二年级数学听算初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳动点最值基本模型

2020年11月24日发(作者：马伊俐)

动点最值基本模型

原创: 向北 向北数学 2018-05-14

从合肥各区的模考卷来看,最值问题仍是2018中考第10或14 题的热门。本文以瑶海蜀
山庐阳二模卷中最值问题为例,对最值问进行简要分类和例析,欢迎指正。

一、最值类型

1.饮马型:即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值 问题,利用对称性质将其中一条线段
进行转换,再利用两点之间线段最短(或三角形三边关系)得到结果 。(本公众号有“【解题模型】
将军饮马”)

2.小垂型:即小垂回家型,通常为 一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段
最短的性质得到结果。

3 .穿心型:即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与
圆的位置关系 得到结果。(本公众号有“一箭穿心,圆来如此一文”)

4.转换型:即一加半型,通常为 一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线
段利用三角形中位线或30°的对边等知识进 行转换,再利用饮马或小垂或穿心。

5.三边型:即三角形三边关系关系型,通常利用两边 之和大于第三边、两边之差小于第三
边求其最大(小)值。

6.结合型:即以上类 型的综合运用,大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10
题】、小垂+穿心【如庐阳二 模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如
蜀山二模第10题】等

※二、分类例析

一、饮马型

例1:如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1, 点P在AC上,则PE+PD的最小值
是_____ .
解析:如图






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例2:如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在 正方形ABCD内,
在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为____.

解析:如下图










二、小垂型

例3:如图,在Rt△ABC中,∠ C＝90°,AC＝8,BC＝6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于
点D,PE⊥CB于点E ,连接DE,则DE的最小值为_________.

解析:如下图












三、穿心型

例4:如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠ABC=120°,M 是AD边的中点,N是AB边上一动
点,将△AMN沿MN翻折得到△A′MN,连接A’C,则A’C 长度的最小值是____.

解析:如下图



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四、转换型

例5:如图,P 为菱形ABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,若∠C=60°,CD=4,则的最
小值为__ __________

解析:因为P到A、B两点的距离相等,所以P 在AB的垂直平分 线上,又因菱形ABCD中
∠C为60°,所以△ABD为等边三角形,AB的垂直平分线经过点D,如 下图
由∠ADP=30度,可将PD的一半进行转换,即过点P作AD的垂线。如图,
即B、P、F三点共线,且BF⊥AD时最短


五、三边型

例6:如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运
动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中, 点D到
点O的最大距离为________

解析:如下图因为AB为定长,所以取 其中点E,则OE为定值,在△ODE中,DE为定值,OE为
定值,根据三角形三边关系即可得到OD 的最大值。















例7:如图,已知△ABC中,∠A CB=90°,BC=4,AC=8,点D在AC上,且AD=6,将线段AD绕点A
旋转至AD’,F 为BD’的中点,连结CF,则线段CF的取值范围.
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