高等数学积分公式初三数学中考动点问题复习含标准答案.doc

2020年11月24日发(作者：曹龟年)






2012 年中考数学动点问题

201206-001 如图，在平行四边形

ABCD中， AD=4cm，∠ A=60°， BD⊥AD.一动点
P 从
A 出发，
以每秒 1cm 的速度沿 A→B→C的路线匀速运动，过点

P 作直线 PM，使 PM⊥AD.
1．当点 P 运动 2 秒时，设直线

PM与 AD相交于点 E，求△ APE 的面积；
2．当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 A→B的路线运动，且
在 AB上以每秒 1cm 的速度匀速运动， （当 P、Q中的某一点到达终点，则两点
都停止运动 . ）过 Q作直线 QN，使 QN∥PM，设点 Q运动的时间为 t 秒（0≤t ≤
8），直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为 S（ cm2） .
（ 1）求 S 关于 t 的函数关系式；
（ 2）求 S 的最大值 .
分两种情况：
（ 1）①当 P、 Q都在 AB上运动时， PM、 QN截平行四边形 ABCD所得的图形永远
为直角梯形 . 此时 0≤t ≤6.
②当 P 在 BC上运动，而 Q在 AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边
形 DFQBPG不.规则图形面积用割补法 . 此时 6＜t ≤8.






































































201206-002 ．如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC为菱形，点 C 的坐标为 (4,0) ，∠AOC=60°，
垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿
1. 求 A、 B 两点的坐标；
x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线

l 与菱
形 OABC的两边分别交于点 M、 N( 点 M在点 N的上方 ).
2. 设△ OMN的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒(0 ≤t ≤6) ， 试求 S 与
t 的函数表达式；
3. 在题 (2) 的条件下， t 为何值时， S 的面积最大最大面积是多少














































直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形

OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t ≤2时，直线 l 与 OA、OC两边相交 ( 如图① ).
②2＜t ≤4时，直线 l 与 AB、OC两边相交 ( 如图② ).
③4＜t ≤6时，直线 l 与 AB、BC两边相交 ( 如图③ ).














3 如图所示，在直角坐标系中，矩形
ABCD的边 AD在 x 轴上，点 A 在原点， AB＝ 3， AD＝ 5．若













矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动． 同时点 P 从 A 点出发以每秒
－ B－C－ D 的路线作匀速运动．当 P 点运动到

D 点时停止运动，
ABCD也随之停止运动．
⑴求 P 点从 A 点运动到

D 点所需的时间；
⑵设 P 点运动时间为 t （秒） .
当 t ＝ 5 时，求出点

P 的坐标；
若⊿ OAP的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并
应的自变量 t 的取值范围） ．
1 个单位长度沿

A
矩

形
写 出 相







004 、（09 包头）如图，已知
点．
点向 A 点运动．
△
ABC
中，
AB

AC 10
厘米，
BC 8
厘米，点
D
为
AB
的中
（ 1）如果点 P 在线段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C

①若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过
1 秒后，
△BPD
与
△
CQP
是否全等，请说明
理由；
②若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点

Q的运动速度为多少时，能够
△
使
△BPD
与

CQP

全等

（ 2）若点 Q以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B同时出发，
都逆时针沿
△ ABC
三边运动，求经过多长时间点

P

与点

Q第一次在
△ ABC
的哪条
边上相遇


A

D
Q

B C
P












y
3
x 6

005、（09 齐齐哈尔）直线
4
与坐标轴分别交于
A、 B
两点，动点
P
、
Q


同时从
O
点出

发，同时到达
A
点，运动停止．点
Q
沿线段
OA
运动，速度为每秒 1 个单位长度，点
P
沿路线
O

→
B
→
A
运动．

（ 1）直接写出
A
、
B
两点的坐标；



△
（

2
）设点

Q

的运动时间为
t
秒，

OPQ

的面积为

S

，求出

S

与
t
之
间的函数关系式；


（ 3）当
S
5
48


时，求出点
P
的坐标，并直接写出以点
O、

顶点的平行四边形的第四个顶点
M
的坐标．

、Q
为


y

B



P




x
O Q A

P







006（ 09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线

l ：y=－2x－ 8 分别与 x 轴， y 轴相交于
A， B 两
点，点 P（ 0， k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以

