数学家的书籍初中数学建模案例

2020年11月23日发(作者：萧子云)
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中学数学建模论文指导
中学阶段常见的数学模型有：方程 模型、不等式模型、函数模型、几何模型
和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称 为应用建模。可
以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出
来的。
一、建模论文的标准组成部分

建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试 ，可以锻炼学生发现问题、解决
问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、 正文、
结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。

1. 题目

题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明
的现象。 建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法
计算商场打折与返券的实惠效应” 。

2. 摘要

摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语 言叙述论文的核心观
点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来
说，打折比返券的实 惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分
还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为 摘要是论文的主旨和核心内容的集中
体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要 。

摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。

第一句，用什么模型，解决什么问题。
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第二句，通过怎样的思路来解决问题。

第三句，最后结果怎么样。

当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。

3. 正文

正 文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是
从“提出问题—分析问题—选择 模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进
行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择 模型和建立模型应该
是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会使得论
文的层次上升。

4. 结论

论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文 的结论经得起推
敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文所描
述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点评，最好
是能将结论推广到社会实 践中去检验。

5. 参考资料

在论文中，如果使用了其他人的资料。必须在论文后标明引用文章的作者、
应用来源等信息。



二、建模论文的写作步骤

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1. 确定题目

选择一个你感兴趣的生活中的 问题作为研究对象，并根据研究对象设置论文
题目。最好是找一位或几位老师帮助安排研究课题。在确定 好课题后，应该写一
个写作计划给指导老师看看，并征求他们对该计划的建议。

2. 开展科研课题

去图书馆、互联网上查阅与课题相关的资料，观察有关的事件 ，收集与课题
相关的信息。同时如果有条件的话，可以去拜访相关领域的专家和学者。然后将
前 期所收集到的资料与自己所学的相关知识组织在一起，进行论文的结构论证。
完成这些工作后，你应该要 制定一个课题时间安排表，这样能保证书写论文的循
序渐进。记住在开始写论文后一定要不断地和老师、 家长进行沟通，让老师和家
长斧正论文中出现的明显错误，并能提出一些更好的研究建议。在论文写作结 束
以后，一定要得出结论。记住，在论文的结果出来后，有可能得出的结果与假设
并不相符，这 个并不重要，不要强行改变结果来迎合假设。只要你在论述过程中
严格地按照科学方法进行，你的论文还 是相当有价值的。最后，需要很好地写一
份摘要。摘要的字数应该是论文字数的十分之一左右。

3. 完成论文写作

完整的论文在完成以上步骤之后就可以新鲜出炉了 ，完成论文后，一定要再
看一遍自己的论文有没有错别字、计算错误、图形的移位或偏差等。最后，在论
文的结尾处应该写上感谢的话，感谢帮助你完成这篇论文的所有人。

喝饮料 品数学
湖南省 株洲市 北京师范大学株洲附属学校 C0812 班晏阳天 指导老师：董宏亮 < br>摘要：喝饮料，品数学。在日常生活中我们经常遇到用空瓶换汽水问题，喝完了，凉爽的汽
水还能 用空瓶换汽水继续喝，从中引发了我对问题的深入思考。如果用3个空瓶换一瓶新的
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汽水，当原有瓶数X为偶数时，当原有瓶数为 X 时, 总共能喝到多少瓶汽水呢如果现有 X
瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。总共又能喝到多少瓶 汽水呢这个问题的探讨与解
决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题，具有一定的 指导意义。
关键词：饮料 瓶数 空瓶 兑换 优化
一．问题的发现
日常 生活中,我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继
续喝，那简直是炎炎夏 日里的一种享受。如果没有经历过，那么这道小学时的奥林匹克数学
题你应该见到过：
现有10 瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢
我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14 瓶（先喝10 瓶，用9空瓶换来
3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4 个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空
瓶。共10+3+1=14 瓶）
当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了正确答案：借
来一个装满饮料 瓶，喝完后，连同那剩下的两个空瓶一起还给人家。所以共喝了 15 瓶。
这就是这道题的正确答案。
最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢于是我 就开始了对这个论文
题目的思考与研究。
二. 建立数学模型
我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
原有饮料瓶数X
1
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3
4
5
6
实际能喝到的瓶数
1
3
4
6
7
9
4
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7
8
9
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注意观察：看下方整理过的列表
发现什么了吗
原有饮料瓶数X
2
4
6
8
10

1
3
5
7
9

10
12
13
15
实际能喝到的瓶数
3
6
9
12
15

1
4
7
10
13
根据不完全归纳的情况，我得出这样一个重要的规律：
当原有偶数瓶饮料时，实际能喝到原来倍瓶数的饮料。
当原有奇数瓶时，则实际喝到原来 倍瓶数取整数的饮料。
但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢
三. 数学模型的分析与问题的解决
又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头 那种“借瓶子”
的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两 个
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一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的汽水（只可以 喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正
面对待问题了。
当原有瓶数 X 为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2 个组，每组个正好分完。每
组又是一瓶。共喝掉X + = X 瓶。
当原有瓶数X为奇数时：先喝掉 X 瓶，然后把空瓶分为2个组，每组 （X－1）个，还
剩一个空瓶，浪费掉。共喝 X +（X—1）= 瓶。其实取整之后结果是和上述整理过的表格
一一对应的。 这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。
通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢如果是 4 个、5 个或更多空瓶换一瓶饮料，
又会怎么样呢
四. 数学模型的进一步推广
现有 X 瓶汽水，每 Y 个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢
由上文的推导过程来看，如 果是Y个空瓶可以换一瓶饮料，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就
可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当 喝完X瓶饮料得到X个空瓶之后，又能喝到 [ X/
（Y—1）]瓶饮料。总共就是 [ X + X /（Y—1）] 瓶饮料(若除不尽时则向下取整数)。整
理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶 饮料(若除不尽则向下取
整数)。
五. 论文总结

问题：现有 X 瓶饮料，每 Y 个空瓶可以换一瓶新的饮料。问总 共能喝到多少瓶饮料
呢
答：总共可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶饮料(若除不尽则向下取整数)
这篇文章的题目是我在坐长途汽车时偶然想到的。 在百般无聊的时候，我给我父亲出
了此论文 开始时那样的一道问题，却引发了我们长时间的讨论。这种题目的类型不止用于换
饮料当中。啤酒、酱油 、 醋……生活中的这类问题也并不少见。而细致地进行处理，周密
地进行思考，就可以从容地应对那些 看似复杂的问题。这个问题的探讨与解决，对于我们在
日常生活中如何处理使开支与效益达到最优化具有 一定的指导意义。
参考文献：
[1]韩中庚。数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社.2005
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