高中数学包括初中数学中考总复习：统计与概率--知识讲解

2020年11月24日发(作者：祝天祥)
中考总复习：统计与概率—知识讲解
【考纲要求】
1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现
有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；
2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，
并能进行有效的解答或计算；
3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运
用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；
4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．
能够准确区分确定事件与不确定事件；
5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．
【知识网络】


【考点梳理】
考点一、数据的收集及整理 < br>1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展< br>开调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.
要点诠释：
(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
(2 )一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行
普查； 或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.
(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.
3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
考点二.数据的分析
1.基本概念：
总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；
个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；
频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；
平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数： 将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组
数据的中位 数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求 差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是

，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
要点诠释：
1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.
平均数的优点：平均数的计算过程中用 到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映
了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易 受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值
和大于中位数的数值在这组数据中各 占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数 很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现
的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.
它 可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差
可 以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.
2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③决定分点；
④画频数分布表；
⑤画出频数分布直方图．
3.加权平均数
在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个 数乘以它相应的权重后所
得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
要点诠释：
在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，
如果要 区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权
重时，这 组数据的加权平均数就有可能随之改变.

考点三、概率
1．概率的定义：一般地 ，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A
包含其中m种结果，那么事 件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是
接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件
必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
要点诠释：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；
⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．

【典型例题】
类型一、数据的统计
1. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新 制定中考体育标准．为此，
抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情 况绘制成表格如下：
次数
人数
6
1
12
1
15
7
18
18
20
10
25
5
27
2
30
2
32
1
35
1
36
2
⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多
少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【思路点拨】
本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标
准的应用 为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中
位数.
【答案与解析】
⑴该组数据的平均数


众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较 为合适，因为众数及中位数均为
18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数 人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.
【总结升华】
确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相 同,那这些出现次
数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们 有机地交汇于实
际情境中，考查应用意识．
举一反三：
【高清课堂：统计与概率 例2】
【变式】我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温(℃) 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
D．26.5℃，27℃
则这组数据的中位数与众数分别是( )．
A．27℃，28℃ B．27.5℃，28℃ C
．
28℃，27℃
【答案】A.
2． 某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”
的问卷调 查．根据收回的问卷，学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形图”(如图2)．请你根据
图表中提 供的信息，解答下列问题．
频率分布表：
代号
1
2
3
教学方式
老师讲，学生听
老师提出问题，学生探索思考
学生自行阅读教材，独立思考
最喜欢的频数
20
100
30
频率
0.10

0.15