P 为圆心， 3 为半径作⊙ P.
（ 1）连结 PA，若 PA=PB，试判断⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
（ 2）当 k 为何值时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形解：
（1）⊙P 与 x 轴相切 .
∵直线 y=－ 2x－ 8 与 x 轴交于 A（4， 0），
与 y 轴交于 B（0，－ 8），
∴ OA=4， OB=8.
由题意， OP=－k，
∴ PB=PA=8+k.
在 Rt△AOP中， k2+42=(8+k)2 ，
∴k=－ 3，∴ OP等于⊙P 的半
径，∴⊙P与 x 轴相切 .
（ 2）设⊙P 与直线 l 交于 C， D 两点，连结

PC， PD
当圆心 P 在线段 OB上时 , 作 PE⊥CD于 E.
1

3
∵△ PCD为正三角形，∴ DE= 2 CD=2 ，PD=3，
3 3
∴ PE= 2 .
∵∠ AOB=∠PEB=90°，

∠ABO=∠PBE，
∴△ AOB∽△ PEB，
3 3

AO PE
,即
4
=
2

PB
3 15
,
∴
AB
PB 4 5
PB
，∴

2
PO
BO PB 8
3 15
∴

2
，
P(0,
3

15
8)k
3 15
8


∴
2
，∴
2 .


3 15
当圆心 P 在线段 OB延长线上时 , 同理可得 P(0, － 2 － 8) ，
3

15

∴k=－

2
－ 8，

3 15 3 15

∴当 k=

2
－ 8 或 k=－
2
－ 8 时，以⊙ P 与直线 l 的两个交点
和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形

.





































007（09 济南）如图， 在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD

3， DC 5， AB 4 2，∠ B 45 ．
动点
M
从
B
点出发沿线段
BC
以每秒

2

个单位长度的速度向终点

C
运动；


A D

动点
N
同时从
C
点出发沿线段
CD
以每秒

1

个单位长度的速度向终点
D
运

动．设运动的时间为
t
秒．

（ 1）求
BC
的长．

（ 2）当
MN

∥

AB
时，求
t
的值．

（ 3）试探究：
t
为何值时，
△

MNC
为等腰三角形．


B M


N
C


008（ 09 兰州）如图①，正方形 ABCD中，点 A、B
的坐标分别为（

0， 10），（ 8， 4），
点 C 在第一象限．动点

P 在正方形 ABCD 的边上，
从点 A 出发沿 A→ B→ C→ D匀速运动，
同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动， 当 P
点到达 D 点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为

t 秒．
(1) 当 P 点在边 AB上运动时， 点 Q的横坐标
x
（长
度单位） 关于运动时间 t（秒）的函数图象如图②所
示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；
(2) 求正方形边长及顶点 C的坐标；
(3) 在（ 1）中当 t 为何值时，△ OPQ的面积最大，并求此时 P 点的坐标；
(4) 如果点 P、 Q保持原速度不变，当点 P 沿 A→ B→ C→ D 匀速运动时， OP与 PQ能否相等，若能，
写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由．





















