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任末年十四:三阶魔方变化种数为多少

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-24 04:52
tags:三阶魔方层先法公式

师说注音-how什么意思中文

2020年11月24日发(作者:杭颐)
三阶魔方变化种数为多少
假定我们来安装三阶魔方,先安装中心块,再安装角块,
最 后安装棱块。假定我们已经给三阶魔方各位置已经按块类
别编上了编号,安装角块时,从编号1一直安装 到编号8,
安装棱块时,从编号1一直安装到编号12。
在安装每一个位置上的块时,如果有 不只一种状态,则
其它状态都可以通过一种状态进行魔方操作得到,魔方操作
必须满足的条件是 ,保证前面已经安装的块不动(即位置不
变化和色向不变化),可以使后面尚未安装的块发生变化。 < br>第1步:安装编号1位置上的中心块,三阶魔方的6个
中心块之间有确定的位置关系,即我们通常 所说的中心块是
固定不动的。编号1的位置如果是在顶面,按照我们约定,
应当安装黄色中心块 ,只有1种可能。
第2步:安装编号2位置上的中心块,只有1种可能。
第3步:安装编号3位置上的中心块,均只有1种可能。
第4步:安装编号1位置上的角块, 从8个角块中选择
1个,有8种可能,该角块有3个色向,即8X3=24种可能。
第5步: 安装编号2位置上的角块,从剩下7个角块中
选择1个,有7种可能,该角块有3个色向,即7X3=2 1种
可能。
第6步:以此类推,安装编号3位置至编号6位置上的
角块,可能种数分 别为6X3,5X3,4X3,3X3。
第7步:安装编号7位置上的角块,从剩下2个角块中
选择1个,有2种可能,该角块有3个色向,即2X3=6种可
能。从6种可能中选择一种状态,能否 通过魔方操作得到另
外5种状态呢?按照高龙水魔方公式,如果使第7个角块原
地翻色,会使其 它6个角块和6个中心块有所变化,如果再
使尚未安装的第8个角块逆操作原地翻色,则其它6个角块< br>和6个中心块可以完全恢复的。如果第7个角块和第8个角
块进行交换,则其它已经安装的块会乱 的,这时再交换两个
尚未安装的棱块。再使用一个公式,就会使其它已经安装的
块完全恢复。也 就是说6种可能是可以实现的。也可以不直
接交换第7个角块和第8个角块,通过旋转该层,构造成三< br>轮换后,将三轮换复原,则相当于交换了两个角块;或者先
构造成四轮换,再旋转该层,也相当于 交换了两个角块。
第8步:安装编号8位置上的角块,从剩下1个角块中
选择1个,只有1种 可能,该角块只有1个色向。假设该角
块有3个或者2个色向,当该角块为其中之一色向时,单独
原地改变该角块的色向,是无法做到的。因为只有对两个角
块进行原地翻色,才能实现。这说明该角块 没有3个色向,
也没有2个色向,只有1个色向。这与假设是矛盾的,即假
设错误,说明该角块 只有1个色向。我们可以得出:在其它
7个角块的色向确定后,第8个角块的色向只有唯一的一种
可能。
第9步:安装编号1位置上的棱块,从12个棱块中选
择1个,有12种可能,该棱 块有2个色向,即12X2=24种
可能。
第10步:安装编号2位置上的棱块,从剩下11 个棱块
中选择1个,有11种可能,该棱块有2个色向,即11X2=22
种可能。
第11步:以此类推,安装编号3位置至编号10位置上
的棱块,可能种数分别为10X2,9X2,8 X2,7X2,6X2,5X2,
4X2,3X2。
第12步:安装编号11位置上的棱块, 从剩下2个棱块
中选择1个,只有1种可能,该棱块有2个色向,即1X2=2
种可能。这种情 况,说明第11个棱块和第12个棱块不可以
交换。在保证前面6个中心块,8个角块和10个棱块都不 动
的情况下,交换两个棱块,是不可以实现的。
第13步:安装编号12位置上的棱块,从剩 下1个棱块
中选择1个,只有1种可能,该棱块只有1个色向。假设该
棱块有2个色向,当该棱 块为其中之一色向时,单独原地改
变该棱块的色向,是无法做到的。因为只有对两个棱块进行
原 地翻色,才能实现。这说明该棱块没有2个色向,只有1
个色向。这与假设是矛盾的,即假设错误,说明 该棱块只有
1个色向。我们可以得出:在其它11个棱块的色向确定后,
第12个棱块的色向只 有唯一的一种可能。
综上第1步至第13步,可得到:
三阶魔方变化种数,若设为N
3
,则
N
3
=(8X3X7 X3……4X3X3X3X2X3X1X1)X(12X2X11X2……
4X2X3X2 X1X2X1X1)
=(8!X3^7)X[(12!2)X2^11]
=(8!X3^7)X (12!X2^10)
=88179840X49
=43252000
≈4.3X10^19


魔方安装上的可 能性是数学上的排列组合,该排列组合
不一定能够通过魔方实际转动得到。不同类型块的运动“轨
道”是不同的,一种类型的块不可能“跑”到另一种类型块
的“轨道”上。如角块不能跑到棱块位置, 棱块也不能跑到
角块位置。
如果某个类型的块,在不考虑色向情况下,其排列组合
可 以按照数量全排列,则说明一定存在可以交换两个块的操
作。
三阶魔方之所以可以交换两个角 块,不可以交换两个棱
块,其原因是角块先安装,而棱块后安装的。层先法复原魔
方的过程,最 后总是集中对顶层角块和棱块的复原。先安装
的块,可以通过旋转顶层,将两个块的一次交换,转换为二
次交换;或者增加两次交换后,构造成四轮换(三次交换),
通过旋转顶层消除三次交换。后安 装的块,由于不能改变先
安装的块,所以不能通过旋转顶层实现一次交换。如果在安
装过程中, 先安装棱块,后安装角块,则情况正好相反了。

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