数学出题器2009年天津市高考数学试卷理科答案与解析

2020年11月23日发(作者：伍小平)

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2009年天津市高考数学试卷（理科）


参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）


是虚数单位，=（ ） 2009．（5分）（?天津）i1A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
解：，【解答】
故选D．
【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．





满足约束条件：，则目标函数yz=2x+3y?天津）设变量x，（2．（5分 ）2009的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．23
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画

．
出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．
解：画出不等式．表示的可行域，如图，【解答】
让目标函数表示直线在可行域上平移，




知在点B自目标函数取到最小值，
解方程组得（2，1），
=4+3=7所以z，
min
B故选．
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找出约束条件和目标函数是分析题目的已知条件，【点评】用图解法解决线性规 划问题时，关键，
可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约即 可最后比
较，束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入， 得到目标函数
的最优解．

2
2x，∈R ）”的否定是（ ﹣1≤020093．（5分）（?天津）命题“存在x
022
2x，，2x∈R∈R0
0 B．存在xA．不存在x＞﹣1﹣1＞
000022
0 ﹣1＞xD．对任意的∈R，2xC．对任意的x∈R，2x
﹣1≤0
【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否
命题混淆．
2
0 ﹣1＞【解答】解：结论的否定形式为：2x ∴原命题的否定为：D． 故选D． 【点
评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别．


）x）（ y=flnx（x＞0），则（天津）设函数4．（5分）（2009?f（x）﹣=x

e）内均有零点，
（lA，．在区间（，1）

）内均无零点e（lB，．在区间（，1），

）内有零点l，Ce．在区
间（，1）内无零点，在区间（

）内无零点，e．在区间（，1）内有零点，在区间（lD 利用
导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【考点】 导数的概念及应用．【专题】）进行求导 ，
再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答（x先对函数【分析】f
案．

；x＞30，令f′（x）＞得【解答】解：由题得 ，=0得x=3x；＜0x
＜3f′（）得）＜（f令′x0 ）为增函数，+330xf故知函数（）在区间（，）上为减函数，在区
间（，∞
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．故选C． ，，；又﹣ln3＜0x=3在点处有极小值1
数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0 时原函
5．（5分）（2009?天津）阅读程序框图，则输出的S=（ ）




A．26 B．35 C．40 D．57
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示 的顺序，可知：该程序的作用是
累加并输出S=2+5+8+…+14的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值
∵S=2+5+8+…+14=40．
故选C．
【点评】根据流程图（或伪代 码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方
法是：：①分析流程图（或伪代码）， 从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析
出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较 多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立
数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模 型③解模．

ba



的最小值为与是330b0a?（5．6（分）2009天津）设＞，＞．若的等比中项，则 （ ）
文
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．D 4 C．1 A．8 B．【考点】基本不等式；等比数列的性质．
【专题】不等式的解法及应用．


2+中，将其变为由题设条件中的等比关系得出a+b=1，利用基本，代入【分析】 不等式就可得
出其最小值
ba
3?3=3，所以a+b=1，【解答】解：因为

，
成立，故选择B．

即时“=”当且仅当
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等 式求最值的运用，考查了变通能力．



天津）已知函数的最小正（ 2009?7．（5分）周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，
只要将y=f（x）的 图象（ ）




．向右平移个单位长度BA ．向左平移个单位长度
．向右平移C．向左平移个单位长度D 个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．


由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（【分析】x）的表达式 转化成与g（x）同
名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．
【解答】解：由题知ω=2，
所以

，
故选择A．
【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．

2
，则实数


a）f﹣a）＞（5分）（2009?天津）已知函数若f（2．8（a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1， ∞+）
函数单调性的性质；其他不等式的解法．【考点】 函数的性质及应用．【专题】
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【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等
式．
解：【解答】

2
由
2
得
2



f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a）＞ f（a），
2﹣a＞a

即a+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．
故选C
【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式， 同时一元二
次不等式求解也要过关．


2
0（的焦点为F， 过点M）的直线与抛物线相（9．5分）（2009?天津）设抛物线y=2x

，


的面积之比△ACFBCF，则△与交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2=（ ）


．D ． ． B． CA【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．


=，根据抛物线【分析】，进而根据两三角形相似，推断出根据= 的定义求得

代B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x==，根据|BF|的值求得入，即可求得A的坐
标 ，进而求得




