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定角夹定高(探照灯模型)
什么叫定角定高,如右图,直线BC外一点A,A到直 线BC距离为定值(定高),
A
∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为,像探照灯一样所以 也叫探照灯模型。
我们可以先看一下下面这张动图,在三角形ABC当中,∠BAC是一个定角,过A点作BC边的高线,交BC边与D点,高AD为定值。
O
从动态图中(如图定角定高 )我们可以看到,如果顶角和高,都为定值,那
么三角形ABC的外接圆的大小,也就是半径,是会随着 A点的运动而发生变化的。
BD
C
从而弦BC的长也会发生变化,它会有一个最小值, 由于它的高AD是定值,因此三
角形ABC的面积就有一个最小值。
我们可以先猜想一下,A D过圆心的时候,这个外接圆是最小的,也就是,BC的长是最小的,从而三角形
ABC的面积也是最小 的。
(定长可用圆处理,特别,定长作为高可用两条平行线处理)
那么该如何证明呢？
首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OH⊥BC于H点.(如图1)
显然OA+OH AD,当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小是
一个定值,而且它是圆o的圆周 角,因此它所对的圆心角∠AOB的度数,也是一个定
值。
因此OH和圆O的半径,有一个固定关系,所以,OA+OH也和 的半径,有一个
固定的等量关系。再根据我们刚才说的,OA+OH AD,就可以求得圆O半径的最小值。
[简证:OA+OH AD
OEDH为矩形,OH= ED,在Rt△AOE中,AO>AE,∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]
下面我们根据一道例题来说明它的应用。
例:如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD =4,AD∥BC,∠B=60°,点E、F分别为边BC、CD上的两个动点,
且∠EAF=60°, 则△AEF的面积是否存在最小值？若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由。
A
D
【简答】图中有角含半角模型,因此我们想到旋转的方式来处理.
< br>F
将△ADF绕A点顺时针旋转120°,得△ABF′,则∠EAF′=60°,
易证 △AEF′≌△AEF,作△AEF′的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点
H,AG⊥BC于点G,则∠F ′OH=60°,AG=
半径为r,则OH=
定角定高定角定高.html
,设 ⊙O的
B
.
E
C
A
D
F
∵∠FAE=∠F’AE=
∠FOE=60°
∴F’E=
O
F'BHGE
C
1
初中数学资料归纳
∴△AEF的面积最小值为
以下是两到相关的针对练习题,大家学习完以后可以去自主的完成一项,后面也有详细的解答 过程,做完以后
大家可以对照一下答案,学会了这种类型题的解法。
解题步骤:
1.作定角定高三角形外接圆,并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;
2.根据“半径+弦心距 定高”求r的取值范围;
3.用r表示定角定高三角形面积,用r取值范围求面积最小值。
【针对练习】
1.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=60°,CD为AB边上的高,若CD=4,试判断△A BC的面积是否存在最小值？
若存在,请求出面积最小值;若不存在,请说明理由.
(2)如 图2,某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中,∠BAD=45°,
∠B=∠D=90°,CB=CD=6√2,点E、F分别为边AB、AD上的点,若保持CE⊥CF, 那么四边形AECF的面积
是否存在最大值,若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由。
C
D
F
C
A
DB
A
E
B
图2
图1
(1)解:如图1-1
作△ABC的外接圆 ,连OA、OB、OC,作OH⊥AB于H
①设 半径为r,则OH=
,AB=2AH=2
②∵CO+HO CD 即r+
4 得r
③
(2)分析:此处求面积最大值,而定角定高一般求面积最小值。
由于:
四边形
四边形
=
因此,只要
最小,
四边形
面积最大
初中数学资料归纳
2
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本文更新与2020-11-24 02:51，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/459332.html