1996数学一2017版步步高初高中数学衔接教材：第3课-因式分解(1)及答案

2020年11月23日发(作者：袁凤兰)
. .
因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式
运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用．
因式分解的方法较多，除了初中教材中 涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式
和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、 立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．
因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．
一、提取公因式法
例1 3
x
－6
x
＋3.
二、公式法
例2 (1)8＋
x
；(2)
x
＋2
xy
＋
y
－
z
.
三、分组分解法
例3 (1) 2
ax
－10
ay
＋5
by
－
bx
；(2 )
x
－
x
＋
x
－1.
四、配方法
例4 (1)
x
＋6
x
－16；(2)
x
＋2
xy
－3
y
.
五、拆项添项法
例5 (1)
x
－3
x
＋4；(2)
x
－2
x
＋1.
六、求根公式法
例6 (1)
x
－
x
－1；(2)2
x
－3
x
－1.
七、十字相乘法
(1)
x
＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
型式子的因式分解
我们来讨论x
＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
这 类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，
它的特点是
(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． < br>对这个式子先去括号，得到
x
＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
＝
x
＋
px
＋
qx
＋< br>pq
，于是便会想到继续用分组分
解法分解因式，即
x
＋
px
＋
qx
＋
pq
＝(
x
＋
px
)＋ (
qx
＋
pq
)＝
x
(
x
＋
p< br>)＋
q
(
x
＋
p
)＝(
x
＋
p
)(
x
＋
22
22
2
2
22
323
222
32
3222
2
q
)．
因此，x
＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
＝ (
x
＋
p
)(
x
＋
q
)．
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例7 把下列各式分解因式：
(1)
x
＋3
x
＋2；(2)
x< br>－
x
－20；
5
22
(3)
x
－
x
＋1；(4)
x
＋11
x
＋24.
2
八、
ax
＋
bx
＋
c
型因式分解
我们知道，
页脚
2
22
2
. .
(
a
1
x
＋
c
1
)(
a
2
x
＋
c
2
)
＝
a
1
a
2
x
＋
a
1
c
2
x
＋
a
2
c
1
x
＋
c
1
c
2
＝
a
1
a
2
x
＋(
a
1
c
2＋
a
2
c
1
)
x
＋
c
1c
2
.
反过来，就得到
a
1
a
2
x
＋(
a
1
c
2
＋
a
2
c
1
)
x
＋
c
1
c
2
＝(
a
1
x
＋
c
1
)(
a
2
x
＋c
2
)．
我们发现，二次项的系数
a
分解成
a
1
×
a
2
，常数项
c
分解成
c
1
×
c
2
，并且把
a
1
，
a
2
，
c
1
，
c
2
排
列如图：，这里按斜线交叉相乘，再 相加，就得到
a
1
c
2
＋
a
2
c
1
，如果它正好等于
ax
＋
2
2
22
bx
＋
c
的一次项系数
b
，那么
ax
2
＋
bx
＋
c
就可以分解成(
a
1
x
＋
c
1
)(
a
2
x
＋
c
2
)，其中
a
1
，
c
1
位于
上图上一行，
a
2
，
c
2
位于下一行．
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二 次三项式分解因式的方法，通常叫做
十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可 能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一
个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例8 (1)6
x
＋5
x
＋1；(2)6
x
＋11
x－7；(3)42
x
－33
x
＋6；(4)2
x
－5< br>x
＋3；(5)2
t
－14
t
－16.

1．把下列各式分解因式：
1
3
1
3
11
33< br>1
333333
(1)
a
＋27；(2)8－
m
；( 3)－27
x
＋8；(4)－
p
－
q
；(5)8
x y
－；(6)
xy
＋
c
.
86412521627


2．把下列各式分解因式：
(1)
xy
＋
x
；(2)
x



3．把下列各式分解因式：
(1)
x
－3
x
＋2； (2)
x
＋37
x
＋36； (3)
x
＋11
x
－26； (4)
x
－6
x
－27；



(5)
m
－4
mn
－5
n
； (6)(
a
－
b
)＋11(
a
－
b
)＋2 8.



222
2222
34
2224263
n
＋3
－
xy
；(3)
a
(
m
＋
n
)－
ab
；(4)
y
(
x
－2
x
)＋
y
.
n
323232232
页脚
. .
4．把下列各式分解因式：
(1)
ax
－10
ax
＋16
ax
； (2)
a


(4)
x
－7
x
－18； (5)6
x
－7
x
－3； (6)
t
－9
t
＋8；


(7)7(
a
＋
b
)－5(
a
＋
b
)－2； (8)(6
x
－7
x
)－25.


5．把下列各式分解因式：
(1)3
ax
－3
ay
＋xy
－
y
； (2)8
x
＋4
x
－2
x
－1； (3)5
x
－15
x
＋2
xy
－6
y
；


(4)4
a
－20
ab
＋25
b
－36； (5)4
xy
＋1－4
x
－
y
； (6)
ab
＋
ab
－
ab
－
ab
；


(7)
x
－
y
－2
x
＋1； (8)
x
(
x
＋1)－
y
(
xy
＋
x
)．


1．把下列各式分解因式：
8
2222< br>(1)
x
＋15
x
＋56；(2)
x
＋
x< br>－30；(3)
x
＋25
x
＋150；(4)
x
＋< br>x
－1.
3
2．把下列各式分解因式：
(1)6
x
＋7
x
－3；(2)12
x
＋25
x
＋12；(3)42
x
－5
x
－2；(4)72
x
＋7
x
－2 .
3．
x
＋(
p
＋
q
)
xy
＋
pqy
型式子的因式分解
我们来讨论
x
＋(
p
＋
q
)
xy
＋
pqy
这类二次齐次型的因式分解，它的特点是
(1)
x
的系数为1；
(2)
y
的系数为两个数的积(
pq
)；
(3)
xy
的系数为这两个数之和(
p
＋
q
) < br>2
2
22
22
2222
6632
222243223 4
2322
222
42263
543
n
＋2
＋a
n
＋1
b
－6
a
n
b
2
； (3)(
x
2
－2
x
)
2
－9；
x2
＋(
p
＋
q
)
xy
＋
pqy
2
＝
x
2
＋
pxy
＋
qxy
＋
pqy
2
＝
x
(
x
＋
py
)＋
q y
(
x
＋
py
)＝(
x
＋
py
) (
x
＋
qy
)．
例
x
＋(3＋1)
x y
＋1×3
y
＝(
x
＋
y
)(
x
＋3
y
)
对照
x
＋(
p
＋
q
)
x
＋
pq
＝(
x
＋
p
)(
x< br>＋
q
)看它们有怎样的联系，又有怎样的区别？
联系：分解的方式完全一样．
2
22
页脚