灵智数学九年级数学圆知识点总结北师大版

2020年11月24日发(作者：元锡)

九年级总复习知识点总结-------圆
1.垂径定理及推论: 几何表达式举例：
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个∵ CD过圆心
定理， ∵CD⊥AB
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.
C
平分优弧
∴
AE=BE

=
BC

AC
O
过圆心

AD
=
BD
E
垂直于弦

A
B
平分弦
平分劣弧

D
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.


A
O
C
D
B
几何表达式举例：

∵
AB
∥
CD

∴
AC
=
BD
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
B
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
E
A
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
F
C

D

O
几何表达式举例：
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如
图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三
角形是直角三角形.(如图)
C
A
C


D
A
B
O
O

B
B
C

A
（1） （2）（3） （4）
5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，
并且任何一个外角都等于
它的内对角.
C
B
几何表达式举例：
（1） ∵∠ACB=
1
2
∠AOB
∴ ……………
（2） ∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°
（3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB是直径
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是RtΔ

A
D
E
几何表达式举例：
∵ ABCD是圆内接四边形
∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
几何表达式举例：
（1） ∵OC是半径
∵OC⊥AB
是半径
∴AB是切线
垂直
（2） ∵OC是半径
是切线
1
6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
A
O
B
C


（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心和这一
P
点的连线平分两条切线的夹角.

A
∵AB是切线
∴OC⊥AB
（3） ……………

几何表达式举例：
∵ PA、PB是切线
∴ PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO =∠BPO
几何表达式举例：
（1）∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD =∠CAB

（2）
∵
EF
=
AB
∵ ED，BC是切线
∴ ∠CBA =∠DEF


几何表达式举例：
（1） ∵PA·PB=PC·PD
∴………
（2） ∵AB是直径
∵PC⊥AB
2
∴PC=PA·PB
O
B
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也
相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）
D

A
C
E
F
A
9．相交弦定理及其推论:
D
B
C
B
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积
相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所
成的两条线段长的比例中项.
D
C

A

P
B
A
O
P
B
C


10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线
与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积相等.
B
B


A

A
D
P

C
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

A

A
O1O2

O1O2
B
（1） （2）
P
C
几何表达式举例：
（1） ∵PC是切线，
PB是割线
2
∴PC=PA·PB
（2） ∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
几何表达式举例：
（1） ∵O
1
，O
2
是圆心

∴O
1
O
2
垂直平分AB
（2） ∵⊙
1
、⊙
2
相切
∴O
1
、A、O
2
三点一线
2