任末年十四：三阶魔方变化种数为多少

2020年11月24日发(作者：杭颐)
三阶魔方变化种数为多少
假定我们来安装三阶魔方，先安装中心块，再安装角块，
最 后安装棱块。假定我们已经给三阶魔方各位置已经按块类
别编上了编号，安装角块时，从编号1一直安装 到编号8，
安装棱块时，从编号1一直安装到编号12。
在安装每一个位置上的块时，如果有 不只一种状态，则
其它状态都可以通过一种状态进行魔方操作得到，魔方操作
必须满足的条件是 ，保证前面已经安装的块不动（即位置不
变化和色向不变化），可以使后面尚未安装的块发生变化。 < br>第1步：安装编号1位置上的中心块，三阶魔方的6个
中心块之间有确定的位置关系，即我们通常 所说的中心块是
固定不动的。编号1的位置如果是在顶面，按照我们约定，
应当安装黄色中心块 ，只有1种可能。
第2步：安装编号2位置上的中心块，只有1种可能。
第3步：安装编号3位置上的中心块，均只有1种可能。
第4步：安装编号1位置上的角块， 从8个角块中选择
1个，有8种可能，该角块有3个色向，即8X3=24种可能。
第5步： 安装编号2位置上的角块，从剩下7个角块中
选择1个，有7种可能，该角块有3个色向，即7X3=2 1种
可能。
第6步：以此类推，安装编号3位置至编号6位置上的
角块，可能种数分 别为6X3，5X3，4X3，3X3。
第7步：安装编号7位置上的角块，从剩下2个角块中
选择1个，有2种可能，该角块有3个色向，即2X3=6种可
能。从6种可能中选择一种状态，能否 通过魔方操作得到另
外5种状态呢？按照高龙水魔方公式，如果使第7个角块原
地翻色，会使其 它6个角块和6个中心块有所变化，如果再
使尚未安装的第8个角块逆操作原地翻色，则其它6个角块< br>和6个中心块可以完全恢复的。如果第7个角块和第8个角
块进行交换，则其它已经安装的块会乱 的，这时再交换两个
尚未安装的棱块。再使用一个公式，就会使其它已经安装的
块完全恢复。也 就是说6种可能是可以实现的。也可以不直
接交换第7个角块和第8个角块，通过旋转该层，构造成三< br>轮换后，将三轮换复原，则相当于交换了两个角块；或者先
构造成四轮换，再旋转该层，也相当于 交换了两个角块。
第8步：安装编号8位置上的角块，从剩下1个角块中
选择1个，只有1种 可能，该角块只有1个色向。假设该角
块有3个或者2个色向，当该角块为其中之一色向时，单独
原地改变该角块的色向，是无法做到的。因为只有对两个角
块进行原地翻色，才能实现。这说明该角块 没有3个色向，
也没有2个色向，只有1个色向。这与假设是矛盾的，即假
设错误，说明该角块 只有1个色向。我们可以得出：在其它
7个角块的色向确定后，第8个角块的色向只有唯一的一种
可能。
第9步：安装编号1位置上的棱块，从12个棱块中选
择1个，有12种可能，该棱 块有2个色向，即12X2=24种
可能。
第10步：安装编号2位置上的棱块，从剩下11 个棱块
中选择1个，有11种可能，该棱块有2个色向，即11X2=22
种可能。
第11步：以此类推，安装编号3位置至编号10位置上
的棱块，可能种数分别为10X2，9X2，8 X2，7X2，6X2，5X2，
4X2，3X2。
第12步：安装编号11位置上的棱块， 从剩下2个棱块
中选择1个，只有1种可能，该棱块有2个色向，即1X2=2
种可能。这种情 况，说明第11个棱块和第12个棱块不可以
交换。在保证前面6个中心块，8个角块和10个棱块都不 动
的情况下，交换两个棱块，是不可以实现的。
第13步：安装编号12位置上的棱块，从剩 下1个棱块
中选择1个，只有1种可能，该棱块只有1个色向。假设该
棱块有2个色向，当该棱 块为其中之一色向时，单独原地改
变该棱块的色向，是无法做到的。因为只有对两个棱块进行
原 地翻色，才能实现。这说明该棱块没有2个色向，只有1
个色向。这与假设是矛盾的，即假设错误，说明 该棱块只有
1个色向。我们可以得出：在其它11个棱块的色向确定后，
第12个棱块的色向只 有唯一的一种可能。
综上第1步至第13步，可得到：
三阶魔方变化种数，若设为N
3
，则
N
3
=（8X3X7 X3……4X3X3X3X2X3X1X1）X（12X2X11X2……
4X2X3X2 X1X2X1X1）
=（8！X3^7）X[(12！2)X2^11]
=（8！X3^7）X (12！X2^10)
=88179840X49
=43252000
≈4.3X10^19


魔方安装上的可 能性是数学上的排列组合，该排列组合
不一定能够通过魔方实际转动得到。不同类型块的运动“轨
道”是不同的，一种类型的块不可能“跑”到另一种类型块
的“轨道”上。如角块不能跑到棱块位置， 棱块也不能跑到
角块位置。
如果某个类型的块，在不考虑色向情况下，其排列组合
可 以按照数量全排列，则说明一定存在可以交换两个块的操
作。
三阶魔方之所以可以交换两个角 块，不可以交换两个棱
块，其原因是角块先安装，而棱块后安装的。层先法复原魔
方的过程，最 后总是集中对顶层角块和棱块的复原。先安装
的块，可以通过旋转顶层，将两个块的一次交换，转换为二
次交换；或者增加两次交换后，构造成四轮换（三次交换），
通过旋转顶层消除三次交换。后安 装的块，由于不能改变先
安装的块，所以不能通过旋转顶层实现一次交换。如果在安
装过程中， 先安装棱块，后安装角块，则情况正好相反了。