数学三悖论2009年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2020年11月23日发(作者：甘乃光)






年天津市高考数学试卷（理科）2009

参考答案与试题解析




分，满分10 小题，每小题 5 一、选择题（共
分）50






）=（．（1 5 分）（ 2009?天津） i 是虚数单位，



2iA ． 1+2i B 1﹣．﹣
1+2i．﹣﹣． 1 2i D C


复数代数形式
的乘除运算．【考点】


数系的扩充和复数． 【专题】


复数的
分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【分析】




，解：【解答】



．故选 D


本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．【点
评】




，则目标函数 y ．（2 5 分）（ 2009?天津）设变量 x，满足约
束条件：


z=2x+3y




）的最小值为（



23A．6D．C．78．B


简单线性规划的应用．【考点】


不等
式的解法及应用．【专题】


本题考查的知识点是线性规划，处
理的思路为：根据已知的约束条件 【分析】





．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最
小值．



解：画出不等式【解答】
．表示的可行域，如图，




在可行域上平移，让目标函数表示直线




自目标函数取到最小值，知在点 B





）， 1， 2得（解方程组




， z所以 =4+3=7
min



．故选 B




1






找出约束条件和目标函数是关 分析题目的已知条件， 【点评】
用图解法解决线性规划问题 时，键，可先将题目中的量分类、列
出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约



即可得到目 束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行
域各角点的值一一代入， 最后比较，标函数的最优解．




2
”的否定是（≤R， 2x0﹣ 1∈．（3 5 分）（ 2009?天津）命题
“存在 x）
0


22
0﹣ 1∈ xA ．不存在∈R， 2x﹣1＞ 0B ．存在 xR， 2x
＞
0000



22
01﹣≤0D ．对任意的 x∈﹣ 1＞R，2x 2x∈R， xC．对
任意的



命题的否定．【考点】


简易逻辑． 【专题】


命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆． 【分析】

解：结论的否定形式为： 【解答】
0＞2x ﹣ 1



2


． D故选


本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别． 【点评】




y=f
），则 0 lnx ） x = x﹣（ x＞ 5 4．（分）（ 2009?天津）设函
数f （）（ x）（




．在区间（A
）内均有零点l ，1），（ ， e



．在区间（B
）内均无零点e，l 1， ），（




）内无零点，在区间（C，．在区间（ 1
）内有零点， el




）内有零点，在区间（1 ，D．在区间（
）内无零点l ， e




利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【考点】


导数的概念及应用．【专题】


）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得
答【分析】（ x f 先对函数案．



解：由题得【解答】
；f，令 3＞ x′（ ）＞0得x



x=3 ，得 =0 ）′（ f；＜ x＜得 0 ）＜′（f 令 x 0 3 x


）上为减函数，在区间（ x（f 故知函数 ）在区间（， 0 3
∞）
为增函数，，3 +




2






在点 x=3 处有极小值 1﹣ ln3＜ 0；又，，



．



．故选 C



【点评】 本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间
的关系．即当导函数大于0


时原函数单调递减．时原函数单调递增，当导函数小于0





5．（ 5 分）（ 2009?天津）阅读程序框图，则输出的S=（）




A．26 B．35C．40D．57


【考点】 程序框图．


【专题】 算法和程序框图．


【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所
示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=2+5+8+ ?+14 的
值．


解：分析程序中各变量、各语句的作用，【解答】


再根据流程图所示的顺序，可知：


的值S=2+5+8+ ?该程序的作用是累加并输出+14

．=2+5+8+
∵ S?+14=40
故选 C．
【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法
这一模块最重要的题型，其处
，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型， 理方法是：：
① 分析流程图（或伪代码） 又要分析出参与计算的数据 （如
果参与运算的数据比较多， 也可使用表格对数据进行分析管


