基础数学本科2019年天津市高考数学试卷(理科)以及答案解析

2020年11月23日发(作者：裘克安)
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科数学
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码。答卷时，考 生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（ A∩C）
∪B＝（
A．{2}
）
B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{ 1，2，3，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）< br>A．2B．3
2
C．5
）
D．6
3．（5分）设x∈R，则“ x
﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（
A．充分而不必要条件
C．充要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
S的值为（）4．（5分）阅读如图的程序 框图，运行相应的程序，输出
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A．5
2
B．8C．24D ．29
﹣＝1（a＞0，b
5．（5分）已知抛物线y
＝4x的焦点为F，准线为l． 若l与双曲线
＞0）的两条渐近线分别交于点
率为（
A．
）
B．A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心
C．2
0.2
D．
）
6．（5分）已知a＝log
5
2，b＝log
0.5
0.2，c＝0.5
A．a＜c＜b
7．（5分）已知函数
B．a＜b＜c
，则a，b，c的大小关系为（
D．c＜a＜bC．b＜c＜a
f（x）＝Asin（ωx+φ ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）
g的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
（x）．若g（x）的最小正周期为
A．﹣2B．﹣
2倍（纵坐标不变），所得图象对 应的函数为
）＝
C．
，则f（）＝（
D．2
）2π，且g（
8．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0
在R上恒成立，则
A．[0，1]
二、填空题：本大题共
a的取值范围为（
B．[0，2]
6小 题，每小题
）
C．[0，e]
5分，共30分.
D．[1，e]
第2 页（共17页）
9．（5分）i是虚数单位，则|
10．（5分）（2x﹣
8
|的值为．
．
．若圆柱的一个底面
）
的展开式中的常数项为
11．（ 5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为
的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面 的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱
的体积为．
12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2 ＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值
为．
的最小值为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x +2y＝5，则
14．（5分）在四边形
CB的延长线上，且
三、解答题：本大题共< br>ABCD中，AD∥BC，AB＝2
AE＝BE，则?＝
，AD＝5，∠A＝30°，点 E在线段
．
.6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（ 13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
＝4asinC．
（Ⅰ）求cosB的 值；
（Ⅱ）求sin（2B+）的值．
a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB
16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙
两位同学 到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中
列和数学期望；
（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在
30之前到校的天数恰好多
7：30之前到校的天数比乙同学在7：
7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布
2”，求事件M发生的概率．
17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC
＝2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线
（Ⅲ）若二面角
CE与平面BDE所成角的正弦值；
E﹣BD﹣F的余弦 值为，求线段CF的长．
第3页（共17页）
18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的 左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴
长为4，离心率为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
．
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
N在y轴的负半轴上．若
M为直 线PB与x轴的交点，点
|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
a
1
＝4，b
1
＝6，b
2
＝2a
2
﹣ 2，b
3
＝
19．（14分）设{a
n
}是等差数列，{b
n
}是等比数列．已知
2a
3
+4．
（Ⅰ）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c
n
}满足c
1
＝1，c
n
＝其中k∈N．
*
（i）求数列{a（c
*< br>﹣1）}的通项公式；
（ii）求a
i
c
i
（n∈N）．x
20．（14分）设函数f（x）＝ecosx，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；
，2 nπ+）内的零点，其中n∈N，（Ⅲ）设x
n
为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ +
证明2nπ+﹣x
n
＜．
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2019年天津市高 考数学（理科）答案解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；
.
【解答】解：设集合 A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，
则A∩C＝{1，2}，
∵B ＝{2，3，4}，
∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．【分析】由约束条件作出可 行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，
把最优解的坐标代入目标函数得答案．< br>【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
联立，解得A（﹣1，1），
y＝4x+z过 A时，z有最大值为5．化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线
故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【分析】充 分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：∵x﹣5x＜0，∴0＜x＜5，
∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，
第5页（共17页）2
0＜x＜2?0＜x＜5，
∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，
即x ﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件 ，考查解不等式问题，是一道基础题．
4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环 结构计算并输出变量S的值，
2
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答 案．
【解答】解：i＝1，s＝0；
第一次执行第一个判断语句后，
第二次执行第一个 判断语句后，
第三次执行第一个判断语句后，
故输出S值为8，
故选：B．
【 点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基 础题
5．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝
进而c＝＝，由 此能求出双曲线的离心率．
y＝4x的焦点为F，准线为l．
2
S＝1，i＝2，不满 足条件；
j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；
S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；，|OF|＝1，从而b＝2a，
【解答】解：∵抛物线
∴F（1，0），准线l的方程为 x＝﹣1，
∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4 |OF|
（O为原点），
∴|AB|＝
∴c＝
，|OF|＝1，∴
＝ ，
e＝．
，∴b＝2a，
∴双曲线的离心率为
故选：D．
【点评】本 题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考
查运算求解能力，考查化归与 转化思想，是中档题．
第6页（共17页）
6．【分析】本题先将a、b、c的大小与1作个比 较，发现
的表达式进行变形，判断a、c之间的大小．
b＞1，a、c都小于1．再对a、c< br>【解答】解：由题意，可知：
a＝log
5
2＜1，
b＝log
0.5
0.2＝＝＝log
2
5＞log
2
4＝2．
c＝ 0.5
0.2
＜1，
∴b最大，a、c都小于1．
0.2
∵a＝lo g
5
2＝，c＝0.5
＝＝＝．
而log
2
5＞log2
4＝2＞，
∴＜．
∴a＜c，
∴a＜c＜b．
故选：A．【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数
较．本题属基础题．
7 ．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件
1作为中间量 来比
求出A的值，利用代入法进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，< br>则f（x）＝Asin（ωx）
将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
的 函数为g（x）．
即g（x）＝Asin（ωx）
2π，
2倍（纵坐标不变），所得图 象对应
∵g（x）的最小正周期为
∴＝2π，得ω＝2，
则g（x）＝Asinx，f （x）＝Asin2x，
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若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝
＝2sin
，即A＝2，
＝2×＝，则f（x）＝2sin2x，则f（
故选：C．< br>）＝2sin（2×
【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的 值是解决
本题的关键．
8．【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；
当x＜1时，f（x） ＝x
2
﹣2ax+2a≥0?2a≥恒成立，
令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（
2）≤﹣（2﹣2）＝0，
∴2a≥g（x）
max
＝0，∴a＞0．
当x ＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0?a≤恒成立，
令h（x）＝，则h′（x）＝＝，
当x ＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，
∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，
∴a≤h（x）＝e，
综上a的取值范围是[ 0，e]．
故选：C．
【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题．
二、填空题：本大 题共6小题，每小题5分，共30分.
9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算 ．
【解答】解：由题意，可知：
＝＝＝2﹣3i，
∴||＝|2﹣3i|＝＝．
第8页（共17页）
1﹣x+﹣