溴的四氯化碳：变限积分函数的求导和应用

2020年11月24日发(作者：荣霖)
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变限积分函数的求导和应用

作者：朱忠华

来源：《教育教学论坛》2017年第38期

摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，
是学生学习的重 点和难点，在微积分中有广泛的应用。本文介绍了积分上限函数的概念及其特
有的求导性质，并结合实例 深入讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应
用。
关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）38-0211-03
一、前言
一元函数微积分[1-3]部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、 微分、不定积分、定
积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛顿—莱布尼 兹公
式）。在这六个概念中，除了不定积分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由极限
联系了起来。为了要说明不定积分与其他概念的联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿—
莱布尼兹 公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系，不但解决了定积分的
计算问题，同时微积 分的六个重要概念也就相互联系了起来[4]。
二、变限积分函数的定义与性质
1.定义。对于闭区间[a，b]上连续的函数f（x），设x为[a，b]上的任一 点，定积分f（t）
dt显然存在，当x在[a，b]上任意变动时，对于每一个取定的x的值，
f（t）dt就有一个对应的值，这样就在[a，b]上定义了一个新的函数，称为变 上限积分，
又称为积分上限函数，一般记为Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。
这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释：Φ（x）表示一个以f（x）为曲
边的曲边梯形 的面积，当x给一个确定的值，Φ（x）有一个确定的值，所以又称Φ（x）=f
（t）dt为面积函数 。
记Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]称为变下限积分，又称为积分下限函 数。Φ（x），Ψ（x）
统称为变限积分函数。因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化为积 分上限函数，所以本文主要讨
论积分上限函数的情况。
积分上限函数，这是 一类特殊的函数，具有与普通函数相同的特征；又由于它的上限是变
化的，变限积分是一种特殊的定积分 ，它具有很多特殊的性质。特殊性决定了它的重要性，变