数学枯燥“数及式”初中中考数学专题复习总结.doc

2020年11月24日发(作者：陈慧琳)











.
“数与式”中考数学专题复习
●中考命题形势与趋势
翻阅手中近几年全国各地的中考试卷，仔细琢磨“数与式”的试题发现，这部分知识多考查实数、整式、
分式以及二次根式的有关概念及其简单运算和求值，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本
章的热点考题 .由于数与式涉及的知识点比较多，

围比较广， 而且都是研究数学的基础知识，

所以预计

2010
. 的中考中的基础知识的考查仍注重这些容，题型除了会加大创新的力度外，还将会沿袭传统的题型

●数与式试题的特点
与数与式有关的试题的题型一般相对来说都比较小，而且大多出现在选择 与填空中，即使出现个别的解
答题，一般也是靠近较前面的，好让同学们下笔就能得分，个别探索型和开 放型的题目也只需同学们略动一








下脑筋就能解答，一般没有偏难的题目，更没有同学们没有遇到的问题，至于，试卷中会出现一些新
定义，或简单的阅读理解问题， 也会让同学们一看即会明了的，

同学们只要注重基础知识的复习，不遗漏任何一个知识即可

●典型问题归类例析
专题 1

实数
总之，数与式部分的试题大多属于送分题，
.
一、知识点
1.实数的分类：按定义来分类：有理数和无理数；按正、负数来分类：正实数、

2.实数和数轴上的点是一一对应的

.
0、负实数 .
3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数






.若
a
、
b
互为相反数，则
a
+
b
＝

0，或


b
a

＝－ 1(
a
、
b
≠ 0).

a a
a
＝
0
a
a a

0 ,
0 ,
0 .
4.绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离

5.倒数：乘积为 1 的两个实数互为倒数，即若
互为倒数 .这里应特别注意的是 0 没有倒数 .

a
与
b
互为倒数，则
ab
＝

1

；反之，若
ab
＝

1，则
a
与
b

6.科学记数法、近似数和有效数字：把一个数记成
记数法的实质是有理数的乘方，


a
×10
n
的形式，这种记法叫科学记数法
.注意，科学
其中 1≤
a
＜ 10，
n
是比原数的整数位数小
1 的正整数 .近似数是指近似地
.由四舍五入得到的近似 表示某一个量的数 .一个近似数，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位
字 .
数精确到某一位，那么从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所以的都叫做这个数的有效数


7.平方根、算术平方根和立方根：若
x
2
＝
a
（
a
≥0），则
x
就叫做
a
的平方根

.一个非负数
a
的平方根可
以符号表示为“±
a
”；正数
a

的正的平方根，叫做


a
的算术平方根，记为“
a
”.如果一个数的立方等于
a
，
那么这个数叫做
a
的立方根

.













2
＝
a a
≥
，
2
＝
a a
.
a
(
0)

9.实数的混合运算顺序：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后
8.实数的开方运算：
10.实数的大小估算与实数大小的比较：















算加减， 有括号的要先算括号里面的， 同级运算要按照从左到右的顺序进行 .有理数的运算律在实数围仍然适用 .
（ 1）数形结合法；（ 2）作差法比较；（ 3）作商法比较；（ 4）倒
数法；（ 5）平方法 .
二、考题例析
考点 1

负数的意义
例 1（江市）汽车向东行驶

5 千米记作 5 千米，那么汽车向西行驶

5 千米记作（

）
Word 资料




.

A.5 千米

B.－ 5 千米

C.10 千米

D.0 千米

分析 由负数的意义可知，汽车向东行驶

5 千米与汽车向西行驶

5 千米是表示两个相反意义的量，既
然汽车向东行驶
5 千米记作 5 千米，那么汽车向西行驶 5 千米就应该记作与 5 千米相反的量 .

解 因为汽车向东行驶
5 千米记作 5 千米，所以汽车向西行驶

5 千米就应该记作－ 5 千米 .故应选 .

B
说明 本题意在让同学们进一步体会负数的意义，知道负数的产生是源于生活，并服务于生活

.
考点 2
实数的概念

例 2（市） 2009 的相反数是（

）

A.－ 2009

B.2009
1

1


C.－

D.


2009

2009

分析 利用相反数的定义直接求得
2009
的相反数 .

