小学数学教研网天津市高考数学试卷理科解析

2020年11月23日发(作者：曹岩)
2015年天津市高考数学试卷（理科）

一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（20 15?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，
集合 B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?
U
B=（ ）
A． {2，5} B． {3，6} C． {2，5，6} D． {2，3，5，6，8}

2．（5分）（2015?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的




最大值为（ ）
A． 3 B． 4 C． 18 D． 40
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A． ﹣10 B． 6 C． 14 D． 18
4．（5分）（2015?天津）设 x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x
2
+x﹣2＞0”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

5．（5分）（2015?天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD， CE分别经
过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B． 3 C． D．

6．（5分）（2015?天津）已知双曲线
且双曲线的 一个焦点在抛物线y
2
=4
A．
﹣=1
﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），


x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
B．
﹣
D．
=1
C．
﹣=1 ﹣=1
﹣

7．（5分）（2015?天津）已知 定义在R上的函数f（x）=2
|xm|
﹣1（m为实数）为偶函数，
记a=f（lo g
0.5
3），b=f（log
2
5），c=f（2m），则a，b，c的大 小关系为（ ）
A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． c＜a＜b D． c＜b＜a < br>8．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），
其中 b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）

A．
（，+∞）
B．
（﹣∞，）
C．
（0，）
D．
（，2）
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?天津） i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值
为 ．
10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m
3
．
11．（5分）（2015?天津）曲线y=x
2
与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．
12．（5分）（2015?天津）在（x﹣）
6
的展开式中，x
2的系数为 ．
13．（5分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对 的边分别为a，b，c．已知△ABC
的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 ．
14．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1 ，∠ABC=60°．动
点E和F分别在线段BC和DC上，且
为 ．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）（2015?天津）已知函数f （x）=sin
2
x﹣sin
2
（x﹣
（Ⅰ）求f（x）的最小正周 期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
），x∈R．
=λ ，=，则?的最小值
16．（13分）（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许 不同协会的运动员
组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名， 其中
种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4 人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，
求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（1 3分）（2015?天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，侧棱AA
1
⊥底面ABCD，
AB⊥AC，AB= 1，AC=AA
1
=2，AD=CD=，且点M和N分别为B
1
C和D
1
D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D
1
﹣AC﹣B
1
的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱A
1
B
1
上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段 A
1
E
的长．
18．（13分）（2015?天津）已知数列{a
n
}满足a
n+2
=qa
n
（q为实数，且q≠1），n∈N
*
，a
1
=1，
a
2
=2，且a
2
+a
3
，a
3
+a
4
，a
4
+a
5< br>成等差数列（1）求q的值和{a
n
}的通项公式；
（2）设b
n< br>=，n∈N
*
，求数列{b
n
}的前n项和．
19．（14 分）（2015?天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率
为
|FM|=
，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x
2
+y
2
=
．
截得的线段的长为c，
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于
值范围．
，求直线OP（O为原点）的斜率的取
20．（14分）（2015?天津）已知函数f（x） =nx﹣x
n
，x∈R，其中n∈N
?
，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的焦点为P，曲线在 点P处的切线方程为y=g（x），求
证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x
1
，x
2
，求证：|x
2
﹣x
1
|＜+2．
2015年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（20 15?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，
集合 B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?
U
B=（ ）
A． {2，5} B． {3，C． {2，D． {2，

6} 5，3，
6} 5，
6，
8}
考交、并、补集的混合运算．
点：
专集合．
题：
分由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
析：
解解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，
答：6} ，集合B={1，3，4，6，7}，
∴?
U
B={2，5，8}，
则A∩?
U
B={2，5}．
故选：A．
点此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本
评：题的关键．
2．（5分）（2015?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的

最大值为（ ）
A． 3 B． 4 C． 18 D．4 0
考简单线性规划．
点：
专不等式的解法及应用．
题：
分作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合
析：确定 z的最大值．
解解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
答：
由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最
大，
此时z最大．
由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：C．
点本题主要考 查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合
评：的数学思想是解决此类问题的基本方法 ．
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A． ﹣10 B． 6 C． 14 D．1 8

考程序框图．
点：
专图表型；算法和程序框图．
题：
分模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足
析：条件 i＞5，退出循环，输出S的值为6．
解解：模拟执行程序框图，可得
答：S=20 ，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
点本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的
评：值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）（2015?天津）设x∈R，则“|x﹣2| ＜1”是“x
2
+x﹣2＞0”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B．