的值，则三角形的面积之比可得．
﹣的垂线，垂足分别为A，B， 解：如图过【解答】B作准线l：x=
11

=，∵
又∵△BBC∽△AAC、
11

=， ∴

=．由拋物线定义=



﹣，=y=知|=2由|BF|=|BBx，
BB1
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﹣）．0=（x∴AB：y﹣


x=代入上式，求得y=2，x把=2，
AA

|=． ∴|AF|=|AA
1

=．= 故=故选
A．




【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知 识的综合运用和
综合分析问题的能力．


22
的解集中的整 ax）x﹣b）＞（，若关于（2009?天津）0＜b＜1+ax的不等式（10．（5分） ）
数恰有3个，则（
3 ＜．2＜aC1 ．1＜a＜3 D0 A．﹣1＜a＜B．0＜a＜ 其他不等式的解法．【考点】 不等式的解
法及应用．【专题】
22
个，那么此不等式）ax的解集中的整数恰有3的不等式（x﹣b）＞（x【分
析】要使关 于 的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，
22
＞（ax）解：由题得不等
式（x﹣b）【解答】
222
0，它的解应在两根之间，+2bx﹣b＜1即（a﹣）x
2
1，，从而b＜1+aa＞＜
＜﹣＞＞ 因此应有a﹣10，解得a1或a1，注意到0
22222
0，=4aa（﹣1）b＞+4b△故有=4b

式的解集为，
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（舍去）或不等式的解集为

．

不等

得b＜1+a，又由0＜

0
1，故，这三个整数解必为﹣，2，﹣ ），a﹣1﹣1）＜b≤3 （2（a 1+a．＜b＜注意到a＞1，并
结合已知条件0 即可，则a＜3﹣1），即2＜（故要满足题设条件，只需要2a﹣1）＜1+a＜3（a2
﹣b＞2a3 ﹣b＜3a1+a ＜＜b0又2 ﹣＞2a故 1+a0
＞﹣33a ．＜3，综上2＜a解得1＜a＜3 D故选：．二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，
含【点评】本小题考查解一元二次不等式解法， 有两个变量的题目是难题．
24分）6小题，每小题4分，满分二、填空题（共名学生，为了调 查这些学1200三个专业共
有B，C分）（2009?天津）某学院的A，11．（4A的样本．已知 该学院的生勤工俭学的情况，拟
采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 名学生．40 专业有420名学生，则在该学院的C专
业应抽取380专业有名学生，B【考点】 概率与统计．【专题】专业的

分层抽样方法．
人数，根据总体个数和两个专业的人 数，得到CB【分析】根据全校的人数和A，专业的人数乘
以每个个体被抽到的要抽取的样本容量，得到 每个个体被抽到的概率，用C 概率，得到结果． ，
﹣﹣380420=400【解答】解：∵C专业的学生有1200
应抽取40
故答案为：本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，【点
评】 样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．


． 分）4（2009?天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=（12．

名．由分层抽样原理，




【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．

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，3，底面是底边长为2【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为 的等腰三角形，
底边上的高为a

．所以有

故答案为：基础题．本试题考查了简单
几何体的三视图的本小题考查三视图、三棱柱的体积，【点评】 运用．培养同学们的空间想象能
力和基本的运算能力．


（t为参数） ，直线l的方程为y=3x+4（4分）（2009?天津）设直线l的参数方程为13．
21
l的距离为 则l
21

【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离．
【专题】坐标系和参数方程．
与

．
【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．
【解答】解析：由题直线l的普通方程为3x﹣y﹣2=0，
1

的距离为． 故它与l
2

故答案为【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于
基础题．


0）的公共弦的长为a=4+y与圆x+y+2ay﹣6=0（＞?414．（ 分）（2009天津）若圆x ．1

，
则a=


2222
圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【考点】 【专题】直线与圆． 【分析】画出
草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．
22

，圆心（0，﹣a）﹣解：由已知【解
答】x+y+2ay6=0，的半径为


|a+| ay=1．大圆的弦心距为：公共弦所在的直线方程为，
图可知，解之得a=1．

由
1故答案为：．




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【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．
，，1，ABCD1中，）==（（15．（4分）2009?天津）在四边形

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．



的面积是． 则四边形ABCD
【专题】平面向量及应用．


等于边长的BD倍，是菱形，其边长为，且对角线【分析】根据题意知四边形ABCD

，最终可得四边和再由向量数量积运算的应用可得
的面积形ABCD
【解答】BD

，可知平行四边形ABCD解：由题的角平分线

等于边长的倍，BD是菱形，其边长为 平分∠ABC，四边形ABCD，且对

角线BAD=

=﹣cos所以∠，

2

S=）（×．
ABCD

=故sin∠BAD=，
．

故答案为：
【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．

16． （4分）（2009?天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、
十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 324 个（用数字作答）