1
1
C
3
C
2
C
2
；由古典概型公式，代入数据得到结果，
2 个球，事件数是 C
5
C
3
，
白球，且它们互斥，根据（
（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个
i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算
9
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