009（09 太原）问题解决

如图（ 1），将正方形纸片
ABCD
折叠，使点
B
落在
CD
边上一点
E
（不与点
C
，
D
重合），压平


CE 1 AM

后得到折痕

MN

．当
CD
2
时，求
BN
的值．


















方法指导：

AM

为了求得
BN
的值，可先求
BN
、
AM
的长，不妨设：
AB
=2

类比归纳

CE
在图（ 1）中，若
CD


1 AM

，

3
则
BN
的值等于
CE 1
CE 1 AM
，
；若
CD 4
则
BN
的
AM


F
A M




D
E


值等于
含 的式子表示）

联系拓广

n
；若
CD


n
（

为整数），则
BN
的值等于


n





．（用
B



























N
图（ 1）
C


















如图（ 2），将矩形纸片
ABCD
折叠，使点
B
落在
CD
边上一点
E
（不与点
AB

1

C
，
D
于




































MN，
重 合 ）， 压 平 后 得 到 折 痕
设
BC m
．（用含
m

1 ，

CE

1

，
AM
的 值 等
F
A
M

CD n
则
BN

m
，
n
的式子表示）













D

E




















B

N
图（ 2）
C
A








M
F
D

A
M



F
G

D

E

E
B


B

N
图（1-1 ）
C
C
N
图（ 1-2 ）


















胜










2012 年中考数学动点问题

201206-001 如图，在平行四边形

ABCD中， AD=4cm，∠ A=60°， BD⊥AD.一动点
P 从
A 出发，
以每秒 1cm 的速度沿 A→B→C的路线匀速运动，过点

P 作直线 PM，使 PM⊥AD.
1．当点 P 运动 2 秒时，设直线

PM与 AD相交于点 E，求△ APE 的面积；
2．当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 A→B的路线运动，且
在 AB上以每秒 1cm 的速度匀速运动， （当 P、Q中的某一点到达终点，则两点
都停止运动 . ）过 Q作直线 QN，使 QN∥PM，设点 Q运动的时间为 t 秒（0≤t
≤8），直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为 S（ cm2） .
（ 1）求 S 关于 t 的函数关系式；
（ 2）求 S 的最大值 .
分两种情况：
（ 1）①当 P、 Q都在 AB上运动时， PM、 QN截平行四边形 ABCD所得的图形永远
为直角梯形 . 此时 0≤t ≤6.
②当 P 在 BC上运动，而 Q在 AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边
形 DFQBPG不.规则图形面积用割补法 . 此时 6＜t ≤8.

































































1. 分析：此题为点动题，因此，

1) 搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；

2）
分析在运动中点的几种特殊位置.
求出△ APE 的面积 .
由题意知，点 P 为动点，所走的路线为： A→B→C 速度为 1cm/s 。而 t=2s ，故可求出 AP 的值，进而



















































略解：由
AP=2 ，∠ A=60°得
AE=1，EP=
.
因此
.
2. 分析：两点同时运动，点

故分两种情况：
P 在前，点 Q在后，速度相等，因此两点距出发点

A 的距离相差
总是 2cm.P 在 AB 边上运动后，又到 BC边上运动 . 因此 PM、 QN截平行四边形

ABCD所得图形不同 .
（1）①当 P、 Q 都在 AB 上运动时， PM、 QN截平行四边形 ABCD所得的图形永远为直角梯形

.
此时 0≤t ≤6.
②当 P 在 BC上运动， 而 Q在 AB边上运动时， 画出相应图形， 所成图形为六边形

则图形面积用割补法

. 此时 6＜t ≤8.
DFQBPG不.规
⑴略解：①当 P、 Q同时在 AB边上运动时， 0≤t ≤6.









AQ=t,AP=t+2, AF=

t,QF=

t,AG= (t+2),

由三角函数

PG=

(t+2),
FG=AG-AF= (t+2)-







t= =

·(QF+PG)·FG=

[

t+

(t+2)]

·1=

t+

.
②当 6＜t ≤8时，
S=S平行四边形

ABCDS-△AQF- S△GCP.
易求 S 平行四边形 ABCD=16 ,S △AQF= AF·QF=





t2.
而





S△CGP=

PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.

由 比 例 式

可 得
∴PG=















(10- t). ∴S△CGP= PC·PG= (10- t) ·











(10-t)=

(10-t)2.
∴S=16


- t2- (10-t)2=
(6 ＜t ≤8
⑵分析 : 求面积的最大值时 , 应用函数的增减性求 . 若题中分多种情况

, 那么每一种情况都要分
别求出最大值， 然后综合起来得出一个结论 . 此题分两种情况 , 那么就分别求出 0≤t ≤6和 6＜t ≤8






















, 由于一次项系数是正数 , 面积 S 随
t
时的最大值 . 0


≤t ≤6 时, 是一次函数 , 应用一次函数的性质
.
的增大而增大
. 当 6 ＜t ≤8时 , 是二次函数 , 应用配方法或公式法求最值





略解：由于























所以 t=6 时， S 最大＝











；




由于
S＝
(6 ＜t ≤8, 所以
t=8
时，S 最大 =6
.
.
综上所述
,
当
t=8
时， S 最大 =6



























201206-002 ．如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC为菱形，点 C 的坐标为
(4,0)
，∠AOC=60°，
垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿
的速度运动，设直线

