初三数学规律江苏省南京市2019年中考真题数学试题(含解析)

2020年11月23日发(作者：祝嘉高)
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2018年 中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法
表示13000 是（ ）
A．0.13×10
23
5
B．1.3×10
4
C．13×10
3
D．130×10
2
2．（2分）计算（
ab
）的结果是（ ）
A．
ab

23
B．
ab

53
C．
ab

6
D．
ab

63
3．（2分）面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根
C．4开平方的结果
B．4的算术平方根
D．4的立方根
4．（2分 ）实数
a
、
b
、
c
满足
a
＞
b< br>且
ac
＜
bc
，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A．
C．


B．
D．
最接近的是（ ）
C．6 D．7


5．（2分）下列整数中，与10﹣
A．4 B．5
6．（2分）如图，△
A
'
B
'
C
'是由 △
ABC
经过平移得到的，△
A
'
B
'
C
还可以看作是△
ABC
经过怎样的图形变
化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转 和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确
结论的序号是（ ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
7．（2分）﹣2的相反数是 ；的倒数是 ．
8．（2分）计算﹣的结果是 ．
2
9．（2分）分解因式（
a< br>﹣
b
）+4
ab
的结果是 ．
10．（2分）已知 2+是关于
x
的方程
x
﹣4
x
+
m
＝0的 一个根，则
m
＝ ．
2
第1页（共24页）
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴
a
∥
b
．

12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图 如图所示．将一根长为20
cm
的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯
子外面的部分至 少有
cm
．

13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况 ，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数
据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ．
14．（2分）如图，
PA
、
PB
是⊙
O
的切线，
A
、
B
为切点，点
C
、
D
在⊙
O
上．若∠
P
＝102°，则∠
A
+∠
C
＝ ．

15．（2分）如图，在△
ABC
中，
BC
的垂直平分线
MN
交
AB
于点
D
，
CD
平分∠
ACB
．若
AD
＝2，
BD
＝3，则
AC
的长 ．

16．（2分）在△
ABC
中，
AB
＝4，∠
C
＝60°，∠
A
＞∠
B
，则
BC
的长的取值范 围是 ．
第2页（共24页）
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过
程或演算步骤）
17．（7分）计算（
x
+
y
）（x
﹣
xy
+
y
）
18．（7分）解方程：﹣1＝．
22
19．（7分）如图，
D
是△
ABC
的边
AB
的中点，
DE
∥
BC
，
CE
∥
AB
，
AC
与
DE
相交于点
F
．求证：△
ADF≌△
CEF
．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21．（8分）某校计划在暑假 第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活
动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（7分 ）如图，⊙
O
的弦
AB
、
CD
的延长线相交于点
P
，且
AB
＝
CD
．求证：
PA
＝
PC．
第3页（共24页）

23．（8分）已知一次函数
y
1
＝
kx
+2（
k
为常数，
k
≠0）和
y
2
＝
x
﹣3．
（1）当
k
＝﹣2时，若
y
1
＞
y
2
，求
x
的取值范围．
（2）当
x
＜1时，
y
1
＞
y
2
．结合图象，直接写出
k
的取值范围．
24．（8分）如图，山顶有一塔
AB
，塔高33
m
．计划在塔的正 下方沿直线
CD
开通穿山隧道
EF
．从与
E
点
相距 80
m
的
C
处测得
A
、
B
的仰角分别为2 7°、22°，从与
F
点相距50
m
的
D
处测得
A
的仰角为45°．求
隧道
EF
的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

25．（8 分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50
m
，宽40
m
， 要求扩充后的矩形广场长
与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩 充区域都铺设地砖，铺设
地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长 和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在Rt△
ABC
中，∠< br>C
＝90°，
AC
＝3，
BC
＝4．求作菱形
DEF G
，使点
D
在边
AC
上，点
E
、
F
在边
AB
上，点
G
在边
BC
上．
小明的作法
1．如图②，在边
AC
上取一点
D
，过点
D
作DG
∥
AB
交
BC
于点
G
．
2．以 点
D
为圆心，
DG
长为半径画弧，交
AB
于点
E< br>．
3．在
EB
上截取
EF
＝
ED
，连接< br>FG
，则四边形
DEFG
为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形
DEFG
是菱形．
第4页（共24页）
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点
D
的位置变化而变化……请你 继续探索，直接
写出菱形的个数及对应的
CD
的长的取值范围．