解
因为 2009
的相反数是－
2009 ，所以应选
A
.

说明 明白相反数的意义可容易求解，即只有符号不同的两个数称为相反数，

0 的相反数是 0 ，互为
相反数总是成对出现的，不能出现类似“
2009
是相反数”的错误 .

考点 3
数轴

例 3（市）数轴上的点
A
、
B
位置如图所示，则线段
AB
的长度为（
）

A.－ 3

B.5

C.6

D.7



-5


2


A

0 B

分析 数轴上任意两点之间的距离等于这两点对应的数值的差的绝对值，由此可以求解
.

解
因为
A
点对应的数值为－
5，
B
点对应的数值为 2，所以
AB
＝
5 2
＝
7
＝ 7，

所以应选
D
.

说明 利用数轴上任意两点间的距离公式计算线段的长度时并不需要考虑数值的先后

.如，本题中
AB
＝
2

5
＝
7
＝

7.

考点 4
科学记数法、近似数与有效数字

例 4（市） 2009 年 10 月 11
日，第十一届全运会将在美丽的泉城召开
.奥体中心由体育场，体育馆、
游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈

“三足鼎立 ” 、 “ 东荷西柳 ”布局 .建筑面积约为


359800
平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（保留三个有效数字） （

）

A.35.9 ×10
5
平方米

B.3.60×10
5
平方米

5 4
C.3.59×10 平方米

D.35.9 ×10 平方米

分析
数据 359800 有 6 个整数位， 即用科学记数法表示时 10
的指数为
5，要求保留三个有效数字时，
则从 8 开始四舍五入 .

解
因为 359800 ≈ 360000 ，所以用科学记数法表示为 3.60×10
5
.故应选
B
.

说明 本题考查科学记数法和有效数字，求解时应注意，将一个数用科学记数法表示为
a
×10
n
(1≤
a
＜ 10)的形式，其中
a
的有效数字就是
a
×10
n
的有效数字，且
n
等于这个数的整数位数减
1.

考点 5
实数的估算

例 5（市）估计 20 的算术平方根的大小在（
）

A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间

C.4 与 5 之间

D.5 与 6 之间


2 2

分析 要估计
20 的算术平方根的大小，即估计
20
围，此时，由于

4

＝

16，
5 ＝ 25，由此可以求解 .

2

2


解
因为 4 ＜
20
＜

5

，所以

20
的算术平方根在
4 和 5 之间 .故应选
C
.

说明 对实数的估算，可以借助于数的平方，从而确定一个无理数的大致围
.

Word 资料






.

考点 6
6


实数的比较大小





1




例 （市 ）设


a
2

＝
0
，

＝

－







b
(

c
3)



， ＝
3
2
9


，
d
＝






1
2


，则

、

、 、




a b c d
按由小到大的顺序排列正确





的是（ ）
A.
c
＜
a
＜
d
＜
b
B.
b
＜
d
＜
a
＜
c

C.
a
＜
c
＜
d
＜
b
D.
b
＜
c
＜
a
＜
d

分析 可以分别求出 、 、

、
的具体值，从而可以比较大小 .



0
a b

c

d

2

3

3

，
d
＝

解 因为
a
＝

2

＝1 ，
b
＝ (－3)
＝9 ，
c
＝

9

＝－
9
1
2
1

＝ 2 ，而－
3

9
＜ 1＜2 ＜ 9，所以

c








＜
a
＜
d
＜
b
.故应选
A
.
说明
考点 7
实数的运算

比较实数的大小有好多种方法，在具体求解时应根据题目自身的特点选择容易比较的方法




.
例 7（市）（ 1）有这样一个问题：
A.3
2


2
与下列哪些数相乘，结果是有理数？
3

B.2－
2

C.
2
+
D.
3
2
E.0

问题的答案是（只需填字母）：＿＿＿；

（ 2）如果一个数与


2
相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）？
.（ 2 ）设出这个数，从而列式求解

.
分析（ 1）可利用实数的运算验证，看结果情况判断


解（ 1）因为 3



2
×
2
＝

6，
×
3
2


2
＝

3，0×
2
＝

0

，所以
2
分别与

3






2
、


3
和 0 相乘，其
2
结果为有理数 .故应选
A
、
D
、
E
.
（ 2）设这个数为
x
，则根据题意，得
x
·

2

＝
a
（
a
为有理数），所以
x
＝



a
（
a
为有理数），这个









2



数的一般形式是
a
（
a
为有理数）

.



