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经典难题(一)
1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:CD=GF.(初二)
C
E
G
A
B
D O
F
2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15
0
.
A D
求证:△PBC是正三角形.(初二)
P
C
B
3、如图,已知四边形ABCD、A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形,A
2
、B
2
、C
2
、D
2
分别是AA
1
、BB
1
、
CC
1
、DD
1
的中点.
A
D
求证:四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形.(初二)
D
2
A
2
A
1
D
1
B
1
C
1
B
2
C
2
B C
4、已知:如图,在四边形 ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC
的延长线交MN于E、F.
F
求证:∠DEN=∠F.
E
N C
D
A
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M
B
经典难题(二)
1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
A
(1)求证:AH=2OM;
(2)若∠BAC=60
0
,求证:AH=AO.(初二)
O
·
H
E
B
C
M D
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条 直线,交圆于B、C
及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.
G
E
求证:AP=AQ.(初二)
O
·
C
B
D
M N
Q
P A
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN
E
于P、Q.
C
求证:AP=AQ.(初二)
A
Q
M
·
N
P
·
O
B
D
4、如图,分别以△ABC的AC 和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG,点P是EF的中点.
D
求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)
G
C
E
P
A
B
Q
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F
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:CE=CF.(初二)
D
A
F
E
B
C
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:AE=AF.(初二)
A D
F
B
C
E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.(初二)
A D
F
B
P C E
4、如图, PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于
B、D.求证:A B=DC,BC=AD.(初三)
A
O D
B
P
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E
C
F
经典难题(四)
1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:∠APB的度数.(初二)
A
P
B C
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:∠PAB=∠PCB.(初二)
A
D
P
B
C
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)
A
D
B
C
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)
A
D
F
P
B
E
C
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经典难题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
A
B
P
C
2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
A
D
P
B
C
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
A
P
D
B
C
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80
0
,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30
0
,
A
∠EBA=20
0
,求∠BED的度数.
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D
E
B
C
经典难题(一)
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,
即 △GHF∽△OGE,可得
EO
GO
CO
==,又CO=EO,所以CD=G F得证。
GF
GH
CD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15
0
所以∠DCP=30
0
,从而得出△PBC是正三角形
3.< br>如下图
连接BC
1
和AB
1
分别找其中点F,E.连接C2
F与A
2
E并延长相交于Q点,
连接EB
2
并延长 交C
2
Q于H点,连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点,
由A
2
E=
1
AB=
1
BC= FB
2
,EB
2
=
1
AB=
1
BC=F
C
1
,又
∠GFQ+∠Q=90
0
和
2
11
2
11
22
∠GE
B
2
+
∠Q=90
0,所以∠GE
B
2
=
∠GFQ又∠B
2
FC
2
=∠A
2
EB
2
,
可得△B
2
FC< br>2
≌△A
2
EB
2
,所以A
2
B
2
=B
2
C
2
, 又∠GFQ+∠HB
2
F=90
0
和∠GFQ=∠EB
2
A
2
,
从而可得∠A
2
B
2
C
2
=90
0
,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得 出四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。< br>
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4.
如下图
连接 AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得
∠QMF=∠F,∠QNM=∠
DEN和∠QM N=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题(二)
1.(1)延长AD到F连BF,做OG
⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB,OC,既得
∠BOC=120
0
,
从而可得∠BOM=60
0
,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
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