N 的上方 ).
1. 求 A、 B 两点的坐标；
x 轴正方向以每秒 1 个单位
M、 N(点 M
长 度
在 点
l 与菱形 OABC的两边分别交于点

2. 设△ OMN的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒(0 ≤t ≤6) ，


试 求



S 与
t 的函数表达式；































3. 在题 (2) 的条件下，
t
为何值时，
S 的面积最大最大面积是






多少
直线 l 从 y 轴出发，沿

















x 轴正方向运动与菱形

OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t ≤2时，直线 l 与 OA、OC两边相交 ( 如图① ).
②2＜t ≤4时，直线 l 与 AB、OC两边相交 ( 如图② ).
③4＜t ≤6时，直线 l 与 AB、BC两边相交 ( 如图③ ).






1. 分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B 两点的坐标 . 解：
∵四边形 OABC为菱形，点 C 的坐标为 (4,0) ，






∴OA=AB=BC=CO=4如图.①，过点

AOC=60°，∴ OD=2， AD=

∴A(2,

) ， B（ 6,

A 作 AD⊥OC于 D.∵∠
.
） .
2. 分析：直线 l 在运动过程中，随时间 t 的变化，△ MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有
情况画出相应 的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之
一 .
直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形

OABC的两边相交有三种情况：















① 0≤t ≤2时，直线 l 与 OA、OC两边相交
(

如图① ).
②2＜t ≤4时，直线 l 与 AB、OC两边相交
(

如图② ).
③4＜t ≤6时，直线 l 与 AB、BC两边相交
( 如图③ ).
略解：①∵ MN⊥OC，∴ ON=t. ∴MN=ONtan60°=

. ∴S= ON·MN=

t2.
②S= ON·MN= t ·2

=

t.
③方法一：设直线

l 与 x 轴交于点 H.∵MN＝ 2

-

(t-4)=6

-

t,
∴S= MN·OH= (6-t)t=-
t2+3t.
方法二：设直线

l 与 x 轴交于点 H.∵S=S△OMH- S△ONH，∴ S= t ·2

- t ·
-

t2+3

t.
方法三：设直线

l 与 x 轴交于点 H.∵S=

,
=4×2

=8

,

=

·2

·(t -2)=

t-2

,
= ·4·

(t-4)=2

t-8

,

=

(6-t)(6-t)=18

-6

t+

t2,
∴S=8

-(

t-2

)-(2

t-8

)-(18

-6

t+

t2)=-

t2+3

t.
(t-4)=




































































3. 求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值

















.
略解：由 2 知，当
当 2＜t ≤4时，





0≤t ≤2时，



=
×22=2
；
=4

；
当 4＜t ≤6时，配方得





S=-

(t-3)2+

，
∴当 t=3 时，函数 S＝ -






t2+3

t 的最大值是

.
但 t=3 不在 4＜t ≤6内，∴在













4＜t ≤6内，函数 S＝ -





























t2+3

t 的最大值不是






.





而当 t ＞ 3 时，函数 S＝-



t2+3
t
随
t
的增大而减小，∴当
4＜t ≤6 时， S＜ 4
.
综上所述，当

t=4 秒时，
=4
.














练习 1

如图所示， 在直角坐标系中， 矩形 ABCD的边 AD在 x 轴上，点 A 在原点， AB＝3，AD＝ 5．若
矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动． 同时点 P 从 A 点出发以每秒
－ B－C－ D 的路线作匀速运动．当 P 点运动到 D 点时停止运动，

ABCD也随之停止运动．
⑴求 P 点从 A 点运动到

D 点所需的时间；
⑵设 P 点运动时间为 t （秒） .
当 t ＝ 5 时，求出点

P 的坐标；
若⊿ OAP的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并

应的自变量 t 的取值范围） ．
1 个单位长度沿

A
矩

形
写 出 相