27．（11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线 行走到达目的地，只能按直角拐弯的方
式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy
，对两点
A
（
x
1
，
y
1）和
B
（
x
2
，
y
2
），
用 以下方式定义两点间距离：
d
（
A
，
B
）＝|
x< br>1
﹣
x
2
|+|
y
1
﹣
y
2
|．
【数学理解】
（1）①已知点
A
（﹣2，1），则
d
（
O
，
A
）＝ ．
②函数
y
＝﹣2
x
+4（0≤
x
≤2）的图象如图①所示，
B
是图 象上一点，
d
（
O
，
B
）＝3，则点
B
的 坐标是 ．
（2）函数
y
＝（
x
＞0）的图象如图②所示 ．求证：该函数的图象上不存在点
C
，使
d
（
O
，
C
）＝3．
（3）函数
y
＝
x
﹣5
x
+ 7（
x
≥0）的图象如图③所示，
D
是图象上一点，求
d
（
O
，
D
）的最小值及对应的
点
D
的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以
M
为起点，先沿
MN
方向到某处，再在该处
拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道 路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示
意图并简要说明理由）
2
第5页（共24页）

2019年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 （本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的 ，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2018年中国与“一带一路” 沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法
表示13000是（ ）
A．0.13×10
5
B．1.3×10
n
4
C．13×10
3
D．130×10
2
【 分析】科学记数法的表示形式为
a
×10的形式，其中1≤|
a
|＜10，< br>n
为整数．确定
n
的值时，要看
把原数变成
a
时，小 数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，
n< br>是正数；当原数的绝对值＜1时，
n
是负数．
【解答】解：13000＝1.3×10
故选：
B
．
【点评】此 题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
a
×10的形式，其中1≤|
a
|＜10，
n
4
n
为整数，表示时关键要正确确定
a的值以及
n
的值．
2．（2分）计算（
ab
）的结果是（ ）
A．
ab

23
23
B．
ab

53
C．
ab

6
D．
ab

63
【分析】根据积的乘方法则解答即可．
【解答】解：（
ab
） ＝（
a
）
b
＝
ab
．
故选：
D
．
【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的 关键．积的乘方，等于每个因式乘方
的积．
3．（2分）面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根
C．4开平方的结果
B．4的算术平方根
D．4的立方根
2323363
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是
故选：
B
．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．
第6页（共24页）
，即为4的算术平方根；
4．（2分）实数
a
、
b
、c
满足
a
＞
b
且
ac
＜
bc
，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A．
C．


B．
D．

【分析】根据不等式的性质，先判断
c
的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解答】解：因为
a
＞
b
且
ac
＜
bc< br>，
所以
c
＜0．
选项
A
符合
a
＞
b
，
c
＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是
A
．
选项
B
不满足
a
＞
b
，选项
C
、
D
不满足
c
＜0，故满足条件的对应点位置不可以是
B
、< br>C
、
D
．
故选：
A
．
【点评】本题考查 了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断
c
的
正负 ．
5．（2分）下列整数中，与10﹣
A．4 B．5
最接近的是（ ）
C．6 D．7
最接近的整数为6． 【分析】由于9＜13＜16，可判断
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜
∴与
＜4，
最接近的是4，
最接近的是6．
与4最接近，从而可判断与10﹣
∴与10﹣
故选：
C
．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
6．（ 2分）如图，△
A
'
B
'
C
'是由△
ABC
经过平移得到的，△
A
'
B
'
C
还可以看作是△
ABC
经过怎样的图形变
化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋 转；④2次轴对称．其中所有正确
结论的序号是（ ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△
ABC
与△< br>A
'
B
'
C
'重合．
第7页（共24页）
【解答】解：先将△
ABC
绕着
B
'
C
的中点旋转 180°，再将所得的三角形绕着
B
'
C
'的中点旋转180°，
即 可得到△
A
'
B
'
C
'；
先将△
ABC
沿着
B
'
C
的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着
B< br>'
C
'的垂直平分线翻折，即可得到△
A
'
B
'C
'；
故选：
D
．
【点评】本题主要考查了几何变换的类型 ，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平
行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被 对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线
的夹角等于旋转角．
二、填空题（本大 题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
7．（2分）﹣2的相反数是 2 ；的倒数是 2 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣2的相反数是 2；的倒数是 2，
故答案为：2，2．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
8．（2分）计算﹣的结果是 0 ．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝2
故答案为0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把 二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如 能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．（ 2分）分解因式（
a
﹣
b
）+4
ab
的结果是 （
a
+
b
） ．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（
a
﹣
b
）+4
ab

