于予与何诛：圆锥曲线与直线相切的条件教案

2020年11月24日发(作者：余炽昌)
圆锥曲线与直线相切的条件教案
教学目的

(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；
(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；
(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．

教学过程

一、问题提出

1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？
(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛
物线．)

(由教师启发下，让学生共同讨论．)
(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；
(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；
(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．
因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．
3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？


设直线
l
′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线
l
′绕点P
旋转，使点 Q逐渐靠近点P，当
l
′转到直线
l
的位置时，点Q与点P重
合，这 时，直线
l
叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线
l
相切．根据 这个定义，于是圆锥曲线方程
f(x，y)＝0
与直线方程
y＝kx＋m
组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个
相同的实数解的充要条 件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．
(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)
今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．

二、讲述新课



根据上面分析，得

由②代入①，化简、整理得
(αk
2
＋β)x
2
＋2αkmβ＋α(m
2
－β )＝0．③
当αk＋β≠0时(二次项系数)，
Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)
＝4α
2
k
2
m
2
－4α
2
k
2
m
2
＋4α
2
k
2
β－4αβm
2
＋4αβ2
＝4αβ(αk
2
＋β－m
2
)．
(启发学生讨论．)
由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线
y＝kx＋m相切的充要条件为
m
2
＝αk
2
＋β，(αk
2
＋β≠0) ④
这里αk
2
＋β恰是方程③的二次项系数．
(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进
行讨论，教师边归纳，边板书．)
(1)对于圆x
2
＋y
2
＝γ
2
，可写成
22222
2

即有α＝β＝γ
2
，于是相切条件为 m
2
＝γ
2
(k
2
＋1)．
(2)对于椭圆(焦点在x轴上)

即有α＝a，β＝b，于是相切条件为m＝ak＋b．
(3)对于椭圆(焦点在y轴上)
222222

即有α＝b
2
，β＝a
2
， 于是相切条件为m
2
＝b
2
k
2
＋a
2
．
(4)对于双曲线(焦点在x轴上)

即有α＝a
2
，β＝－b
2
，于是相切条件为m
2
＝a
2
k
2< br>－b
2
．
(5)对于双曲线(焦点在y轴上)

即有α＝－b
2
，β＝a
2
，于是相切条件为m
2
＝a2
－b
2
k
2
．
[应用有心曲线统一公式，这 样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一
个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷 ．]
2．无心的二次曲线y
2
＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件
根据上面的分析，得

由②代入①，化简整理，得
(kx＋m)
2
＝2px，
k
2
x
2
＋(2mk－2p)x＋m
2
＝0．
当二次项系数k
2
≠0时，
Δ＝(2mk－2p)
2
－4k
2
m
2
＝4p
2
－8mkp
＝4p(p－2mk)＝0．

无心的二次曲线x
2
＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为

(让学生独立完成．)

三、巩固新课


(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，
再根据椭


解 设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有

由②代入①，化简整理，得
81k
4
＋36k
2
－5＝0，
(9k
2
－1)(9k
2
＋5)＝0，
∵9k
2
＋5≠0，∴9k
2
－1＝0，

代入②，得m＝±5．
因此，所求的公切线方程为

即
x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．
求双曲
线的两条互
相垂直的切
线交点的轨
迹方程．
(帮助学生分析解题的几个要点，然
后由学生上黑板解，教师巡视指点．)

y=kx＋m，
则由相切条件，可知m
2
=a
2
k
2
－b
2
．
(2)设两切线交点为P(x
0
，y
0
)，则切线方程为
y－y
0
=k(x－x
0
)，
即
y=kx＋(y
0
－kx
0
)．
(3)y=kx＋m，y=kx＋(y
0
－kx
0
)表示同一直线，就有
m=(y
0
－kx
0
)，
∴(y
0
－kx
0
)=ak－b．
整理得
2222


(4)k
1
k
2
=－ 1，用韦达定理从方程①求得k
1
k
2
，


即

因此，点P的轨迹方程为
x＋y=a－b．
这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；
a=b，点P的轨迹是一个点圆；
a＜b，点P无轨迹(虚圆)．
解略．

2222

法，不难得出轨迹方程为圆方程
x＋y=a＋b；
这题若改为求抛物线y= 2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹
方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为
2
2222

即点P一定在准线上．
[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]

四、练习

1．已知
l
为椭圆x＋4y=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求
|AB|的最小值及取得最小值时切线
l
的方程．
22

解 如图2，设切线方程为
y=kx＋m，
根据相切条件有m
2
=4k
2
＋1，即①
|OA|2=4k
2
＋1．
在y=kx＋m中，令y=0，得


即

于是得






代入m=4k＋1，求得
22


因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为




求四边形ABCD的最大面积．



则由相切条件，知
m
2
=a
2
k
2
＋b
2
，

故两切线方程为

即

两切线间的距离


∴四边形ABCD的最大面积为


五、补充作业



轨迹方程．
2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．

教案说明

这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中
培养能力，特别是思维能力．数学思维 结构与科学结构十分相似，学习
数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学< br>知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上
述结构进行训练，就是使学 生形成完整的思维结构，使对数学的认识有
新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课 题．
这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学
生的分析能力．讲 解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达
到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而 不是教师满堂灌．
在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性
练习 ，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形
成完整体系，以认识数学本身．