海文数学班初中数学建模案例资料

2020年11月23日发(作者：刘卫伟)
初数学建模案例




中
中学数学建模论文指导
中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何 模
型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建
模。可以分五种模 型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的
会被搜出来的。
一、建模论文的标准组成部分

建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻 炼学生发现问题、解
决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正
文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。

1. 题目

题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不
明的现象。建议将论文 所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方
法计算商场打折与返券的实惠效应”。

2. 摘要

摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙 述论文的核心
观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，
必须 把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费
者来说，打折比返券的实惠率 提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他
部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要 是论文的主旨和核心内容的
集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。

摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。

第一句，用什么模型，解决什么问题。

第二句，通过怎样的思路来解决问题。

第三句，最后结果怎么样。

当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。

3. 正文

正 文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该
是从“提出问题—分析问题—选择 模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进
行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择 模型和建立模型应
该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要
用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会
使得论文的层次上升。

4. 结论

论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文 的结论经得起
推敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文
所描 述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点
评，最好是能将结论推广到社会实 践中去检验。

5. 参考资料

在论文中，如果使用了其他人的资料。必须在论文后标明引用文章的作
者、应用来源等信息。



二、建模论文的写作步骤

1. 确定题目

选择一个你感兴趣的生活中的问题作为研究对象，并根据研究对象设置论
文题目。最 好是找一位或几位老师帮助安排研究课题。在确定好课题后，应该
写一个写作计划给指导老师看看，并征 求他们对该计划的建议。

2. 开展科研课题

去图书馆、互联网上查 阅与课题相关的资料，观察有关的事件，收集与课
题相关的信息。同时如果有条件的话，可以去拜访相关 领域的专家和学者。然
后将前期所收集到的资料与自己所学的相关知识组织在一起，进行论文的结构论证。完成这些工作后，你应该要制定一个课题时间安排表，这样能保证书写
论文的循序渐进。记住 在开始写论文后一定要不断地和老师、家长进行沟通，
让老师和家长斧正论文中出现的明显错误，并能提 出一些更好的研究建议。在
论文写作结束以后，一定要得出结论。记住，在论文的结果出来后，有可能得
出的结果与假设并不相符，这个并不重要，不要强行改变结果来迎合假设。只
要你在论述过程中 严格地按照科学方法进行，你的论文还是相当有价值的。最
后，需要很好地写一份摘要。摘要的字数应该 是论文字数的十分之一左右。

3. 完成论文写作

完整的论文在完成 以上步骤之后就可以新鲜出炉了，完成论文后，一定要
再看一遍自己的论文有没有错别字、计算错误、图 形的移位或偏差等。最后，
在论文的结尾处应该写上感谢的话，感谢帮助你完成这篇论文的所有人。

喝饮料 品数学
湖南省 株洲市 北京师范大学株洲附属学校 C0812 班晏阳天 指导老师：董宏亮
摘要：喝饮料，品数学。在日常生活中我们经常遇到用空瓶换汽水问题， 喝完
了，凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，从中引发了我对问题的深入思考。
如果用3个空 瓶换一瓶新的汽水，当原有瓶数X为偶数时，当原有瓶数为 X 时,
总共能喝到多少瓶汽水呢？如果现有 X 瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽
水。总共又能 喝到多少瓶汽水呢？这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生
活中如何使开支与效益达到最优化等问题 ，具有一定的指导意义。
关键词：饮料 瓶数 空瓶 兑换 优化
一．问题的发现
日常生活中,我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空
瓶换汽水继续喝，那 简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么这
道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过：
现有10 瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽
水呢？
我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14 瓶（先喝10 瓶，用
9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4 个空瓶。然后用3个空瓶再换一整
瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14 瓶）
当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了
正确答案：借来一个装满饮料 瓶，喝完后，连同那剩下的两个空瓶一起还给人
家。所以共喝了 15 瓶。
这就是这道题的正确答案。
最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢？于是 我就开
始了对这个论文题目的思考与研究。
二. 建立数学模型
我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
原有饮料瓶数X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
注意观察：看下方整理过的列表
发现什么了吗？
原有饮料瓶数X
2
4
6
8
10

1
3
实际能喝到的瓶数
3
6
9
12
15

1
4
实际能喝到的瓶数
1
3
4
6
7
9
10
12
13
15
5
7
9

7
10
13
根据不完全归纳的情况，我得出这样一个重要的规律：
当原有偶数瓶饮料时，实际能喝到原来1.5倍瓶数的饮料。
当原有奇数瓶时，则实际喝到原来 1.5 倍瓶数取整数的饮料。
但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢？
三. 数学模型的分析与问题的解决 又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头
那种“借瓶子”的方法再喝 一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些
剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“ 没有空瓶”的汽水（只可以
喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正面对待问题了。
当原有瓶数 X 为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2 个组，每组
0.5X个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X + 0.5X = 1.5 X 瓶。
当原有瓶数X为奇数时：先喝掉 X 瓶，然后把空瓶分为2个组，每组 0.5
（X－1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝 X +0.5（X—1）= 1.5X-0.5 瓶。其
实取整之后结果是和上述整理过的表格一一对应的。 这正验证了上文中不完全
归纳得出的结论。
通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是 4 个、5 个或更多空
瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢？
四. 数学模型的进一步推广
现有 X 瓶汽水，每 Y 个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽
水呢？