＝
a
﹣2
ab
+
b
+4
ab

＝
a
+2
ab
+9
b

＝（
a
+
b
）．
第8页（共24页）
2
22
22
2
22
﹣2＝0．
故答案为：（
a
+
b
）．
【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．（2分）已 知2+
【分析】把
x
＝2+
是关于
x
的方程
x﹣4
x
+
m
＝0的一个根，则
m
＝ 1 ．
代入方程得到关于
m
的方程，然后解关于
m
的方程即可．
代入方程得（2+）﹣4（2+
2
2
2
【解答】解：把
x
＝ 2+
解得
m
＝1．
故答案为1．
）+
m
＝0，
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ∠1+∠3＝180° ，
∴
a
∥
b
．

【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴
a
∥
b
（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为：∠1+∠3＝180°．
【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条 直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行．
12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开 图如图所示．将一根长为20
cm
的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯
子外面的部分 至少有 5
cm
．

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
第9页（共24页）
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（
cm
）．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
13 ．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数
据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 7200 ．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】 解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×
故答案为：7200． < br>【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、
中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，
这时对总体的估计也就越精确．
14．（2分）如图，
PA
、
PB
是⊙
O
的切线，
A
、
B
为切点，点
C
、
D
在⊙
O
上．若∠
P
＝102°，则∠
A
+∠
C
＝
219° ．
＝7200（人），

【分析】连接
AB
，根据切线的性质得到
PA
＝
PB
，根据等腰三角形的性质得到∠
P AB
＝∠
PBA
＝（180°
﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质 得到∠
DAB
+∠
C
＝180°，于是得到结论．
【解答】解：连接
AB
，
∵
PA
、
PB
是⊙
O
的切线，
∴
PA
＝
PB
，
∵∠
P
＝102°，
∴∠
PAB
＝∠
PBA
＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠
DAB
+∠
C
＝180°，
第10页（共24页）
∴∠
PAD
+∠
C
＝∠
PAB
+∠
DAB
+∠
C
＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．

【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2分）如图，在△
ABC
中，
BC
的垂直 平分线
MN
交
AB
于点
D
，
CD
平分∠< br>ACB
．若
AD
＝2，
BD
＝3，则
AC
的 长 ．

【分析】作
AM
⊥
BC
于
E
，由角平分线的性质得出＝＝，设
AC
＝2
x
，则
BC
＝3
x
，由线段垂直平
＝＝，
NE
＝
x
，
BE
＝
BN
+
EN
＝
x
，
CE
＝CN
分线得出
MN
⊥
BC
，
BN
＝
C N
＝
x
，得出
MN
∥
AE
，得出
﹣
EN
＝
x
，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：作
AM
⊥
BC
于
E
，如图所示：
∵
CD
平分∠
ACB
，
∴＝＝，
设
AC
＝2
x
，则
BC
＝3
x
，
∵
MN
是
BC
的垂直平分线，
∴
MN
⊥
BC
，
BN
＝
CN
＝
x
，
∴
MN
∥
AE
，
∴＝＝，
∴
NE
＝
x
，
第11页（共24页）
∴
BE
＝
BN
+
EN
＝
x
，CE
＝
CN
﹣
EN
＝
x
，
由勾股定 理得：
AE
＝
AB
﹣
BE
＝
AC
﹣
CE
，
即5﹣（
x
）＝（2
x
）﹣（
x
），
解 得：
x
＝
∴
AC
＝2
x
＝
故答案为：，
；
．
2222
22222

【点评】本题考查 了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理
等知识；熟练掌握线段 垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16．（2分）在△
ABC
中，
AB
＝4，∠
C
＝60°，∠
A
＞∠
B
，则
BC
的长的取值范围是 4＜
BC
≤
【分析 】作△
ABC
的外接圆，求出当∠
BAC
＝90°时，
BC
是直径最长＝
．
；当∠
BAC
＝∠
ABC
时，△
ABC
是等边三角形，
BC
＝
AC
＝
AB
＝4， 而∠
BAC
＞∠
ABC
，即可得出答案．
【解答】解：作△
ABC
的外接圆，如图所示：
∵∠
BAC
＞∠
ABC
，
AB
＝4，
当∠
BAC
＝90°时，
BC
是直径最长，
∵∠
C
＝60°，
∴∠
ABC
＝30°，
∴< br>BC
＝2
AC
，
AB
＝
∴
AC
＝< br>∴
BC
＝
，
；
AC
＝4，
当∠
BAC
＝∠
ABC
时，△
ABC
是等边三角形，
BC＝
AC
＝
AB
＝4，
∵∠
BAC
＞∠
ABC
，
∴
BC
长的取值范围是4＜
BC
≤；
第12页（共24页）