③ 解模． 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的
数学模型理） ? ②




ab
是 3 ．若 0与 3 的等比中项，＞，＞a0天津）设分）（．（6
5 2009? b


则
的最小值为



（ ）



3






A ． 8B．4C．1D．



【考点】基本不等式；等比数列的性质．



【专题】不等式的解法及应用．



a+b=1，代入中，将其变为 2+，利用基本【分析】
中的等比关系得出


不等式就可得出其最小值



ab



【解答】 解：因为 3?3 =3 ，所以 a+b=1，



，



”成立，“=时 当且仅当即




故选择 B．



由题设条件
【点评】 本小题考查指数式和对数式的互化， 以及均值不等式
求最值的运用， 考查了变通能力．




7．（ 5 分）（ 2009?天津）已知函数
的最小正



周期为 π，为了得到函数 g（x） =cosωx 的图象，只要将 y=f
（ x）的图象（）



A ．向左平移个单位长度B ．向右平移
个单位长度




个单位长度 D．向右平移C．向左平移
个单位长度



【考点】 函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．



【专题】 三角函数的图像与性质．


【分析】 由周期函数的周期计算公式：，算得 ω=2．接下来将
f （ x）的表达式转化




成与 g（ x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．


【解答】 解：由题知
ω=2，



所以




，


故选择 A．


【点评】 本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变
换，基础题．




2



8．（ 5 分）（2009?天津）已知函数若 f（ 2﹣a ）＞ f（ a），
则实数


的取值范围是（a ）



A ．（﹣ ∞，﹣ 1）∪（ 2， +∞） B ．（﹣ 1， 2）C．（﹣
2， 1）D ．（﹣ ∞，﹣ 2）∪（ 1，


∞）+



函数单调性的性质；其他不等式的解法． 【考点】



函数的性质及应用．【专题】




4




【分析】 由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调
性求解不等式．







【解答】 解：




2
∞）上是单调递增函数，+ ∞， f（ x）在（﹣由 f（ x）的
解析式可知，
在由 f（2﹣ a）＞ f（ a），

2
a a＞得 2﹣
2


即 a +a﹣ 2＜0，解得﹣ 2＜ a＜
1．故选 C

【点评】 此题重点考查了分段函数的求值，还考查
了利用函数的单调性求解不等式，同时一


元二次不等式求解也要过关．



2


9．（ 5 分）（ 2009?天津）设抛物线的焦点为 F，过点 M （，
0）的直线与抛物线相y =2x


C，|BF|=2 ，则 △ BCF 与B 交于 A 、两点，与抛物线的准
线相交于点 △ ACF 的面积之比=


）（



．B．CA ．．D




【考点】 抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线
的综合问题．


【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程．




【分析】 根据=，进而根据两三角形相似，推断出=
，根据抛物
线




的定义求得




=，根据 |BF|的值求得 B 的坐标，进而利用两点式求得直线的
方程，把x=代




入，即可求得 A 的坐标，进而求得



的值，则三角形的面积之比可得．




【解答】 解：如图过 B 作准线 l： x= ﹣的垂线，垂足分别
为
A ， B，
11




∵=，




又∵△ BBC∽△ A AC 、
11




∴=，




由拋物线定义==．




由|BF|=|BB |=2 知 x=，y=﹣，
BB1




5







∴AB ： y﹣ 0=（ x﹣
）．




把 x=代入上式，求得
y=2， x=2，
AA



∴ |AF|=|AA |= ．
1



故 ===．
故选 A．




【点评】 本题主要考查了抛物线的应用， 抛物线的简单性
质． 考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．




22
10．（ 5 分）（ 2009?天津） 0＜ b＜ 1+a，若关于
x 的不等
式（ x﹣ b） ＞（ ax） 的解集中的整


数恰有 3 个，则（）



A ．﹣ 1＜ a＜ 0 B． 0＜ a＜ 1 C． 1＜ a＜ 3 D． 2＜ a＜
3
【考点】 其他不等式的解法．


不等式的解法及应用． 【专题】

22
个，那么此不等式的） 的
解集中的整数恰有 3 x 要使关于的不等式（ x﹣ b）＞（ ax
【分析】解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，