2

说明 本题是考查实数的运算，其题型以前不常见，虽然不难，但请同学们应注意关注

避免对无理数的几种错误认识：
（ 1）错误认为无限小数就是无理数如
认为带根号的数是无理数， 如
4
；（

3）错误认为两个无理数的和、
.另外，应注意
1.414141 ·(41 无限循环）；（ 2）错误
差、积、商也还是无理数， 如
3
+
2
，
3
－
2
都是无理数，但它们的积却是有理数；
（ 4）错误认为无理数是无限不循环小数，所以无法在数
轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如

2
，我们可以用几何作图
的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此



.
三、同步训练


1.实数－ 2， 0.3，
1
7
，
2
，－

π中，无理数的个数是（

）




A.2 B.3

C.4
2.通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型

D.5

H1N1 流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球
Word 资料




.

感染人数约为
20000 人左右，占全球人口的百分比约为
为（


0.0000031 ，将数字 0.0000031 用科学记数法表示


）

A.3.1×10
－ 5
B.3.1×10
－ 6
C.3.1×10
－ 7
D.3.1×10
－8
3.平方根节是数学爱好者的节目，
这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，
（题中所举例子除外） .


例如 2009 年的 3 月 3 日，2016 年的 4 月 4 日 .请你写出本世纪你喜欢的一个平方根










＿＿＿年＿＿＿月＿＿＿日 .
4.
| 2 |
－
(1
专题二

整式








2)
0

+
4
.
一、考点扫描
1.代数式的有关概念：代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子

法： ① 化简求值； ②整体代入 .
2.整式的有关概念：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式；几个单项式的和，叫做多项式；所含
字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项

.
3.去括号与添括号：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括
号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号；给括号前添正号，括在括号里的
各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号





.求代数式的值的方
.


4.合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变

.

2

2
2 2
2

5.乘法公式：平方差公式：
( +
)( －
b
)＝
a
－
b
；完全平方公式：
(
± ) ＝
a
±2
ab
+
b
.
m

6.整指数幂的运算：
a
×
a
＝
a
， (
a
) ＝
a
， (
a
×
b
) ＝
a
×
b
，
a
÷
a
＝
a
(
a
≠

0).

7.零指数幂与负整数指数幂：
不等于零的数的零次幂等于
1.即
0
＝ 1( ≠ 0).不等于零的数的负整数次幂


－ p

n
a b a
m + n m nmn


n

n

n

m
a b


n m + n




1


a

a
























等于这个数的正整数次幂的倒数

.即
a
＝
a
p
(
a
≠ 0 ，
p
是正整数 ).

8.整式的运算：（ 1）加减运算：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接

.


整式加减的一般步骤是： ① 如果遇到括号，按去括号法则去括号；
② 合并同类项 .（ 2）乘除运算：单项式

与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指
数作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多
项式与多项式相乘， 就是先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，
商的一个因式 .
把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为

再把所得的积相加 .单项式相除，






9.因式分解：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积

都不能再分解为止 .分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法.
二、考题分析

.分解因式要进行到每一个因式































考点 8 列代数式
了＿＿＿元 .
例 8（株洲市）孔明同学买铅笔
m
支，每支 0.4 元，买练习本
n
本，每本 2 元 .那么他买铅笔和练习本一共花

分析
买铅笔
m
支，每支

0.4

元，则需钱
以列式求解 .

0.4
m
元，买练习本
n
本，每本 2
元，则需钱
2
n
元，由此可






















解
因为买铅笔
m
支，每支

0.4
元，买练习本
n
本，每本

2
元，
所以铅笔和练习本一共花了
考点 9
幂的运算
(0.4
m
+2
n
)元钱 .

说明 列代数式的关键是正确掌握数学关联词，并且书写代数式时应注意规性




3
.





例 9（市）下列计算中，结果正确的是（

A.
2
·
3
＝
6

B.(2 )·(3 )＝ 6

C.(
2
)
3
＝
a a

）
a
6
a

2 3 5
a a a

2
a
D.
6
÷
2
＝


a a a


分析 为了能准确地获得答案，可利用幂的运算法则逐一计算验证
6 2 4
.