C． 充要条件 D．
必
要
而
不
充
分
条
件
既
不
充
分
也
不
必
要
条
件
考必要条件、充分条件与充要条件的判断．
点：
专简易逻辑．
题：
分根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
析：
解解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
答：
由x
2
+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x
2
+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
点本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
评：
5．（5分）（2015?天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经
过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B． 3 C． D．

考与圆有关的比例线段．
点：
专选作题；推理和证明．
题：
分由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
析：
解解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，
答：
∴2×4=AM?2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN?NE=AN?NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 点
评： 6．（5分）（2015?天津）已知双曲线
且双曲线的一个焦点在抛物线y
2
= 4
A．
﹣=1
﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），

x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
B．
﹣
=1

C．
﹣=1
D．
﹣
=1
考双曲线的标准方程．
点：
专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分由抛物线标准方 程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x
析：轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方 程，得 a、b的另一个方程，求出a、b，即
可得到双曲线的标准方程．
解
解：由题意，=，
答：
∵抛物线y
2
=4
的准线上，
∴c=，
∴a
2
+b
2
=c
2
=7，
∴a=2，b=，
∴双曲线的方程为
故选：D．
．
x的准线方 程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y
2
=4x
点本题主要考查双曲线和抛物线的 标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属
评：于基础题．
7．（5分）（2015? 天津）已知定义在R上的函数f（x）=2
|xm|
﹣1（m为实数）为偶函数，
记a =f（log
0.5
3），b=f（log
2
5），c=f（2m），则a， b，c的大小关系为（ ）
A． a＜b＜c B． aC． cD．c

＜＜＜
cab
＜＜＜
b b a
考函数单调性的性质．
点：
专函数的性质及应用．
题：
分
根据f（x）为偶函数便可 求出m=0，从而f（x）=2
|x|
﹣1，这样便知道f
析：（ x）在[0，+∞ ）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的
值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log
0.5
3|），b=f（log
2
5），c=f（0），然后再
比较 自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，
c的大小．
解解：∵f（x）为偶函数；
答：
∴

f（﹣x）=f（x）；
﹣
∴2
|xm|
﹣1=2
|xm|
﹣1；
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）
2
=（x﹣m）
2
；
∴mx=0；
∴m=0；
﹣﹣﹣
∴f（x）=2
|x|
﹣1；
∴f（ x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log
0.5
3|）=f（log
2
3），b=f
（log
2
5），c=f（0）；
∵0＜log
2
3＜log
2
5；
∴c＜a＜b．
故选：C．
点考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的
评：方法就是将自变量的值变到区间 [0，+∞）上，根据单调性去比较函数值
大小．对数的换底公式 的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的
运用．
8．（5分）（2015?天津）已知 函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），
其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有 4个零点，则b的取值范围是（ ）
A． B． （﹣C． （0，D．
（，

（，
∞，
）
+∞） 2）
）
考根的存在性及根的个数判断．
点：
专函数的性质及应用．
题：
分求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）
析：+f （2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解
即可．
解解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
答：
∴

y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x
2
，
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x
2
，
若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2
+2﹣|2﹣x|=x
2
﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x
2
=（x+）
2
+≥，
当x＞2时，h（x）=x
2
﹣5x+8=（x﹣）
2
+≥，
故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，
则满足＜b＜2，
故选：D．
点本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出 函数的解析
评：式，利用数形结合是解决本题的关键．
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?天津）i是虚数单位，若复 数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为
﹣2 ．
考点：复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
解答：解：由（1﹣2i） （a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．
10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m
3
．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出
它的体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V
几何体
=2×π?1
2
×1+π?1
2
?2
=π．
故答案为：π．
点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）（2015?天津）曲线y=x
2
与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定
积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y= x
2
所围图形的面积S=∫
0
1
（x﹣x
2
）dx
而∫
0
1
（x﹣x
2
）dx=（
∴曲边梯形的面积 是．
故答案为：．
点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用
定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
12．（5分）（2015?天津）在 （x﹣）
6
的展开式中，x
2
的系数为 ．
）|
0
1
=﹣=
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；二项式定理．
分析：
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数 等于2，求出r的值，即可求得x
2
的系数．