22
）＞（ axx﹣ b） 解：由题得不等式（ 【解答】




222


，它的解应在两根之间，即（ b ﹣） x +2bx＜0 a ﹣ 1


2
，
注意到＜﹣ 1 a 0，解得＞ 1 或 a 1a﹣＞， 1+a，从而 a 1
＞＜0＜ b因此应有


22222



故有 △ =4b +4b（ a ﹣ 1） =4ab ＞ 0，


或不等式的解集为（舍去）．



，不等式的解集为





6







又由 0＜ b＜ 1+a 得，




，，这三个整数解必为﹣2，﹣ 1，0故




2（ a﹣ 1）＜ b≤3 （ a﹣1），


注意到 a＞ 1，并结合已知条件
0＜ b＜．


1+a



2（a﹣ 1）＜ 1+a＜ 3（故要满足题设条件，只需要 a﹣ 1），
即 2＜ a＜ 3 即可，则



2b＞ 2a﹣


3﹣＜ 3ab

1+a b＜又 0＜


2﹣ 1+a故＞ 2a



0 33a﹣＞


．解得 1＜ a＜ 3，综上 2＜ a＜3



． D故选：



二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有本小题考查解一
元二次不等式解法，【点评】
两个变量的题目是难题．




二、填空题（共 6 小题，每小题4 分，满分 24分）



11．（4 分）（ 2009?天津）某学院的 A ，B ， C 三个专业
共有1200 名学生，为了调查这些学


120 的样本．已知该学院的 A生勤工俭学的情况，拟采用分
层抽样的方法抽取一个容量为


C 名学生，则在该学院的专业应抽取40 名学生．专业有 380
名学生， B 专业有 420


分层抽样方法．【考点】



概率与统计．【专题】



【分析】 根据全校的人数和 A ， B 两个专业的人数，得到
C 专业的人数，根据总体个数和


C 专业的人数乘以每个个体被抽到的要抽取的样本容量，得到每
个个体被抽到的概率，用


概率，得到结果．



1200﹣【解答】 解：∵ C 专业的学生有 380﹣420=400 ，



名．由分层抽样原理，应抽取





故答案为： 40



【点评】 本题考查分层抽样，分层抽样 过程中，每个个体被抽
到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率
这三个量 中，可以知二求一．




12．（ 4 分）（ 2009?天津）如图是一个几何体的三视图，若它
的体积是，则 a=．




【考点】 由三视图求面积、体积．



【专题】 立体几何．

【分析】 该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．



7




3，底面是底边长为2，解：由已知可知此几何体是三棱柱，其
高为 【解答】


的等腰三角形，a 底边上的高为





．所以有





故答案为：



【点评】 本小题考查三视图、三棱柱的体积， 基础题．本试题
考查了 简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力
和基本的运算能力．



13（． 4 分）（ 2009?天津）设直线 l 的参数方程为（ t 为参
数），直线 l 的方程为 y=3x+4
21


的距离为与 l 则 l
21
．





【考点】 直线的参数方程；两条平行直线间的距离．



【专题】 坐标系和参数方程．

【分析】 先求出直线的普通方
程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．


【解答】 解析：由题直线 l 的普通方程为
3x﹣ y﹣ 2=0，
1


．的距离为 l 故它与
2




故答案为




【点评】 本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线
间的距离，属于基础题．




2222


14．（ 4 分）（ 2009?天津）若圆与圆 x +y +2ay﹣ 6=0（a＞ 0）
的公共弦的长为，x +y =4


． a= 1则

【考点】 圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综
合应用．



直线与圆．【专题】


【分析】 画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．



2
【解答】 解：由已知 x+2ay﹣ 6=0 的半径为，圆心（ 0，﹣
a），+y

2


ay=1．大圆的弦心距为：公共弦所在的直线方程为，|a+ |



，解之得 a=1．由图可知



． 1故答案为：




8




【点评】 本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．







15．（ 4 分）（2009?天津）在四边形ABCD 中，=（ 1，1），，=



的面积是则四边形 ABCD ．



【考点】 向量的线性运算性质及几何意义．



平面向量及应用．【专题】



ABCD 是菱形，其边长为，且对角线 BD 等于边长的倍， 根
据题意知四边形【分析】


再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边



的面积形 ABCD



ABCD 的角平分线 BD，可知平行四边形【解答】 解：由题



平分∠ ABC ，四边形 ABCD 是菱形，其边长为，且对角线
BD 等于边长的倍，



=﹣所以 cos∠ BAD= ，



2