2 3

6


，所以选项
A
，
B
，
D
都是错误的，只有 (
a
) ＝
a
运算是
解
因为
a
·
a
＝
a
，

(2
a
)·(3
a
)＝

6
a
，
a
÷
a
＝
a
Word 资料


























.






正确的 .故应选
C
.
说明

要能正确地猎取答案，就必须熟练掌握幂的运算法则，弄清楚每一个法则的前因后果
考点 10
同类项

例 10（贺州市）已知代数式


.




+1




m－ 2
2

a

b






m



2

a b
3 n
与－ 3

是同类项，则

分析

利用同类项的定义，构造出

3 n+1

m
和
n
的简易方程，求得
2

n

m
和
n
即可求解

.

2 +3
＝＿＿＿ .




m

－2
解
因为代数式 2
a b

与－ 3
a

b
是同类项，所以

3＝
m
－2，且
n
+1 ＝2 ，
解得
m
＝

5，
n
＝

1，当
m
＝

5，
n
＝1

时，

2
m
+3
n
＝

2×5+3

×1

＝13.

说明

同类项是所含字母相同，

相同字母的指数也相同的项，




根据同类项的定义可得字母指数的方程，
然后再求代数式的值，这是中考中常出现的题型.

考点 11
去括号

例 11（市）下列运算正确的是（

）

A.－ 2(
－
)＝－ 2

－

B.－ 2(
a
－
b
)＝－ 2 +


a b


a

b

a b

C.－ 2(
a
－
b
)＝－ 2
a
－
b

D.－ 2(
a
－
b
)＝－ 2
a
+2
b

分析

利用去括号的法则进行化简 .

解
因为－ 2(
a
－
b
)＝－ 2
a
+2
b
，所以
D
是正确的，故应选
D
.

说明

去括号时一定要注意两点，一是括号前面是负号，去掉括号时，括括号的各项都要改变符号，
二是括号前面有因数或因式时，去掉括号时，应运用乘法的分配律运算，不能漏掉任何一项

.
考点 12
乘法公式

例 12 （江市）在边长为
＞

a
的形中挖去一个边长为

的小形（

b

a

b
）（如图甲），把余下的部分拼成一

个矩形（如图乙） ，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（

）

2

2
A.(
a

2

2 2

2

2
+
b
)

＝
a
+2
ab
+
b

B.(
a
－
b
) ＝
a
－ 2
ab
+
b

C. －

2
＝(

+ )(

D.(


a
b

－
)

+2 )(
－
)＝
2
+

－ 2
2




a
b a b


a

b a

b

a

ab

b



a

a b


a


b

b


b


甲


乙


分析 依题意，甲、乙两个图形中阴影部分的面积相等，由此，可列式验证
.

解 因为甲图的阴影部分的面积＝
a
2
－
b
2
，而乙图的阴影部分面积＝ (
a
+
b
)(
a
－
b
)，


2 2

所以
a
－
b
＝

(
a
+
b
)(
a
－
b
).故应选
C
.

说明 求解本题时要注意图形在变换过程中面积的不变性，由此可以利用几何图形的面积公式求得
考点 13
整式运算与因式分解

1
2

1

2
1
2

例 13（市）给出三个多项式：

2
x
+2
x
－

1，
x
+4
x
+1

，
x
－

2
x
.请选择你最喜欢的两个多项式进行



2

2

加法运算，并把结果因式分解 .

分析 给定的是三个多项式，要求选择其中的两个进行加减运算，显然，选择的方法不惟一，即结果

不惟一，进而因式分解的结果也不惟一，但只要符合题意即可
.

解
答案不惟一 .如，情形一：
1
x
2
+2
x
－ 1+
1
x
2
+4
x
+1 ＝
x
2
+6
x
＝
x
(
x
+6) ；


2

2

情形二：
1
x
2
+2
x
－ 1+
1
x
2
－

2
x
＝
x
2
－

1＝

(
x
+1)(
x
－

1)；


2
1

2

情形三：
x
2
+4

x
+1+
1

x
2
－

2
x
＝

x
+2
2

x
+1

＝

(
x
+1) .

2



2

2

说明 本题若改成“请选择你最喜欢的两个多项式进行加减法运算”，则情况则更多，同学们不妨一试
Word 资料
.





.